1、5.7 二次函数的应用二次函数的应用 例例1如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。（1）求）求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？（3）若墙的最大可用长度为）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面米，则求围成花圃的最大面积。积。ABCD解：解：（1）AB为为x米、篱笆长为
2、米、篱笆长为24米米 花圃宽为（花圃宽为（244 x）米）米 （3）墙的可用长度为墙的可用长度为8米米 （2）当）当x 时，时，S最大值最大值 36（平（平方米）方米）32ba442aba S x（24 4 x）4 x 2 24 x （0 x 6）0 244 x 6 4 x 6当当x 4cm时，时，S最大值最大值 32 平方米平方米一般地，因为抛物线一般地，因为抛物线 的顶的顶点是抛物线的最低（高）点，所以当点是抛物线的最低（高）点，所以当 时，二次函数时，二次函数 有最小（大）有最小（大）值，最小（大）值为值，最小（大）值为2yaxbxc2bxa 2yaxbxc24.4acba 例例2如图，
3、如图，ABCD是一块边长为是一块边长为2 m的正方形铁板，在的正方形铁板，在边边AB上选取一点上选取一点M，分别以，分别以AM和和MB为边截取两块为边截取两块相邻的正方形板料相邻的正方形板料.当当AM的长为何值时，截取的板料的长为何值时，截取的板料面积最小？面积最小？D2mX mABCM解：设解：设AM的长为的长为x(m),则则BM的长为的长为（2-x)m,以以AM和和MB为边的两块正方为边的两块正方形面积之和为形面积之和为y.D2mX mABCM依题意得依题意得y与与x之间的函数解析式之间的函数解析式为为 y=x2+(2-x)2=2x2-4x+4 =2(x2-2x)+4 =2(x2-2x+1
4、-1)+4 =2(x-1)2+2 a=20当当x=1时，时，y有最小值，最小值为有最小值，最小值为2.所以，当所以，当AM的长为的长为1m时，截取的板料面积最小，时，截取的板料面积最小，最小面积为最小面积为2m2.如图，某公司的大门呈抛物线型，大门地面宽如图，某公司的大门呈抛物线型，大门地面宽AB为为4米，顶部米，顶部C距地面的高度为距地面的高度为4.4米米.(2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面部距地面2.65米，装货宽度为米，装货宽度为2.4米，那么这米，那么这辆汽车能否顺利通过大门？辆汽车能否顺利通过大门？(1)试建立适当的直角试建立适当的
5、直角坐标系，求抛物线对应的坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；二次函数表达式；C 如果装货宽度为如果装货宽度为2.4米的汽车能顺米的汽车能顺利通过大门，那么货物顶部距地面的最大利通过大门，那么货物顶部距地面的最大高度是多少？高度是多少？(精确到精确到0.01)想一想想一想:例例3某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽现测得水面宽16m，涵洞顶点，涵洞顶点O到水面的到水面的距离为距离为24m，在图中直角坐标系内，涵，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析：分析：如图，以如图，以AB的垂直平分线
6、为的垂直平分线为y轴，以过点轴，以过点O的的y轴的垂线为轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系这轴，建立了直角坐标系这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是是 此时只需抛物线上的一个此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式点就能求出抛物线的函数关系式)0(2aaxyAB解：如图，以解：如图，以AB的垂直平分线为的垂直平分线为y轴，以过点轴，以过点O的的y轴的垂线为轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系轴，建立了直角坐标系.由题意，得点由题意，得点B的坐标为的坐标为(0.8，-
7、2.4)，又因为点又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入在抛物线上，将它的坐标代入 ，得得所以所以因此，函数关系式是因此，函数关系式是)0(2aaxy28.04.2a415a2415xyBA例例4 如图所示，公园要建造圆形喷水池如图所示，公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂在水池中央垂直于水面处安装一个柱子直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，恰在水面中心，OA=1.25m.由柱子顶端由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离为漂亮，要求设计成水流在离OA距
8、离为距离为1m处达到距处达到距水面最大高度水面最大高度2.25m.(1)如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m，才能使喷出的水流不落到池外？才能使喷出的水流不落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径相同，水池的半径为为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少应达到多少m(精确到精确到0.1m)？OA根据对称性，如果不计其它因素，根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致，才能使喷出的水流
9、不致于落到池外于落到池外.解解:(:(1)建立如图所示的坐标系，根据题意得，建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为点坐标为(0，1.25)，顶点，顶点B坐标为坐标为(1，2.25).).当当y=0时，可求得点时，可求得点C的坐标为的坐标为(2.5，0)同理，点同理，点D的坐标为的坐标为(-(-2.5，0)设抛物线为设抛物线为y=a(x-h)2+k，由待定系数法，由待定系数法可求得抛物线表达式为可求得抛物线表达式为:y=-(=-(x-1)2+2.25xyOAB(1，2.25)(0，1.25)C(2.5，0)D(-(-2.5，0)由此可知，如果不计其它因素，由此可知，如果不计其它因素，那么水
10、流的最大高度应达到约那么水流的最大高度应达到约3.72m.解解:(:(2)根据题意得，根据题意得，A点坐标为点坐标为(0，1.25)，点，点C坐标坐标(3.5，0)或设抛物线为或设抛物线为y=-=-x2+bx+c，由待定，由待定系数法可求抛物线表达式为系数法可求抛物线表达式为:设抛物线为设抛物线为y=-(=-(x-h)2+k由待定系数法可求得抛物由待定系数法可求得抛物线表达式为线表达式为:xyOAB(0，1.25)C(3.5，0)D(-(-3.5，0)B(1.57，3.72)2117297196yx 222574yxx 练习练习:有一抛物线拱桥，已知水位在有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，位置时，水面的宽度是水面的宽度是 m，水位上升，水位上升4 m就达到警就达到警戒线戒线CD，这时水面宽是，这时水面宽是 米若洪水到来米若洪水到来时，水位以每小时时，水位以每小时0.5m速度上升，求水过警速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端戒线后几小时淹到拱桥顶端M处处ONMCDABxy4 634实际问题实际问题抽象抽象转化转化数学问题数学问题运用运用数学知识数学知识 问题的解问题的解返回解释返回解释检验检验小结小结
