1、如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOA问题情境FFSW=FW=FS SCOSCOS平面向量的数量积学习目标：1、掌握平面向量的数量积的定义及几何意义2、掌握平面向量数量积的性质下面请同学们看课本并思考如下问题：看课本116117页并思考如下问题：1、向量的夹角是如何定义（规定）的？2、向量的数量积如何定义，它与物理中力做功有什么联系？3、向量的数量积是向量吗？向量在方向上的投影是向量吗？4、平面向量的数量积有什么样的几何意义？1、向量的夹角 已知两个非零向量a和b，在平上任取一点O，作OA=a,OB=b,则 叫做向量a与b的夹角)1
2、800(AOB(1)中OA与OB的夹角为0（2）中OA与OB的夹角为180（3）中OA与OB的夹角为AOB（当 时，a与b；当 时，a与b；当 时，a与b，记作）018090（4）中OA与OB的夹角为反向同向ba 垂直指出下列图中两向量的夹角AOABBBB.AAOOO.（2）（4）（3）（1）思考1：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？向量的加减的结果还是向量，但向量的数量积结果是一个数量（实数）。（这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关）2、数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积）记作即 并规定 cosbab
3、acosbaba00ab bCOSCOS叫做向量b在向量a上的投影。1B)(1B1B（1）思考2：在下列各图中作出b bCOSCOS的几何图形，并说明它的几何意义是什么？OAB（2）abOAB（3）ababAO过b的终点B作OAa的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得 =b bCOSCOS1BB1B1OB投影是向量吗投影是一个数值（实数），当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值。时时b bCOSCOS时时b bCOSCOS时时b bCOSCOS018090b bb b0数量积ab等于a的长度aa与b在a的方向上的投影b bCOSCOS的积ab的几何意义：3、向量数量积的几何意义ab=
4、aab bCOSCOSa ab bOBOB b bCOSCOS4、向量数量积的性质设a a,b b都是非零向量，e e是与b b的方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 (1)e ea a=_;a ae e=_ (2)a ab b_a ab b=0(3)当a a与b b同向时，a ab b=_ 当a a与b b异向时，a ab b=_ a aa a=_(4)a ab _b _ aab b(5)cos _a aCOSCOSa aCOSCOSaab b-a-ab b2ababaab=aab bCOSCOSe ea a=a ae e=a aCOSCOS性质4ab=aab bCOSCOS（1）若a=0
5、a=0，则对任意向量b b，有a ab=b=0（）（2）若a 0a 0，则对任意非零向量b b，有a a b b 0 ()（3）若a 0a 0，且a ab b=0，则b=0 0 （）（4）若a ab b=0，则a=0a=0或b=0b=0 （）（5）对任意向量a a有 （）（6）若a 0a 0，且a ab=ab=ac c，则b=c b=c （）5、反馈练习:判断正误a a=|a|=|a|向量的数量积是向量之间的一种乘法，与数的乘法是有区别的,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBCADBCAD6 6、典型例题分析、典型例题分析92ADBCAD或 BCAD.1:
6、,60DAB3,AD4,ABABCD,图求中，在平行四边形如 CDAB.2 DAAB.3ab=aab bCOSCOSBACD60 且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB162ABCDAB或,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与 DAAB62134120cosDAABDAAB例题例题 CDAB.2 DAAB.3BACD60120进行向量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角ab=aab bCOSCOS24135钝角直角2323020254ab=aab bCOSCOS7、课时作业：1、已知|p p|8，|q q|6
7、，p p和q q的夹角是60，求p pq q2、设|a a|12，|b b|9，a ab b ，求a a和b b的夹角3、已知 中，ABa a，ACb b 当a ab b0时，是三角形；当a ab b=0时，是三角形4、已知|a a|6，e e为单位向量，当它们的夹角分别为 45、90、135时，求出a a在e e方向上的投影5、已知 中a5，b8，C60，求BCCAABCABCABCABC作业58 8、总结提炼、总结提炼（1 1）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、）本节课主要学习了平面向量数量积的定义、几何意义及其性质几何意义及其性质（2 2）向量的数量积的物理模型是力做功）向量的数量积
8、的物理模型是力做功（3 3）a ab b的结果是一个实数（标量）的结果是一个实数（标量）（4 4）利用）利用a ab=ab=ab bCOSCOS ，可以求两向量，可以求两向量 的夹角，尤其是判定垂直的夹角，尤其是判定垂直（5 5）两向量夹角的范围是）两向量夹角的范围是（6 6）五条基本性质要掌握）五条基本性质要掌握 (7)(7)德育与美育的渗透德育与美育的渗透1800ab=aab bCOSCOS1800或ab=aab bCOSCOS证明向量数量积性质4(4)a ab b aab b因为a ab=ab=ab bCOSCOS 所以a ab=ab=ab bCOSCOS又又COSCOS1 1所以 a
