1、第六章（第六章（3）主讲教师：解小华学时：主讲教师：解小华学时：64646-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 本节提要本节提要问题的提出问题的提出异步电动机动态数学模型的性质异步电动机动态数学模型的性质三相异步电动机的多变量非线性数学模型三相异步电动机的多变量非线性数学模型坐标变换和变换矩阵坐标变换和变换矩阵三相异步电动机在两相坐标系上的数学模型三相异步电动机在两相坐标系上的数学模型三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程问题的提出问题的提出 前节论述的基于稳态数学模型的异步电前节论述的基于稳态数学模型的异步电机调速系统虽然能够在一定范围内实现平机调速
2、系统虽然能够在一定范围内实现平滑调速，但是，如果遇到轧钢机、数控机滑调速，但是，如果遇到轧钢机、数控机床、机器人、载客电梯等需要高动态性能床、机器人、载客电梯等需要高动态性能的调速系统或伺服系统，就不能完全适应的调速系统或伺服系统，就不能完全适应了。要实现高动态性能的系统，必须首先了。要实现高动态性能的系统，必须首先认真研究异步电机的动态数学模型。认真研究异步电机的动态数学模型。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换一、异步电动机动态数学模型的性质一、异步电动机动态数学模型的性质1.1.直流电机数学模型的性质直流电机数学模型的性质 直流电机的磁通由励磁绕组产生，可以在直流电机的磁通由励磁绕
3、组产生，可以在电枢合上电源以前建立起来而不参与系统的电枢合上电源以前建立起来而不参与系统的动态过程（弱磁调速时除外），因此它的动动态过程（弱磁调速时除外），因此它的动态数学模型只是一个单输入和单输出系统态数学模型只是一个单输入和单输出系统。直流电机直流电机模型模型Udn 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 直流电机模型变量和参数直流电机模型变量和参数 输入变量输入变量电枢电压电枢电压 Ud；输出变量输出变量转速转速 n；控制对象参数：控制对象参数：p机电时间常数机电时间常数 Tm；p电枢回路电磁时间常数电枢回路电磁时间常数 Tl；p电力电子装置的滞后时间常数电力电子装置的滞后时间常数
4、 Ts。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 控制理论和方法控制理论和方法 在工程上能够允许的一些假定条件下，可在工程上能够允许的一些假定条件下，可以描述成单变量（单输入单输出）的三阶以描述成单变量（单输入单输出）的三阶线性系统，完全可以应用经典的线性控制线性系统，完全可以应用经典的线性控制理论和由它发展出来的工程设计方法进行理论和由它发展出来的工程设计方法进行分析与设计。分析与设计。但是，同样的理论和方法用来分析与设但是，同样的理论和方法用来分析与设计交流调速系统时，就不那么方便了，因计交流调速系统时，就不那么方便了，因为交流电机的数学模型和直流电机模型相为交流电机的数学模型和直流电
5、机模型相比有着本质上的区别。比有着本质上的区别。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 2.2.交流电机数学模型的性质交流电机数学模型的性质 （1 1）异步电机变压变频调速时需要进行电）异步电机变压变频调速时需要进行电压（或电流）和频率的协调控制，有电压压（或电流）和频率的协调控制，有电压（电流）和频率两种独立的输入变量。在（电流）和频率两种独立的输入变量。在输出变量中，除转速外，磁通也得算一个输出变量中，除转速外，磁通也得算一个独立的输出变量。因为电机只有一个三相独立的输出变量。因为电机只有一个三相输入电源，磁通的建立和转速的变化是同输入电源，磁通的建立和转速的变化是同时进行的，为了获得
6、良好的动态性能，也时进行的，为了获得良好的动态性能，也希望对磁通施加某种控制，使它在动态过希望对磁通施加某种控制，使它在动态过程中尽量保持恒定，才能产生较大的动态程中尽量保持恒定，才能产生较大的动态转矩。转矩。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l多变量、强耦合的模型结构多变量、强耦合的模型结构 由于这些原因，由于这些原因，异步电机是一个异步电机是一个多多变量变量（多输入多输（多输入多输出）系统，而电压出）系统，而电压（电流）、频率、（电流）、频率、磁通、转速之间又磁通、转速之间又互相都有影响，所互相都有影响，所以是以是强耦合强耦合的多变的多变量系统，可以先用量系统，可以先用右图来定性地
7、表示右图来定性地表示。A1A2Us1(Is)图6-43 异步电机的多变量、强耦合模型结构 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 模型的非线性模型的非线性 （2 2）在异步电机中，电流乘磁通产生转）在异步电机中，电流乘磁通产生转矩，转速乘磁通得到感应电动势，由于矩，转速乘磁通得到感应电动势，由于它们都是同时变化的，在数学模型中就它们都是同时变化的，在数学模型中就含有两个变量的乘积项。这样一来，即含有两个变量的乘积项。这样一来，即使不考虑磁饱和等因素，数学模型也是使不考虑磁饱和等因素，数学模型也是非线性的。非线性的。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 模型的高阶性模型的高阶性 （
