1、二项式定理二项式定理 问题问题1 4个容器中有红、蓝玻璃球各一个，每次从4个容器中各取一个球，有什么样的取法？各种取法有多少种？都不取蓝球都不取蓝球（全取红球）：（全取红球）：取取1个蓝球个蓝球 （1蓝蓝3红）红）：取取2个蓝球个蓝球 （2蓝蓝2红）红）：取取3个蓝球个蓝球 （3蓝蓝1红）红）：取取4个蓝球个蓝球 （无（无 红球）红球）：)(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CCmnnCmnC11mnmnmnCCC43223444433422243144044464)(babbabaabCabCbaCbaCaCba问题2取4个a球 （不取 b球）：取3个a
2、球 （取3 a 1 b）：取2个a球 （取2 a 2 b）：取1个a球 （取1 a 3 b）：不取 a球 （全取b球）：)(1434CC)(4404CC)(2424CC)(3414CC)(0444CC111111111112334465510101166151520 6543210bababababababa （a+b）的）的n次方展开式的系数的规律次方展开式的系数的规律杨辉简介杨辉简介v 南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家南宋末年钱塘人，是当时有名的数学家 和教育家，杨辉一生编和教育家，杨辉一生编写的数学书很多，写的数学书很多，但散佚严重。但散佚严重。杨辉生活在浙江杭州一带，杨辉生活在浙江杭
3、州一带，曾当过地方官，曾当过地方官，到过苏州、台州等地，他每到一处都会有人到过苏州、台州等地，他每到一处都会有人慕名前来慕名前来 请教数学问题。请教数学问题。本节课的课题本节课的课题二项式定理二项式定理就是研究就是研究（a+b）的）的平方，（平方，（a+b）的三次方）的三次方（a+b）的）的n次方的乘法展开次方的乘法展开式的规律，式的规律，法国数学家帕斯卡在法国数学家帕斯卡在17世纪发现了它，国外把这世纪发现了它，国外把这一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学家杨辉早在一规律称为帕斯卡三角。其实，我国数学家杨辉早在1261年在他的年在他的详解九章算法详解九章算法中就有了相应的图表。中就有了相应的
4、图表。猜想：猜想：没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明。-牛顿牛顿 nba)(nnnrrnrnbbaCC 222110baCbaCaCnnnnnn_?_)(nba 二项式定理的证明二项式定理的证明 数学归纳法数学归纳法 成成立立时时，显显然然有有当当bCaCban110111 kkkrrkrkkkkkkbCbaCbaCaCba 110 等等式式成成立立，即即假假设设kn 2 bababaknkk 11时时，当当11111111101 kkkrrkrkkkkkbCbaCbaCaC证:需要证明需要证明证毕证毕 bababaknkk 11时时，当当 11
5、1211011110110)(kkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCbaCabCbaCbaCaCbabCbaCbaCaC11110110)()()(kkkkkkkkrrkrkrkkkkkkbCabCCbaCCbaCCaC111111111101 kkkkkkrrkrkkkkkbCabCbaCbaCaCnba)(222bannCbaannnnCC110nnnrrnrnbbaCC 该公式所表示的定理叫做二项式定理，该公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的右边的多项式叫做的 展开式，其中展开式，其中的系数的系数 叫做二项式系数
6、。叫做二项式系数。式中式中 的叫做二项式通项，用的叫做二项式通项，用 表示，即通项为展开式的第表示，即通项为展开式的第 项。项。nba)(nrCrn,2,1,0rrnrnbaC1rT1r课堂练习课堂练习的展开式）写出（71.1q 的展开式）写出（nx 1.2的展开式）写出（nba .3 7)1(q76543272135352171qqqqqqq nx)1(22xCnxCn11 nnnrrnxxCC nba)(222bannCbaannnnCC110 nnnnrrnrnbbarCC11 课堂练习课堂练习的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（632.4yx 的的展展开开式式的的第第三三项项）求求
7、（623.5xy 的的二二项项式式系系数数的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（632.6ba 的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（632.4yx 2422626123216032yxyxCTT 通通项项知知解解：由由二二项项式式展展开开式式的的练习解答练习解答的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（623.5xy 2422626123486023xyxyCTT 通通项项知知解解：由由二二项项式式展展开开式式的的练习解答练习解答的的二二项项式式系系数数的的展展开开式式的的第第三三项项）求求（632.6ba 2422626123216032babaCTT 通通项项知知解解：由由二二项项式式展展开开式式的的2160,15,26数数为为而而展展开开式式的的第第三三项项的的系系第第三三项项的的二二项项式式系系数数为为展展开开式式的的由由二二项项式式系系数数定定义义知知 C 项数：共项数：共n+1项项,是关于是关于a与与b的齐次多项式的齐次多项式 指数指数:a的指数从的指数从n逐项递减到逐项递减到0,是降幂排列；是降幂排列；b的指数从的指数从0逐项递增到逐项递增到n，是升幂排列。，是升幂排列。的特点：的展开式通项rrnrnrnbabaCT 1)(nba)(nnnrrnrnbbaCC 222110baCbaCaCnnnnnn小结小结：
