1、核心母题一 最值问题,【核心母题】 (1)如图1，点A，B在直线l的同侧，确定直线上一点P，使PA PB的值最小 (2)如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上 一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对 称连接ED交AC于点P，则PBPE的最小值是 ,(3)如图3，O的半径为2，点A，B，C在O上，OAOB， AOC60，P是OB上一动点，求PAPC的最小值是 (4)如图4，在直角坐标系中，抛物线过点A(0，4)，B(1，0)， C(5，0)，P在抛物线的对称轴上，若使PAB的周长最小， 则点P的坐标为 ；若使|PAPC|的值最大，则点P的坐标 为 ,【重
2、要考点】 两点之间，线段最短、轴对称的性质、正方形的性质、圆、 二次函数的图象与性质、三角形相关知识、基本作图等,【考查方向】 2019年中考的最短路径问题，即“将军饮马”模式，动点问 题下的最值问题仍然是常考问题，一般放置在选择题、填空 题或解答题最后，以压轴题的形式出现，分值一般为312 分,【命题形式】 主要以二次函数、四边形、三角形为背景借助轴对称的性质 考查学生的综合能力，在解答时还会涉及分类讨论思想、转 化思想的运用,【母题剖析】 (1)关键是作点A关于直线l的对称点A. (2)由题意得PBPEPDPEDE，在ADE中，根据勾股定 理求解即可； (3)作A关于OB的对称点A，连接A
3、C，交OB于点P，AC的 长即是PAPC的最小值,(4)先求出抛物线的解析式及对称轴，要使PAB的周长最 小，即PAPBAB最小，因此可以利用轴对称的性质，将问 题转化，点A关于对称轴的对称点A的坐标为(6，4)，连接 BA，交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周长最小，可 求出直线BA的解析式即可得出点P的坐标根据抛物线 的对称性及垂直平分线的性质有PBPC，即将求|PAPC|的 最大值，转化为求|PAPB|的最大值，即可得解,【母题详解】 突破关键词：轴对称，轴对称图形、线段和(差)最小(最 大)、周长最小、面积最大、勾股定理 (1)如图，作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于 点P
4、，则PAPBAB的值最小,(2) 提示：四边形ABCD是正方形， AC垂直平分BD， PBPD，由题意易得PBPEPDPEDE. 在ADE中，根据勾股定理得DE 即PBPE的最小值是 .,(3)2 提示：如图，作A关于OB的对称点A，连接AC，交OB于点 P，则PAPC的最小值即为AC的长 AOC60，AOC120. 作ODAC于点D，则AOD60. OAOA2，AD ， AC2 ，即PAPC的最小值是2 .,(4)(3， ) (3，8) 提示：根据已知条件可设抛物线的解析式为 ya(x1)(x5)，把点A(0，4)代入得a ， y (x1)(x5) x2 x4 (x3)2 ， 抛物线的对称轴
5、是直线x3. 点A(0，4)，抛物线的对称轴是直线x3， 点A关于对称轴的对称点A的坐标为(6，4),如图，连接BA，交对称轴于点P，连接AP，此时PAB的周 长最小,设直线BA的解析式为ykxb，,使PAB的周长最小的点P的坐标为(3， ) 由抛物线的对称性可知，点B，点C关于对称轴对称， 对称轴上任意一点P，均有PBPC，|PAPC|PAPB|. 当点P，A，B不共线时，可构成PAB，此时|PAPB|AB，,当点P，A，B共线时，则|PAPB|取得 最大值，如图所示，此时|PAPB|AB. 设直线AB的解析式为ykxb，,将A(0，4)，B(1，0)代入得 解得 y4x4. P点在抛物线对
6、称轴上，横坐标为x3， 代入y4x4中得y4348， 使|PAPC|取得最大值的点P的坐标为(3，8),【思想方法】 (1)最值(或最短路径)问题的背景来源主要有：角、等腰 (边)三角形、菱形、正方形以及圆等从内容上看，还会 引申到“两线段差最大”问题、三角形(四边形)的周长最 小问题、面积最大等除此之外，解决最值问题常常借助 极端点,(2)一般地，解决线段和差最值问题的目标是“化曲为直”， 手段通常是遇“和”转化为异侧，遇“差”转化为“同侧”， 根据是轴对称和全等三角形，常用方法是利用轴对称图形中 的“已知”的对称点涉及的知识点有“两点之间线段最短” “垂线段最短”“三角形三边关系”“轴对称”“平移”等,【母题多变】 变化1：几何与最值,变化2：坐标系中的最值,
