1、3.3 垂径定理垂径定理第三章 圆BS九(下)教学课件1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）学习目标 你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？问题问题 如图,AB是 O的一条弦,直径CDAB,垂足为P.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AP=BP弧:,理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP重合，AC
2、和BC,AD与BD重合 OABDPC垂径定理及其推论ACBCADBD1问题问题OABDCP已知：在O中，CD是直径，AB是弦，ABCD，垂足为P.求证：AP=BP，,.证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.即AOB是等腰三角形.ABCD，AP=BP，.AOC=BOC.从而AOD=BOD.能不能用所学过的知识证明你的结论？ACBCADBDACBCADBD思考思考u垂径定理OABCDP垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.CD是直径，CDAB，(条件)AP=BP,，(结论)u推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.ACBCAD
3、BD 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE思考思考垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABO DCABOC 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？DOABEC举例证明其中一种组合方法已知:求证：CD CD是直径是直径 CDAB CDAB，垂足为，垂足为E E AE=BE AE=BE ACBCADBD证明猜想
4、如图，AB是 O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CDAB吗？为什么？（2）与 相等吗？与 相等吗？为什么？OABCDE（2）由垂径定理可得 ，.（1）连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，AOEBOE（SSS），AEO=BEO=90，CDAB.BCBDACADACBCADBD证明举例思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.u垂径定理的推论OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（
5、4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm.OABE解析：连接OA，OEAB，AB=2AE=16cm.16一垂径定理及其推论的计算22221068AEOAOEcm.2例2 如图，O的弦AB8cm，直径CEAB于D，DC2cm，求半径OC的长.OABECD解：连接OA，CEAB于D，1184(cm)22ADAB 设OC=xcm，则OD=x2,根据勾股定理，得解得 x=5，即半径OC的长为5cm.x2=42+(x2)2，例2 已知：O中弦ABCD,求证：.MCDABON证明：作直径MNAB.A
6、BCD，MNCD.则 ，（垂直弦的直径平分弦所对的弧）.ACBDAMBM.CMDMAMCMBMDMACBD例3 根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?垂径定理的实际应用3思考思考ABOCD解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.AD=AB=18.5m，OD=OCCD=R7.23.解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2 222OAADOD 如图，一条公路的转弯处是
7、一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.解:连接OC.OCDEF,OECD11600300(m).22CFCD222,OCCFOF22230090.RR设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得解得R=545.这段弯路的半径约为545m.例4 如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_.64C DCBOADOAB图a图b2cm或12cm 针对训练 在圆中有关弦长a,半径r,弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题，常常通过连半径或作弦心距
8、构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.1.涉及垂径定理时辅助线的添加方法 弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：2.弓形中重要数量关系ABC DOhrd2a2222ard d+h=r OABC1.已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .5cm2.O的直径AB=20cm,BAC=30,则弦 AC=.10 3 cm3.如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条 弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE 是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.4
9、.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆 的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什 么关系？为什么？证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。AECEBEDE，即 ACBD.O.ACDBE6.（分类讨论题）已知 O的半径为10cm，弦MNEF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离 为 .14cm或2cm5.如图，在ABC中，已知ACB=130，BAC=20，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆 交AB于点D，则BD的长为_2 37.如图，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度 AB=6m，弓形的高EF=2m，现设计安装玻璃，请帮 工程师求出弧A
10、B所在圆O的半径解：弓形的跨度AB=6m，EF为弓形的高，OEAB于F，AF=AB=3m，设AB所在圆O的半径为r，弓形的高EF=2m，AO=r，OF=r2，在RtAOF中，由勾股定理可知：AO2=AF2+OF2，即r2=32（r2）2，解得r=m即，AB所在圆O的半径为 m12134134拓展提升：如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .3cmOP5cmBAOP垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:过圆心;垂直于弦;平分弦（不是直径）;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.两 条 辅 助 线：连半径，作弦心距构造Rt利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变 式 图 形