8、3 3）三相异步电机定子有三个绕组，转子）三相异步电机定子有三个绕组，转子也可等效为三个绕组，每个绕组产生磁通也可等效为三个绕组，每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性，再算上运动系统时都有自己的电磁惯性，再算上运动系统的机电惯性，和转速与转角的积分关系，的机电惯性，和转速与转角的积分关系，即使不考虑变频装置的滞后因素，也是一即使不考虑变频装置的滞后因素，也是一个八阶系统。个八阶系统。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 总起来说，异步电机的动态数学总起来说，异步电机的动态数学模型是一个模型是一个高阶、非线性、强耦合高阶、非线性、强耦合的多变量系统
9、的多变量系统。二、三相异步电动机的多变量非线性数学模型二、三相异步电动机的多变量非线性数学模型 假设条件假设条件：（1 1）忽略空间谐波，设三相绕组对称，在）忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间互差空间互差120电角度，所产生的磁动势电角度，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；沿气隙周围按正弦规律分布；（2 2）忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感）忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的；都是恒定的；（3 3）忽略铁心损耗；）忽略铁心损耗；（4 4）不考虑频率变化和温度变化对绕组电）不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。阻的影响。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电
10、动机的动态数学模型和坐标变换 物理模型物理模型 无论电机转子是绕线型还是笼型的，无论电机转子是绕线型还是笼型的，都将它等效成三相绕线转子，并折算到都将它等效成三相绕线转子，并折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数都相等。这样，实际电机绕组就等效成都相等。这样，实际电机绕组就等效成下图所示的三相异步电机的物理模型。下图所示的三相异步电机的物理模型。三相异步电动机的物理模型三相异步电动机的物理模型ABCuAuBuC1uaubucabc图6-44 三相异步电动机的物理模型 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 图中，
11、定子三相绕组轴线图中，定子三相绕组轴线 A、B、C 在在空间是固定的，以空间是固定的，以 A A 轴为参考坐标轴；转轴为参考坐标轴；转子绕组轴线子绕组轴线 a、b、c 随转子旋转，转子随转子旋转，转子 a 轴和定子轴和定子A 轴间的电角度轴间的电角度 为空间角位移为空间角位移变量。变量。规定各绕组电压、电流、磁链的正方向规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。这时，符合电动机惯例和右手螺旋定则。这时，异步电机的数学模型由下述电压方程、磁异步电机的数学模型由下述电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。链方程、转矩方程和运动方程组成。1.1.电压方程电压方程三相定子绕组
12、的电压平衡方程为三相定子绕组的电压平衡方程为 tRiuddAsAAtRiuddBsBBtRiuddCsCC 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换电压方程（续）电压方程（续）与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为的电压方程为 tRiuddaraatRiuddbrbbtRiuddcrcc 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 上述各量都已折算到定子侧，为了简单起见，上述各量都已折算到定子侧，为了简单起见，表示折算的上角标表示折算的上角标“”“”均省略，以下同此。均省略，以下同此。式中式中Rs,Rr定
13、子和转子绕组电阻。定子和转子绕组电阻。A,B,C,a,b,c 各相绕组的全磁链；各相绕组的全磁链；iA,iB,iC,ia,ib,ic 定子和转子相电流的瞬时值；定子和转子相电流的瞬时值；uA,uB,uC,ua,ub,uc 定子和转子相电压的瞬时值；定子和转子相电压的瞬时值；电压方程的矩阵形式电压方程的矩阵形式 将电压方程写成矩阵形式，并以微分算子将电压方程写成矩阵形式，并以微分算子 p 代代替微分符号替微分符号 d/dtcbaCBAcbaCBArrrssscbaCBA000000000000000000000000000000piiiiiiRRRRRRuuuuuu（6-67a）或写成或写成 R
14、iup（6-67b）6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 2.2.磁链方程磁链方程 每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表达为达为 cbaCBAcCcbcacCcBcAbcbbbabCbBbAacabaaaCaBaACcCbCaCCCBCABcBbBaBCBBBAAcAbAaACABAAcbaCBAiiiiiiLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（6-68a）或写成或写成 Li（6-68b）6-6 异步电动机的动态数学模
