1、 定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用求平面图形的面积求平面图形的面积国家大剧院的主体构造类似半球的结国家大剧院的主体构造类似半球的结构，如何计算建造时中间每块玻璃段构，如何计算建造时中间每块玻璃段的面积？的面积？请用定积分表示下列不同情形的图形面积()baSf xdx()baSf xdx()()cbacSf xdxf xdx总结：即（a,b）内f(x)与x轴所围成封闭区域面积代数和，即x轴上方面积减去x轴下方面积。1.当xa，b时，若f(x)g(x)0，由直线xa，xb(ab)，yg(x)和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积2.当xa，b时，若g(x)0f(x),xc，b时，若g(x)
2、f(x),由直线xa，xb(ab)，yg(x)和曲线yf(x)围成的曲边梯形的面积总结：（a,b）内f(x)与g(x)轴所围成封闭区域面积即为：22211(2)Sxdxx dx9 2例：例：求抛物线求抛物线 与直线与直线 所围成的所围成的 图形的面积。图形的面积。2)(xxg2)(xxf()()bbaaSf x dxg x dx ()()baf xg x dx 作出作出y=x-2,y=x-2,的图象如图所示的图象如图所示:yx解方程组：解方程组：2xyxy所以直线所以直线y=x-2y=x-2与与 交点为交点为(4(4，2)2)直线直线y=x-4y=x-4与与x x轴的交点为轴的交点为(2(2，
3、0)0)yx因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：因此，所求图形的面积为一个曲边梯形与一三角形面积之差：4402(2)Sxdxxdx例题精讲例题精讲解法解法1例题例题 计算由曲线计算由曲线 ，直线，直线 以及以及 轴围成图形的轴围成图形的面积面积.103xy 2 xyx将所求平面图形的面积分割成左右将所求平面图形的面积分割成左右两个部分。两个部分。2xy21SSS332242022422110(2)23323xxxx解法解法2S1S2dxxxdxx)2(4220例题精讲例题精讲例题例题 计算由曲线计算由曲线 ，直线，直线 以及以及x x轴围成图形的面积轴围成图形的面积.2xyx
4、y分割图形求面积分割图形求面积xy 例题例题 计算由曲线计算由曲线 ，直线，直线 以及以及x x轴围成图形的面积轴围成图形的面积.2xyxy例题精讲例题精讲解法解法3220(2)Syydy22301110(2)233yyy2xy2xy变更积分元、化繁为简变更积分元、化繁为简将曲线绕将曲线绕x x轴旋转，与直线相交轴旋转，与直线相交于两点，求曲线与直线围成的于两点，求曲线与直线围成的面积。面积。变式训练变式训练xy 2xy将曲线绕将曲线绕x x轴旋转，与直线相交轴旋转，与直线相交于两点，求曲线与直线围成的于两点，求曲线与直线围成的面积。面积。ABS1S2变式训练变式训练xy 2xy1,1B交 点
5、2912SSS1031201()(2)x dxxdxABS2S1S112140122(2)SSSxdxxxdx变式训练变式训练xy 2xy,241,1AB和交点29AB221(2)Syy dy223-1(2)23yyy思考：思考：将取将取y y为积分变量，把函为积分变量，把函数数y=x-2y=x-2变形为变形为 ,函数函数 变形为变形为yx拓展训练拓展训练292xy2xy2xy2xy1.1.作图象作图象;2.2.求交点求交点,定出定出积分上、下限积分上、下限;3.3.用定积分表示所求的面积用定积分表示所求的面积;4.4.用用微积分基本定理微积分基本定理求定积分求定积分.求由曲线围成的平面图形面
6、积的解题步骤：求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：22-13.yxy、求抛物线和围成的图形面积3x1y求由曲线 ，直线x=2以及x轴所围、成图形的面积当堂检测当堂检测sin,cos,0,.2yx yx xx3、求由所围成的图形面积1 1本节课我们做了什么探究活动呢？本节课我们做了什么探究活动呢？2 2定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？定积分解决曲边形面积的步骤有哪些？3 3这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？这一过程中体会到哪些研究思路及方法呢？小小 结结作作 业业课题：定积分的应用：定积分的应用：平面图形的面积平面图形的面积版本：版本：人教版选修人教版选修2-2教材分析教材分析教学目标教
7、学目标教法与学法分析教法与学法分析教学过程的设计教学过程的设计教学评价教学评价板书设计板书设计 一、教材分析一、教材分析定积分的简单应用是人教版选修定积分的简单应用是人教版选修2-2第第1章第章第7节节的内容，从题目中可以看出这节教学的要求，就是让的内容，从题目中可以看出这节教学的要求，就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及和方法，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。
