1、二面角公开课课件232666 34 地轴赤道平面地球轨道面(黄道平面)南极北极黄赤交角示意图黄赤交角示意图 实例引入平面的一条直线把平面分为平面的一条直线把平面分为两两部分，部分，其中的每一部分都叫做一个其中的每一部分都叫做一个半半平面。从一条从一条直线出发的两个半平直线出发的两个半平面所组成的图形叫做面所组成的图形叫做二面角二面角。（1 1）半平面半平面（2 2）二面角二面角ll这条直线叫做二面角的棱棱，每个半平面叫做二面角的面面。角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角。定义定义构成构成边边点点边边 （顶点）（顶点）表示法表示法
2、AOBAB面面面面棱棱 a从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做二面角二面角。面面直线直线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形二面角二面角类比平面角与二面角类比平面角与二面角B。OA2 2、二面角的平面角、二面角的平面角 或：从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。B。OAB1。O1A1B。OAB。OA等角定理等角定理 若一个角的两边与若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方另一个角的两边分别平行且方向相同，则这两个角相等。向相同，则这两个角相等。小结：小结：1.二面
3、角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线是射线OA、OB，O为垂足，则AOB叫做二面角的平面角。lll演示规定：规定：二面角的范围是二面角的范围是180,0平面角是直角的二面角叫做平面角是直角的二面角叫做直二面角直二面角相交成直二面角的二个平面叫做相交成直二面角的二个平面叫做互相垂直的平面互相垂直的平面、点、点P在棱上在棱上、点、点P在一个半平面上在一个半平面上、点、点P在二面角内在二面角内pABABpABOp定义法定义法三
4、垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法3 3、作二面角的平面角的常用方法、作二面角的平面角的常用方法例例1 1 在在6060。的二面角的棱上有两个点的二面角的棱上有两个点A A、B B，ACAC、BDBD分分 别在二面角的两个面内且垂直于别在二面角的两个面内且垂直于ABAB，已知，已知AB=4cmAB=4cm，AC=6cmAC=6cm，BD=8cmBD=8cm，求，求CDCD的长。的长。BDABCACDBDCADBABABCABDABCA22222268120cos862846222172CD解：由已知得BDABABCA，0BDABABCA又12060180BDCA，22BDABCACD所以BDA
5、C答：CD的长为cm。172例例 2、如如图图所所示示，在在正正方方体体 AC1中中，求求二二面面角角 A1BDC1的的大大小小。解：由正方体的面对角线的长都相等可知，解：由正方体的面对角线的长都相等可知，A A1 1BDBDC C1 1BDBD，且为正三角形，且为正三角形取取BDBD的中点的中点O O，连结，连结A A1 1O O、C C1 1O O、A A1 1C C1 1，则，则A A1 1OBDOBD，C C1 1OBDOBD，A A1 1OCOC1 1就是二面角就是二面角A A1 1BDBDC C1 1的平面角。的平面角。A1C1，A1OC1Oa2a223a263126262)2()
6、26()26(cos22211aaaaaOCA31arccos11OCA二面角二面角A A1 1BDBDC C1 1的大小为的大小为 。31arccos1111CDBDABACO在在A A1 1OCOC1 1中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，1111OCDBDABACxyz解解：(法二法二)建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系D Dxyzxyz，不妨设正方体的棱长为不妨设正方体的棱长为2 2，BDBD的中点为的中点为O O，则，则B(2B(2，2 2，0)0)，A A1 1(2(2，0 0，2)2)，C C1 1(0(0，2 2，2)2)，O O（1 1，1 1，0 0）
7、,0,2,2DB,2,1,10,1,12,0,21OA2,1,11OC0201212DB1）（OA02012)1(2CDB1O A A1 1OBDOBD，C C1 1OBDOBD 即为二面角即为二面角A A1 1-BD-BDC C1 1的平面角。的平面角。11C,OA O31COACOAC,OAcos111111 OOO例例 2、如如图图所所示示，在在正正方方体体 AC1中中，求求二二面面角角 A1BDC1的的大大小小。二面角二面角A A1 1BDBDC C1 1的大小为的大小为 。31arccos例例3 3、如图，设、如图，设E E、F F、G G是正方体是正方体ACAC1 1的棱的棱AAA
8、A1 1、ABAB、BCBC的中点，求二面角的中点，求二面角E EFGFGA A的大小。的大小。解：解：如图，过点如图，过点A A作作AHFGAHFG交交GFGF的延长线于点的延长线于点H H，连结，连结EHEH。由由 EAEA平面平面ACAC得：得：AHAH为为EHEH在面在面ACAC内的射影。内的射影。在 RtEAH 中，易得 AH22AF，AFEA，tanEHAAHEA=2，EHAarctan2。所以所以EH FG，故故EHA就是二面角就是二面角 EFGA 的平面角。的平面角。1111GFECDCDBABAH二面角二面角E EFGFGA A的大小为的大小为 。2arctan1、二面角指的
9、是（）A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。2、二面角的平面角的顶点在二面角的上，角的两边分别在二面角的内，且两边都与棱，它的度数与它的平面角的度数。4、课堂诊断B棱两个半平面垂直相等3、如图，APB是二面角a的平面角，CDE的顶点在棱a上，且两边DC和DE分别在二面角的两个面内（都不与a重合），则（）A、APB CDE0B、APB CDE C、APB CDED、0 CDE 课堂诊断Da4、如图所示，APB是二面角a的平面角，CD ，EF ，CDa，且EFa，则APB与向量和向量所成的角，的关系是（）A、APB，B、APB，C、APB，D、大小关系不确定。DCDCFEFEDCFEDCFEDCFEC课堂诊断1、二面角的定义2、二面角的平面角的定义3、二面角的平面角的求解：找（或作）出平面角定义法棱的垂面法三垂线定理法向量法求解解三角形或用向量的夹角公式 二面角是立体几何中空间三角：线线角、线面角、面面角之一。二面角由其平面角度量体现了立体几何降维的主要解题思想，而转化方法的多样性又体现了数学的丰富多彩。
