1、1.1.1 变化率问题变化率问题 丰富多彩的变化率问题丰富多彩的变化率问题随处可见随处可见.让我们从其中的让我们从其中的两个问题，开始变化率与导两个问题，开始变化率与导数的学习吧！数的学习吧！1.1 变化率与导数变化率与导数问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学从数学角度角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?l 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r单位单位:(dm)之间的函数关系是之间的函
2、数关系是34V(r)=r3l如果将半径如果将半径r r表示为体积表示为体积V V的函数的函数,那么那么33Vr(V)=4l当当V从从0增加到增加到1时时,气球半径增加气球半径增加气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率为为r(1)-r(0)0.62(dm)r(1)-r(0)(dm/L)1-00.62l当当V V从从1 1增加到增加到2 2时时,气球半径增加气球半径增加气球的气球的平均膨胀率平均膨胀率为为r(2)-r(1)0.16(dm)r(2)-r(1)(dm/L)2-10.16 显然显然0.620.16思考思考l当空气当空气容量从容量从V1增加到增加到V2时时,气球的平气球的平均膨胀率是多少均膨胀率
3、是多少?2121()()r Vr VVV问题问题2 高台跳水高台跳水 想想运想想运动员跳水的动员跳水的过程？过程？在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h(单位：米单位：米)与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：（单位：秒）存在函数关系秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t t2 2+6.5t+10.如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗如何用运动员在某一时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态略地描述其运动状态?请计算请计算:时0 0t t0 0.5 5和和1 1 t t2 2的的平平均均速速度度h(0.5)-h(0)v=4.05 m/s)0.5-0（h
4、(2)-h(1)v=-8.2 m/s)2-1（:这时间在在0t0.5段0t0.5段的的平平均均速速度度里里:这时间在在1t2段1t2段里里的的平平均均速速度度思考思考l当时间从当时间从t1t1增加到增加到t2t2时时,运动员的平均运动员的平均平均速度是多少平均速度是多少?h(t)=-4.9th(t)=-4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+102121()()h th tvtt总结总结 以上两个问题都是求变化率，以上两个问题都是求变化率，我们可以用函数关系式我们可以用函数关系式y=f(x)来表来表示示.那么变化率为那么变化率为2121f(x)-f(x)x-x 若设若设x=x2x1,y=f(
5、x2)f(x1)121)()f xxx2f(x2121f(x)-f(x)y=xx-xl 上述问题中的变化率可用式子上述问题中的变化率可用式子 表示表示我们称之为函数我们称之为函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率1.1.平均变化率的定义平均变化率的定义这里这里x是是x1的一个的一个“增量增量”：x2x1+x ;y是是(x1)的一个的一个“增量增量”:f(x2)=f(x1)+y.则则平均变化率平均变化率为为11f(x+x)-f(x)=x注意！注意！2.2.是一个整体符号，而不是是一个整体符号，而不是 与与 相乘相乘.xx1 1 x x是自变量是自变量x x的改变量，它可以为正，的改
6、变量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而也可以为负，但不能等于零，而 y y是相是相应函数值的改变量，它可以为正，可以应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以等于零，特别是当函数为为负，也可以等于零，特别是当函数为常数函数时，常数函数时，y y0.0.1、已知函数已知函数f(x)=-x2的图象上的的图象上的一点一点A(-1,-1)及临近一点及临近一点B(0,0),则则y/x=()=()A.3 B.4 C.1 D.-1 c解：解：=0-(-1)=1；=0-（-1）=1；yx1yx 思考思考 观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?2121f(x)-f
7、(x)x-xO OA AB Bx xy yY=f(x)x x1 1x x2 2f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)X X2 2-x-x1 1f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)割线割线ABAB的的斜率斜率2.2.平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义例例2 (1)计算函数计算函数 f(x)=2 x+1在区间在区间 3,1上的平均变化率上的平均变化率；(2)求函数求函数f(x)=x2+1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f(-1)-f(-3)=4 x=-1-(-3)=2422yx(2)解：解：y=f(x+x)-f(x)=2x x+(x)2 22()2yx xxxxxx
8、 求函数的平均变化率的步骤：求函数的平均变化率的步骤：（1）求函数的增量求函数的增量y=f(x2)-f(x1);（2）计算平均变化率计算平均变化率y y=x x.2121f(x)-f(x)x-x1已知函数已知函数f(x)，当自变量由，当自变量由x0变化到变化到x1时时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数函数()A在区间在区间x0，x1上的平均变化率上的平均变化率B在在x0处的变化率处的变化率C在在x1处的变化率处的变化率D以上结论都不对以上结论都不对随堂练习随堂练习A2、函数函数 在区间在区间 上的上的平均变化率是（平均变化率是（）2 2f f x x=
9、x x-1 1,3 3A.4 B.2 1434C.D.B2 2 y3-1y3-1解解：=2=2 x3-(-1)x3-(-1)3质点运动规律为质点运动规律为s(t)t23，则从，则从3到到3t的平均速度为的平均速度为()答案A4.求求y=x2在在x=x0附近的平均变化率附近的平均变化率.00()()解：f xxf xyxx22000(xx)x=2xxx+解析解析yf(1x)f(1)(1x)31 (x)33(x)23x，5、过曲线过曲线y=f(x)=x3上两点上两点P（1，1）和和Q（1+x,1+y）作曲线的割线，作曲线的割线，求出当求出当x=0.1时割线的斜率时割线的斜率.作作 业业 求求y=1/xy=1/x在在x=xx=x0 0附近的平均附近的平均变化率变化率.
