1、2.2.1 2.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的椭椭圆圆一一.课题引入：课题引入：行星运行的轨道我们的太阳系2.1.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程问题问题1 1：圆的几何特征是什么？：圆的几何特征是什么？平面内到一定点的距离为常数的点的轨平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆迹是圆.问题问题2 2：如果我们将圆定义中的一个定点改变成：如果我们将圆定义中的一个定点改变成两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点
2、到两个定点，动点到定点距离的定长改变成动点到两定点的距离之和为定长两定点的距离之和为定长.那么，将会形成什么那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？样的轨迹曲线呢？数数 学学 实实 验验(1)取一条细绳，取一条细绳，(2)把它的两端把它的两端 固定在板上的两固定在板上的两 点点F1、F2(3)用铅笔尖用铅笔尖（M）把细绳拉）把细绳拉 紧，在板上慢慢紧，在板上慢慢 移动看看画出的移动看看画出的 图形图形F1F2（1 1）在画出一个椭圆的过程中，）在画出一个椭圆的过程中，F F1 1、F F2 2的位置是固定的还是运动的？的位置是固定的还是运动的？（2 2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变）在画椭圆的过程
3、中，绳子的长度变了没有？说明了什么？了没有？说明了什么？（3 3）在画椭圆的过程中，绳子长度与两）在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？定点距离大小有怎样的关系？F1F2MF F1 1F F2 2=2c=2cMFMF1 1+MFMF2 2=2a=2a2a2c2a2c若若2a2c2a2c)探究探究:感悟感悟:(1)(1)若若|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|F1 1F F2 2|,M|,M点轨迹为椭圆点轨迹为椭圆.(1)(1)已知已知A(-3,0),B(3,0),MA(-3,0),B(3,0),M点到点到A,BA,B两点的距两点的距离和为离和为1010,则则M
4、M点的轨迹是什么点的轨迹是什么?(2)(2)已知已知A(-3,0),B(3,0),MA(-3,0),B(3,0),M点到点到A,BA,B两点的距两点的距离和为离和为6 6,则则M M点的轨迹是什么点的轨迹是什么?(3)(3)已知已知A(-3,0),B(3,0),MA(-3,0),B(3,0),M点到点到A,BA,B两点的距两点的距离和为离和为5 5,则则M M点的轨迹是什么点的轨迹是什么?椭圆椭圆线段线段ABAB不存在不存在 (3)(3)若若|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|F|2c则：则：2222+-+=2xcyx cya2222+=2-+xcyax cy2222222+=4-4
5、-+-+xcyaax cyx cy222-c=-+axax cy22222222-+=-acxa yaac设设222-=0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyababOb2x2+a2y2=a2b2它表示：它表示：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴轴 焦点坐标为焦点坐标为F1（-C，0）、）、F2（C，0）c2=a2-b2 椭圆的标准方程椭圆的标准方程)0(12222babyaxF1F2M0 xy椭圆的标准方程椭圆的标准方程)0(12222babxay它表示它表示:椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴 焦点是焦点是F1（0，-c）、）、F2（0，c）c2=a2-b2 xMF1F2yaxcyxcy2)
6、()(2222观察下图，你能从中找出表示观察下图，你能从中找出表示c,a,c,a,的线段吗？的线段吗？(课本课本3333页思考页思考)22caP PF F1 1F F2 2O Ox xy y因为因为c c2 2=a=a2 2b b2 2所以所以22cabcab思考：当椭圆的焦点在思考：当椭圆的焦点在y轴上时轴上时,它的标准方程是它的标准方程是怎样的呢怎样的呢椭圆的标准方程椭圆的标准方程0 12222babyax 12yoFFMxy xoF2F1M0 12222babxay定定 义义图图 形形方方 程程焦焦 点点F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c之间之间的关系的关系c c2
7、 2=a=a2 2-b-b2 2|MF1|+|MF2|=2a小小 结：结：椭圆的标准方程椭圆的标准方程焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上标准方程标准方程_焦点坐标焦点坐标_a、b、c的关系的关系c2_(ab0)(ab0)(c，0)，(c，0)(0，c)，(0，c)a2b22自学引导椭圆的标准方程的再认识：椭圆的标准方程的再认识：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；（2）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c始终满足始终满足c2=a2-b2 （不要与勾股定理（不要与勾股定理a2+b2=c2
8、 混淆）；混淆）；（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值；的值；（4）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在的分母哪一个大，则焦点在 哪一个轴上哪一个轴上.)0(12222babyax)0(12222babxay椭圆标准方程的特点椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足三个基本量满足a2b2c2且且ab0，其中其中2a表示椭圆上的点到两焦点表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，的距离之和，可借助如图所示的几何特征可借助如图所示的几何特征理解并记忆理解并记忆(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是利用标准方程
9、判断焦点的位置的方法是看大小，即看看大小，即看x2，y2的分母的大小，的分母的大小，哪个哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上较大的分母大，焦点就在哪个坐标轴上较大的分母是分母是a2，较小的分母是，较小的分母是b2.2名师点睛名师点睛 判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标，写出焦点坐标1162522yx答：在答：在 X 轴轴.（-3，0）和（）和（3，0）116914422yx答：在答：在 y 轴轴.（0，-5）和（）和（0，5）112222mymx答：在答：在y 轴轴.（0，-1）和（）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：判断椭圆
10、标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上焦点在分母大的那个轴上.巩固概念巩固概念应用举例应用举例。标为则两焦点坐已知椭圆方程为。的范围为则轴上的椭圆，表示焦点在方程。的范围为则轴上的椭圆，表示焦点在方程_1,9y16x3.)(by19ybx2.)(ax13yax.1222222a30b9)0,7(1162522yx例、填空：例、填空：已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标为：为：_焦距等于焦距等于_;若若CD为过为过左焦点左焦点F1的弦，则的弦，则F2CD的周长为的周长为_543(3,0)、(-3,0)620F1F2CD变式：变式：
11、若椭圆的方程为若椭圆的方程为14491622yx116922yx15422yx1、已知椭圆的方程为：、已知椭圆的方程为：，则，则a=_，b=_，c=_，焦点坐标为：，焦点坐标为：_焦距等于焦距等于_;曲线上一点曲线上一点P到焦点到焦点F1的距离为的距离为3，则点，则点P到另一个焦点到另一个焦点F2的距的距离等于离等于_，则，则F1PF2的周长为的周长为_21(0,-1)、(0,1)252 532 52F1F2OxyP例椭圆的两个焦点的坐标分别是（例椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点M到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程求椭圆的标准
12、方程.讲评例题讲评例题12yoFFMx解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为:2a=10,2c=8 a=5,c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为)0(12222babyax192522yx两个焦点的坐标分别是（两个焦点的坐标分别是（0，2）、（）、（0，2），并且椭），并且椭圆经过点圆经过点解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴上，轴上，由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，例例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：35,22 设它的标准方程为设它的标准方程为22221(0)yxabab222235352222222a2 1010a 又又 c=222210 4 6bac 所求的椭圆的标准方程为所求的椭圆的标准方程为221106yx解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：解题感悟：求椭圆标准方程的步骤：定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴；定量：求定量：求a,b的值的值.