15、型和坐标变换l 电感矩阵电感矩阵式中，式中，L 是是6 66 6电感矩阵，其中对角线元素电感矩阵，其中对角线元素 LAA，LBB，LCC，Laa，Lbb，Lcc 是各有关绕是各有关绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。组的自感，其余各项则是绕组间的互感。实际上，与电机绕组交链的磁通主要只有实际上，与电机绕组交链的磁通主要只有两类：一类是穿过气隙的相间互感磁通，另两类：一类是穿过气隙的相间互感磁通，另一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通，前者是主要的。磁通，前者是主要的。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换l 电感的种类和计算电感的种类和计算 定
16、子漏感定子漏感 Lls 定子各相漏磁通所对应的电感定子各相漏磁通所对应的电感，由于绕组的对称性，各相漏感值均相等；，由于绕组的对称性，各相漏感值均相等；转子漏感转子漏感 Llr 转子各相漏磁通所对应的电感。转子各相漏磁通所对应的电感。定子互感定子互感 Lms与定子一相绕组交链的最大互与定子一相绕组交链的最大互感磁通；感磁通；转子互感转子互感 Lmr与转子一相绕组交链的最大互感与转子一相绕组交链的最大互感磁通。磁通。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 由于折算后定、转子绕组匝数相等，由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，
17、磁阻且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，故可认为相同，故可认为 Lms=Lmr 自感表达式自感表达式 对于每一相绕组来说，它所交链的磁通对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通与漏感磁通之和，因此，定是互感磁通与漏感磁通之和，因此，定子各相自感为子各相自感为smsCCBBAAlLLLLL 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（6-69）转子各相自感为转子各相自感为 rmsccbbaalLLLLL（6-70）互感表达式互感表达式 两相绕组之间只有互感。互感又分为两类：两相绕组之间只有互感。互感又分为两类：（1 1）定子三相彼此之间和转子三相彼此）定子三相彼此之间和转子三相彼此之间位
18、置都是固定的，故互感为常值；之间位置都是固定的，故互感为常值；（2 2）定子任一相与转子任一相之间的位）定子任一相与转子任一相之间的位置是变化的，互感是角位移置是变化的，互感是角位移 的函数。的函数。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换p 第一类固定位置绕组的互感第一类固定位置绕组的互感 三相绕组轴线彼此在空间的相位差是三相绕组轴线彼此在空间的相位差是120，在假定气隙磁通为正弦分布的条，在假定气隙磁通为正弦分布的条件下，互感值应为，件下，互感值应为，于是于是 msmsms21)120cos(120cosLLLmsACCBBACABCAB21LLLLLLL（6-71）msaccbbaca
19、bcab21LLLLLLL（6-72）6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换p 第二类变化位置绕组的互感第二类变化位置绕组的互感 定、转子绕组间的互感，由于相互间位置的变定、转子绕组间的互感，由于相互间位置的变化（化（见图见图6-446-44），可分别表示为），可分别表示为 cosmscCCcbBBbaAAaLLLLLLL)120cos(msaCCacBBcbAAbLLLLLLL)120cos(msbCCbaBBacAAcLLLLLLL 当定、转子两相绕组轴线一致时，两者之间当定、转子两相绕组轴线一致时，两者之间的互感值最大，就是每相最大互感的互感值最大，就是每相最大互感 Lms。（6-7
20、3）（6-74）（6-75）6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 三相异步电动机的物理模型三相异步电动机的物理模型ABCuAuBuC1uaubucabc图6-44 三相异步电动机的物理模型 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换转子 a 轴和定子A 轴间的电角度 为空间角位移变量l 磁链方程磁链方程 将式（将式（6-696-69）式（式（6-756-75）都代入式（）都代入式（6-68a6-68a），即），即得完整的磁链方程，显然这个矩阵方程是比较复杂得完整的磁链方程，显然这个矩阵方程是比较复杂的，为了方便起见，可以将它写成分块矩阵的形式的，为了方便起见，可以将它写成分块矩阵的形式
21、rsrrrssrssrsiiLLLL（6-76）TCBAsTcbarTiiiCBAsiTiiicbari式中式中 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换smsmsmsmssmsmsmssms212121212121llmslLLLLLLLLLLLLssL（6-77）rmsmsmsmsrmsmsmsmsrms212121212121lllLLLLLLLLLLLLrrL（6-78）值得注意的是值得注意的是，和和 两个分块矩阵互为两个分块矩阵互为转置，且均与转子位置转置，且均与转子位置 有关，它们的元有关，它们的元素都是变参数，这是素都是变参数，这是
