1、数学试题第 1 页（共 4 页）绝密启用前2023 年普通高等学校招生星云线上统一模拟考试数学本试卷共 4 页，22 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。祝考试顺利注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择
2、题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若i12izz，则|i|z A55B105C51 0D101052已知集合|217Axx，|2Byy，则AAB B(3,4AB CRAB D(,4AB 3已知131()2a，13log eb，0.13c，则AabcBacbCbacDbca4农历是我国古代通行历法，被誉为“世界上最突出和最优秀的智慧结晶”它以月相变化周期为依据，每一次月相朔望变化为一个月，即“朔望月”，约为29.530 6天由于历法精度的需要，农历设置“闰月”，即按照一定的规律每过若干年增加若干月份，来修正因为天数的不完美造
3、成的误差，以使平均历年与回归年相适应：设数列na满足111ab，21211abb，3123111abbb，其中nb均为正整数：12b，21b，32b，41b，51b，616b，那么第n级修正是“平均一年闰na个月”已知我国农历为“19年共闰7个月”，则它是A第3级修正B第4级修正C第5级修正D第6级修正5若sin2cossin1cos2cossin，则tan2A2B2C1D1数学试题第 2 页（共 4 页）6已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，上顶点为A，直线1AF与C的另一个交点为B若22AFBF，则C的离心率为A2 55B55C452 55D352 557
4、 在四面体ABCD中，AB 平面BCD，CD 平面ABC，2AD，且异面直线AD与BC的夹角为30，则ABCD的最大值为A22B22 55C62D62 558已知圆O的半径为1，A，B，C，D为圆O上四点，且|1ABCD ，则AC ADBC BD 的最大值为A3 2 3B2 3C6 2 3D4 3二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9已知函数()(ee)xxf xx，则A()f x是偶函数B()f x单调递增C曲线()yf x在点(0,(0)f处切线的斜率为0D
5、23(log 3)()02ff10有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球记第一次取出的球的数字为1X，第二次取出的球的数字为2X设12XXX，其中 x表示不超过x的最大整数，如11，2.52，则A125()12P XXB122(5)9P XXC事件“16X”与“0X”互斥D事件“21X”与“0X”对立11 设双曲线222:1(0)2xyCbb的左、右焦点分别为1F，2F 点O为坐标原点，点(1,3)M，12MFMF，点P为C右支上一点，则AC的渐近线方程为yx B212|POPFPFC当P，M，1F，2F四点共圆时，115PFMD当P，M，1F
6、，2F四点共圆时，1215PFF12 如图，在五面体PQABCD中，底面ABCD为矩形，ADP和BCQ均为等边三角形，PQ平面ABCD，7AB，2 3AD，且二面角PADC和QBCA的大小均为(0,)设五面体PQABCD的各个顶点均位于球O的表面上，则A有且仅有一个，使得五面体PQABCD为三棱柱B有且仅有两个，使得平面ADP 平面BCQC当1cos4 时，五面体PQABCD的体积取得最大值D当cos0时，球O的半径取得最小值ABPQDC数学试题第 3 页（共 4 页）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1382()2yxx的展开式中22x y的系数为（用数字作答）14
7、书架上放有2本语文书和3本数学书，学生甲先随机取走2本书，学生乙再在剩下的书中随机取走1本书已知甲至少取走了1本数学书，则乙取走语文书的概率为15已知奇函数()cos()(0)f xx在(,)12 12单调递减，且1()32f，则()f 16已知函数32()f xxaxbxc恰有两个零点1x，2x和一个极大值点0102()xxxx，且1x，0 x，2x成等比数列，则21xx；若0()()f xf x的解集为(5,)，则()f x的极大值为四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）记nS为数列na的前n项和，已知12(1)21nnnana
8、aS证明：（1）nS为等比数列；（2）12127nnaaa18（12 分）我国航空事业的发展，离不开航天器上精密的零件 某车间使用数控机床制造一种圆形齿轮零件A 由于零件A的高精度要求，该车间负责人需要每隔一个生产周期对所生产零件的直径进行统计，排查机床可能存在的问题并及时调试维修已知该负责人在两个相邻生产周期（分别记为周期和周期）中分别随机检查了10枚零件A，测量得到的直径（单位：mm）如下表所示：周期4.95.15.05.05.15.04.95.25.04.8周期4.85.25.05.04.84.85.25.15.05.1周期和周期中所生产零件A直径的样本平均数分别记为1x和2x，样本方差
9、分别记为21s和22s（1）求1x，2x，21s，22s；（2）判断机床在周期是否出现了比周期更严重的问题（如果22212.050ss，则认为机床在周期出现了比周期更严重的问题，否则不认为出现了更严重的问题）数学试题第 4 页（共 4 页）DPCEAB19（12 分）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AC 平面PBD，PBPD，2AB，且二面角PACD的大小为60（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）设E为PC的中点，求直线AE与平面PBD所成角的正弦值20（12 分）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知2ab，2cos1sin2cos1sinBBAA（1）证明：2()cab；（2）求ABC面积的最大值21（12 分）已知抛物线2:2(0)C xpy p的焦点到直线:25l yx的距离为6 55（1）求C的方程；（2）若点P在l上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，直线AB与l交于点Q，证明：存在定点H，使得PHQH22（12 分）已知函数3()sinf xxxax（1）当0 x时，()0f x，求a的取值范围；（2）是否存在nN，使得1113ln2sinsinsin1 324(2)4n n？说明理由
