1、求二次函数的表达式 1.二次函数表达式的一般形式是什么二次函数表达式的一般形式是什么?2.二次函数表达式的顶点式是什么二次函数表达式的顶点式是什么?3.若二次函数若二次函数y=ax+bx+c(a0)与与x轴两交点为轴两交点为(x1，0)，(x2，0)则其函数表达式可以表示成什则其函数表达式可以表示成什么形式么形式?y=ax+bx+c (a，b，c为常数，为常数，a 0)y=a(x-h)2+k (a 0)y=a(x-x1)(x-x2)(a 0)复习提问：复习提问：如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线（曲（曲 线线AOB）的薄壳屋顶它的拱宽）的薄壳屋顶它的拱
2、宽AB为为6m，拱高，拱高CO为为 0.9m试建立适当的直角坐标系，并写出这段抛物线试建立适当的直角坐标系，并写出这段抛物线所对应的二次函数表达式所对应的二次函数表达式?解解:以线段以线段AB的中垂线为的中垂线为y轴，轴，以过点以过点O且与且与y轴垂直的直线为轴垂直的直线为x轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.设它的函数表达式为设它的函数表达式为:y=ax(a0)63,0.92ABABCBOC 222(3,0.9),0.930.10.1(33)Byaxaayxx 代代入入中中因因此此这这段段抛抛物物线线对对应应的的二二次次函函数数表表示示式式为为例例6.一个二次函数的图象过点一个二次函数的图
3、象过点(0，1)，它的顶点，它的顶点坐标是坐标是(8，9)，求这个二次函数的表达式求这个二次函数的表达式.解解:因为这个二次函数的图象的顶点坐标为因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因，因此，可以设函数表达式为此，可以设函数表达式为 2(8)9.ya x根据它的根据它的图象经过点图象经过点(0，1)，容易确定，容易确定a的值的值.所以所以18a 21(8)9.8yx 例例7.一个二次函数的图象过一个二次函数的图象过(0，1)，(2，4)，(3，10)三点，三点，求这个二次函数的表达式求这个二次函数的表达式.解解：设所求二次函数表达式为：设所求二次函数表达式为y=ax2+bx+c，由这
4、个函数的图象过点由这个函数的图象过点(0，1)，可得，可得c=1.又由于其又由于其图象经过图象经过(2，4)，(3，10)两点，可得两点，可得 4a+2b+1=4，9a+3b+1=10.解这个方程组得解这个方程组得 因此，所求二次函数的表达式为：因此，所求二次函数的表达式为：ab33,.22 yxx2331.22若二次函数图象过若二次函数图象过A(2，-4)，B(0，2)，C(-1，2)三三点，求此函数的解析式点，求此函数的解析式.解解：设二次函数表达式为：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c 图象过图象过B(0，2)c=2 图象过图象过A(2，-4)，C(-1，2)两点两点 -4=4a+2
5、b+2 2=a-b+2 解得解得 a=-1，b=-1.函数的解析式为：函数的解析式为：y=-x2-x+2.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点(4，-3)，并且当并且当x=3时有最大值时有最大值4，试确定这个二次，试确定这个二次函数的解析式函数的解析式.解法解法1：（利用一般式）（利用一般式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c(a0)由题意知由题意知 16a+4b+c=-3 -b/2a=3 (4ac-b2)/4a=4解方程组得：解方程组得：a=-7 b=42 c=-59 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59.解法解法2
6、：（利用顶点式）（利用顶点式）当当x=3时，有最大值时，有最大值4 顶点坐标为顶点坐标为(3，4)设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=a(x-3)2+4 函数图象过点（函数图象过点（4，-3）a(4-3)2+4=-3 a=-7 二次函数的解析式为：二次函数的解析式为：y=-7(x-3)2+4.二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象过点的图象过点A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式求这个二次函数的解析式.解解:二次函数的对称轴为直线二次函数的对称轴为直线x=3 设二次函数表达式为设二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k
7、 图象过点图象过点A(0，5)，B(5，0)两点两点 5=a(0-3)2+k 0=a(5-3)2+k 解得：解得：a=1 k=-4 二次函数的二次函数的表达式表达式:y=(x-3)2-4 即即 y =x2-6x+5.小结小结:已知顶点坐标已知顶点坐标（h，k）或对称轴方程或对称轴方程x=h 时时优先选用顶点式优先选用顶点式.解：（解：（交点式交点式）二次函数图象经过点二次函数图象经过点 (3，0)，(-1，0)设二次函数表达式为设二次函数表达式为：y=a(x-3)(x+1)函数图象过点函数图象过点(1，4)4=a(1-3)(1+1)得得 a=-1 函数的表达式为：函数的表达式为：y=-(x+1
8、)(x-3)=-x2+2x+3.已知二次函数图象经过点已知二次函数图象经过点(1，4)，(-1，0)和和(3，0)三点，求二次函数的表达式三点，求二次函数的表达式.知道抛物线与知道抛物线与x轴的两个交点的坐轴的两个交点的坐标，选用交点式比较简便标，选用交点式比较简便其它解法其它解法：（：（一般式一般式）设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 二次函数图象过点二次函数图象过点(1，4)，(-1，0)和和(3，0)a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 解得：解得：a=-1 b=2 c=3 函数的解析式为：函数的解析式为：y=-x2+2x+3.（顶点式）（顶点式）解：
9、解：抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交两点(-1，0)和和(3，0)，(-1+3)/2=1 点点(1，4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点 可设二次函数解析式为：可设二次函数解析式为：y=a(x-1)2+4 抛物线过点抛物线过点(-1，0)0=a(-1-1)2+4 得得 a=-1 函数的解析式为：函数的解析式为：y=-(x-1)2+4.谈谈你的收获谈谈你的收获议一议议一议 通过上述问题的解决，您能体会到求二次函数通过上述问题的解决，您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么表达式采用的一般方法是什么?（待定系数法）（待定系数法）你能否总结出上述解题的一般步骤你能否总结出上述解题的一般步骤?1.
10、若无坐标系，首先应建立适当的直角坐标系若无坐标系，首先应建立适当的直角坐标系;2.设抛物线的表达式设抛物线的表达式;3.写出相关点的坐标写出相关点的坐标;4.列方程列方程(或方程组或方程组);5.解方程或方程组，求待定系数解方程或方程组，求待定系数;6.写出函数的表达式写出函数的表达式;归纳：归纳：在确定二次函数的表达式时在确定二次函数的表达式时（1）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式）若已知图像上三个非特殊点，常设一般式 ；（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式点式 较为简便；较为简便；（3）若已知二次函数与）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交轴的两个交点，常设交点式较为简单点式较为简单.