8、在整个高中数学体数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。学的基础。学生已经学习了定积分的定义，由来及微积分基学生已经学习了定积分的定义，由来及微积分基本定理。本定理。在定积分与曲边梯形面积关系中，许多在定积分与曲边梯形面积关系中，许多学生默认相等，这就与定积分本质相违背。学生默认相等，这就与定积分本质相违背。（二）学情分析能力层面能力层面：学生有一定的推理和探索能力，面对知识点，学学生有一定的推理和探索能力，面对知识点，学生还需有归纳概括的能力。还需体会数学学科研生还需有归纳概括的能力。
9、还需体会数学学科研究的基本过程与方法。究的基本过程与方法。情感层面情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，有待加强。均衡，有待加强。知识层面知识层面：一、教材分析一、教材分析 知识与技能知识与技能过程与方法过程与方法情感态度价值观情感态度价值观通过运用积分方法通过运用积分方法解诀实际问题的过解诀实际问题的过程，体会到微积分程，体会到微积分定理在求简单曲边定理在求简单曲边梯形面积时的巨大梯形面积时的巨大作用作用 二、教学目标二、教学目标会会根据定积分
10、的根据定积分的几何意义建立求几何意义建立求简单曲边梯形面简单曲边梯形面积问题的数积问题的数理理解建立实际解建立实际问题积分模型的问题积分模型的基本过程和方法基本过程和方法，并体会其，并体会其中的中的数形结合的思想数形结合的思想教学重点：教学重点：教学难点：教学难点：二、教学目标二、教学目标利用定积分求利用定积分求平面图形的面平面图形的面积积将实际问题化将实际问题化归为定积分的归为定积分的问题。如何恰问题。如何恰当选择积分变当选择积分变量和确定被积量和确定被积函数。函数。问题引导实例研究分析问题实际应用等形式，培养学习兴趣，调动学生学习的积极性1教学方法问题研究、小组讨论合作学习、理论应用实践解
11、决实际问题2学习方法 三、教法、学法分析三、教法、学法分析情景引入情景引入1师生互动师生互动探究问题探究问题2讲练结合讲练结合巩固新知巩固新知4归纳整理，归纳整理，形成结论形成结论3小结归纳小结归纳5 四、教学过程四、教学过程 教学过程教学过程5布置作业布置作业6 61、创设情景，引入新课、创设情景，引入新课设计意图：数学来源于生活，服务于生活。通过对国设计意图：数学来源于生活，服务于生活。通过对国家大剧院的观察，创设问题情境，体验数学在现实生家大剧院的观察，创设问题情境，体验数学在现实生活中的无处不在，激发学生的学习热情，引导他们积活中的无处不在，激发学生的学习热情，引导他们积极主动的参与到
12、学习中来。极主动的参与到学习中来。让让学生感受定积分的工具学生感受定积分的工具性作用与应用价值性作用与应用价值。2 2、师生互动，探究问题、师生互动，探究问题探讨探讨:设计意图：设计意图：由特殊到一般，把x轴升级成y=g(x),演变成在（a,b）内两函数图像所夹的平面区域面积，悟透本质为两面积的差，从而将面积公式归纳为上界函数减去下界函数的差在（a,b）上的定积分。培养学生乐于尝试，敢于创新的精神，通过探究，发现并掌握数学学科研究的基本过程与方法。3 3类比联想，解决问题类比联想，解决问题设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，自己探究公式，从而体验到学习的成功和
13、愉快。探讨探讨设计意图：使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识。4 4、讲练结合，巩固新知、讲练结合，巩固新知设计意图：突出应用定积分解决平面图形面积问题这一重点，化解如设计意图：突出应用定积分解决平面图形面积问题这一重点，化解如何把平面图形的面积问题转化为定积分问题这一难点，变灌输知识为何把平面图形的面积问题转化为定积分问题这一难点，变灌输知识为主动获取知识，从而使学生真正成为课堂教学活动的主体。整个过程主动获取知识，从而使学生真正成为课堂教学活动的主体。整个过程充分体现树形结合和化归思想的数学思想方法。教师对学生可能出现充分体现树形结合和化归思想的数学思想方法。教师对学生可能出现的
14、不同解法进行投影分析，并进行比较学生体会几种方法的区别及联的不同解法进行投影分析，并进行比较学生体会几种方法的区别及联系，加强对重难点的理解，系，加强对重难点的理解，5 5、总结归纳，加深理解、总结归纳，加深理解 提出问题，引导学生回顾新知及其推导提出问题，引导学生回顾新知及其推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结识点及数学思想方法两方面总结设计意图：设计意图：此环节培养学生的口头表达能力，归纳概括能力.设计意图：设计意图：数学源于生活，又服务于生活。把引入课题时数学源于生活，又服务于生活。把引入课题时的悬念给予释疑，有助于
15、学生克服认知疲劳，促的悬念给予释疑，有助于学生克服认知疲劳，促进积极思维。进积极思维。6 6、课后作业，分层练习、课后作业，分层练习 设计意图：设计意图：有层次的布置作业，既使学生掌握基础知识，又有层次的布置作业，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的同学有所提高。使学有余力的同学有所提高。作业：课本作业：课本95页页7.8五、教学评价 本节课是在学生已有知识的基础上学习的，在教学过程中，通过自主探究，合作交流，充分调动学生的积极性和主动性，及时吸收反馈信息，并通过学生的自评，互评，让内部动机和外界刺激协调作用，促进其数学素养不断提高。六、板书设计六、板书设计3.2等比数列的前等比数列的前n项和项和1公式推导公式推导2公式分类公式分类3公式运用公式运用例例1例例2例例34课堂小结课堂小结 及课后作业及课后作业
