1、2.4.2 导数的乘法与除法法则课件 (2)复习回顾复习回顾 两个函数和两个函数和(差差)的导数,等于这两个函数导的导数,等于这两个函数导数的和数的和(差差),即,即)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf 求导的加减法法则:求导的加减法法则:前面学习了导数的加法减法运算法则,下面来研前面学习了导数的加法减法运算法则,下面来研究两个函数积、商的导数求法:究两个函数积、商的导数求法:引例:引例:设设 在在 处的导数为处的导数为 ,求,求 在在 处的导数。处的导数。2)(xxg)()()(2xfxxgxfy)(xfy 0 x0 x)(xf 我们观察我们观察 与与 、之间的联
2、系,之间的联系,)(xg)(xf)()(xgxf从定义式中,能否变换出从定义式中,能否变换出 和和?)(xg)(xf)()()(020020 xfxxxfxxy对于对于 的改变量的改变量 ,有,有0 xxxxfxxxfxxxy)()()(020020平均变化率:平均变化率:如何得到如何得到 、?)(xg)(xf xxxxxxgxxfxxfxxf202000)()()()()(即出现:即出现:解析解析xxfxxxxfxxfxx)()()()()(020200020 xxfxxxfxxxy)()()(020020)()()()()(020200020 xfxxxxxxfxxfxx)(2)(lim)
3、()()(lim00202000000 xgxxxxxxfxxfxxfxx20200)(limxxxx由于由于)()()()()(2)(000000020 xfxgxfxgxfxxfx所以所以 在在 处的导数值是:处的导数值是:)()()(2xfxxgxf0 x因此,因此,的导数是:的导数是:)(2xfx)()()(22xfxxfx)()()()()()(xgxfxgxfxgxf由此可以得到:由此可以得到:特别地,若特别地,若 ,则有,则有kxg)()()(xf kxkf概括概括 一般地,若两个函数一般地,若两个函数 和和 的导数分别是的导数分别是 和和 ,则:,则:)(xg)(xf)(xg)
4、(xf)()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2)()(xf kxkf)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf思考:思考:下列式子是否成立?试举例说明。下列式子是否成立?试举例说明。例如,例如,通过计算可知,通过计算可知23)(,)(xxgxxf)()()()(xgxfxgxf)()()()(xgxfxgxf例例1 求下列函数的导数:求下列函数的导数:xxyxxyexyxln)3(;sin)2(;)(21例例2 求下列函数的导数:求下列函数的导数:xxyxxyln)2(;sin)1(22cos)(;)sin
5、(ln)(xxxyxxxy212例例3 求下列函数的导数:求下列函数的导数:例例4 求曲线求曲线 过点过点 的的切线方程。切线方程。xxxxfxln211)()0,1(2cos2sin)3()2()2()13)(32()1(22xxxyxyxxy1.计算下列函数的导数:计算下列函数的导数:2.求曲线求曲线 在在 处的切线方程。处的切线方程。23)2(xxy)9,1(xy21xycos21194182xxy本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。1827 xy27 yk11)3(11)2(cos1)1(2xxeeyxxyxxy1.计算下列函数的
6、导数:计算下列函数的导数:2.求曲线求曲线 在在 处的切线方程。处的切线方程。xxysin3x2)(2143122xxxxxy2)(21xxeey6332 yk18)6332(2xy2)cos1(sincos1xxxxy小结小结)()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2)()(xf kxkf 导数的乘除法法则:导数的乘除法法则:(1)设设 ,可知,可知xexgxxf)(,)(2xexgxxf)(,2)(xxxxexxexxeex)2(2)(222)()()()()()(xgxfxgxfxgxf由导数的乘法法则:由导数的乘法法则:可
7、得:可得:解:解:xxxxxxxxxxcos2sin)(sinsin)()sin(3)由导数的乘法法则可得:由导数的乘法法则可得:可得:可得:(2)由导数的乘法法则由导数的乘法法则)()()()()()(xgxfxgxfxgxf1ln1ln1)(lnln)()ln(xxxxxxxxxx(1)设设 ,则可知,则可知xxgxxf)(,sin)(1)(,cos)(xgxxf由导数的除法运算法则由导数的除法运算法则)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2可得可得22sincos1sincossinxxxxxxxxxx解:解:xxxxxxxxxx222ln)1ln2()(ln1ln2l
8、n2(2)由导数的除法运算法则可得:由导数的除法运算法则可得:无论题目中所给的式子多么复杂,但是求导的实无论题目中所给的式子多么复杂,但是求导的实质不会改变,求函数积质不会改变,求函数积(商商)的导数时,都满足运算法的导数时,都满足运算法则:则:)()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(xgxgxfxgxfxgxf2分析:分析:解:解:(1)可设可设xxxgxxfsinln)(,)(2xxxxxxxxxxxxxxxxcossin2ln2)cos1()sin(ln2)sin(ln222则有:则有:xxxgxxfcos1)(,2)(根据导数的乘法法则,得:根据导数
9、的乘法法则,得:本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。(2)由导数的除法法则,可得:由导数的除法法则,可得:34222222cos2sin2cos2)1sin()(2)(cos)(coscosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx要求切线方程,先求斜率,即导数。要求切线方程,先求斜率,即导数。由求导运算法则可知:由求导运算法则可知:xxxxxxxxxxxxfxxxx2ln2ln2)1(12ln)2ln2()1(21)1()1(21)(22解:解:分析:分析:可求得可求得 ,47)1(f)1(47xy 则曲线则曲线 过点过点 的切线的切线方程为:方程为:xxxxfxln211)()0,1(即:即:0747 yx