9、ab b aab b思考：在什么情况下取等号？返回练习ab=aab bCOSCOS反馈练习（2）若a 0a 0，则对任意非零向量b b，有a a b b 0吗？分析：对两非零向量a、b，当它们的夹角时a ab=b=090返回练习反馈练习（6）若a 0a 0，且a ab=ab=ac c，则b=c(b=c()ab=aab bCOSCOS分析：由右图易知，虽然a ab=ab=ac c，但b bc ca ac cb b返回例题返回反馈练习课堂作业5已知 中a a5，b b8，C60，求BCCA解：BCCA a ab b=a ab bCOSCOS(180-60)=5 8 cos 120 =-20ABCA
10、CBab=aab bCOSCOS60120 a ab bD平面向量的数量积平面向量的数量积（复习课）（复习课）一、知识复习一、知识复习1、数量积的定义：、数量积的定义：数量积的坐标公式：数量积的坐标公式：2121yyxxba其中：其中：),(11yxa),(22yxb 00:a规定cos|baba其中：其中：,0a0b0,范围是的夹角和是ba注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.2、数量积的几何意义：数量积的几何意义：.cos 的乘积的方向上的投影数量在与的长度等于数量积babaabacos|b3、数量积的物理意义：、数量积的物理意义：:,可用公式计
11、算所做的功那么力的作用下产生位移如果一个物体在力WFsFFScos|SFSFWabBAOcosbabacosFabbacosabba4、数量积的主要性质及其坐标表示：、数量积的主要性质及其坐标表示：是两个非零向量设ba,01baba内积为零是判定两向量垂直的充要条件0,21212211yyxxbayxbyxa则设非零向量 babababababa,;,.2反向时与当向量同向时与当aaaaaa或特别地2,用于计算向量的模22,yxayxa则设.cos.3baba2222212121212211cos,yxyxyyxxyxbyxa则设用于计算向量的夹角 baba.4.,2212212211yyxx
12、ayxyxa那么点的坐标分别为的有向线段的起点和终如果表示向量这就是平面内两点间的距离公式0,0,0bbaa不能推出时当2222212122121:yxyxyyxx证明柯西不等式特例5、数量积的运算律：、数量积的运算律：交换律：交换律：abba对数乘的结合律：对数乘的结合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba)(注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律)()(:cbacba即 :,4,3,002,001:.1其中正确的个数为有四个式子babacbcabaaa二、基础训练题二、基础训练题A.4个 B.3个 C.2个 D.1个:,.2下列结论正确的是均为单位向量已知 b
13、a1.baA22.baBbabaC平行.0.baD :04,3,2,1:,.3212121212222221212211其中假命题序号是有下列命题设向量yyxxbayyxxbayxbyxayxbyxaDB 的值是则实数且若,1,1,1,0.4ababaA-1 B.0 C.1 D.2（A）,1:平行且方向相同与因为解BCAD.0的夹角为与BCAD91330cosBCADBCAD 且方向相反平行与,.2CDAB180的夹角是与CDAB16144180cosCDABCDAB,60.3的夹角是与ADAB120的夹角是与DAAB62134120cosDAABDAAB三、典型例题分析三、典型例题分析进行向
14、量数量积计算时,既要考虑向量的模,又要根据两个向量方向确定其夹角。92ADBCAD或162ABCDAB或120例例1、BCADDABADABABCD.1:,60,3,4,求已知中在平行四边形如图 CDAB.2 DAAB.3BACD60两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一.babakkbaba2,60,4,5使为何值时问夹角为与且已知例例2、022:babakbabak解021222bbakak1514:k解得 babakk2,1514时所以当016260cos451225kk,2:ba因为解4222bbaa所以82242422baba22222222221cos
15、21cos121sin21bababababaOBOASAOB42122ba21222cos,2babaSba此时有最大值时当且仅当603416214221222bababacos值范围注意两个向量夹角的取1800的夹角与求的面积有最大值时当已知baAOBbababOBaOA,2,例例3、OABab得由记解0,1,0,1,:NMyxP0,2,1,1MNyxPNyxPM,12,1,1222xNPNMyxPNPMxMNMP列等价于是公差小于零的等差数于是NPNMPNPMMNMP,01212121221122xxxxyx0322xyx即30 xP的横坐标的取值范围为所以点,PNPM NPNM?,0,
16、1,0,1的横坐标的取值范围求点公差小于零的等差数列使且点已知两点PMNMPPNM例例4.小结小结2利用平面向量的数量积运算来解决一些实际利用平面向量的数量积运算来解决一些实际问题问题.1本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、本节课主要复习了平面向量数量积定义、性质、运算律、几何意义及其在物理学上的应用。运算律、几何意义及其在物理学上的应用。四、能力训练四、能力训练:,0,4,1.122的夹角是与则已知baababa90.A60.B120.C150.D_,12,5,3.2的方向上投影为在则且已知abbaba_,18,1,2.3的坐标为则且共线与已知向量xxaax.,1,330.4的夹角的余
17、弦与求向量且的夹角为与已知baqbapbaba.,.5的形状特征试判断四边形且中已知平面四边形ABCDaddccbbadDAcCDbBCaABABCD .,2103,sin,cos,sin,cos.6的夹角与并求此时的最小值求表示数量积用且若bababakkbkabakba .tan,2?1 ,0,1,0,1.400求的夹角与为记坐标为若点的轨迹是什么曲线点列成公差小于零的等差数使且点已知两点例PNPMyxPPNPNMPNPMMNMPPNM,200yxP的坐标为点解2041cosxPNPMPNPM202411cos1sinx0202020341411cossintanyxxx,211120202000yxyxxPNPM,1,10000yxPNyxPM202002020020202020202042416121211xxxyxxyxyxyxPNPM32020 yx0