22、系统非线性的一个根系统非线性的一个根源源。为了把变参数转换成常参数须利用坐标。为了把变参数转换成常参数须利用坐标变换，后面将详细讨论这个问题。变换，后面将详细讨论这个问题。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换cos)120cos()120cos()120cos(cos)120cos()120cos()120cos(cosmsLTsrrsLL（6-79）rsLsrLl 电压方程的展开形式电压方程的展开形式 如果把磁链方程（如果把磁链方程（6-68b6-68b）代入电压方程（）代入电压方程（6-67b6-67b）中，即得展开后的电压方程中，即得展开后的电压方程 iLiLRiiLiLRiLiR
23、iudddddddd)(tttp（6-80）式中，式中，Ldi/dt 项属于电磁感应电动势中的脉变项属于电磁感应电动势中的脉变电动势（或称变压器电动势），电动势（或称变压器电动势），(dL/d)i 项属于项属于电磁感应电动势中与转速成正比的旋转电动势。电磁感应电动势中与转速成正比的旋转电动势。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换3.3.转矩方程转矩方程 根据机电能量转换原理，在多绕组电机根据机电能量转换原理，在多绕组电机中，在线性电感的条件下，磁场的储能和中，在线性电感的条件下，磁场的储能和磁共能为磁共能为 LiiiTTWW2121mm（6-81）6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变
24、换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换.constmp.constmmeiiWnWT（6-82）而电磁转矩等于机械角位移变化时磁共能而电磁转矩等于机械角位移变化时磁共能的变化率的变化率 （电流约束为常值），且机械（电流约束为常值），且机械角位移角位移 m=/np，于是，于是 mmW 转矩方程的矩阵形式转矩方程的矩阵形式 将式（将式（6-816-81）代入式（）代入式（6-826-82），并考虑到电感的），并考虑到电感的分块矩阵关系式（分块矩阵关系式（6-776-77）（6-796-79），得），得iLLiiLi002121rssrppeTTnnT（6-83）6-6 异步电动机的动态数学模
25、型和坐标变换又由于又由于 代入式（代入式（6-836-83）得）得 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换rsrssrsrpe21iLiiLiTTnT（6-84）cbaCBArsiiiiiiTTTiii 转矩方程的三相坐标系形式转矩方程的三相坐标系形式 以式（以式（6-796-79）代入式（）代入式（6-846-84）并展开后，）并展开后，舍去负号，意即电磁转矩的正方向为使舍去负号，意即电磁转矩的正方向为使 减减小的方向，则小的方向，则 )120sin()()120sin()(sin)(bCaBcAaCcBbAcCbBaAmspeiiiiiiiiiiiiiiiiiiLnT（6-85）6-6
26、 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 应该指出，上述公式是在线性磁路、磁应该指出，上述公式是在线性磁路、磁动势在空间按正弦分布的假定条件下得出动势在空间按正弦分布的假定条件下得出来的，但对定、转子电流对时间的波形未来的，但对定、转子电流对时间的波形未作任何假定，式中的作任何假定，式中的 i i 都是瞬时值。都是瞬时值。因此，上述电磁转矩公式完全适用于变压因此，上述电磁转矩公式完全适用于变压变频器供电的含有电流谐波的三相异步电变频器供电的含有电流谐波的三相异步电机调速系统。机调速系统。4.4.电力拖动系统运动方程电力拖动系统运动方程 在一般情况下，电力拖
27、动系统的运动方在一般情况下，电力拖动系统的运动方程式是程式是 pppLenKnDdtdnJTT（6-86）TL 负载阻转矩；负载阻转矩；J 机组的转动惯量；机组的转动惯量；D 与转速成正比的阻转矩阻尼系数；与转速成正比的阻转矩阻尼系数；K 扭转弹性转矩系数。扭转弹性转矩系数。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 运动方程的简化形式运动方程的简化形式对于恒转矩负载，对于恒转矩负载，D=0，K=0，则则tnJTTddpLe（6-87）6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换5.5.三相异步电机的数学模型三相异步电机的数学模型 将式（将式（6-766-76），式（），式（6-806-80），
28、式（），式（6-856-85）和）和式（式（6-876-87）综合起来，再加上）综合起来，再加上 tdd（6-88）便构成在恒转矩负载下三相异步电机的多变便构成在恒转矩负载下三相异步电机的多变量非线性数学模型，用结构图表示出来如下量非线性数学模型，用结构图表示出来如下图所示图所示 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 异步电机的多变量非线性动态结构图异步电机的多变量非线性动态结构图 (R+Lp)-1L1()2()1eruiTeTL np Jp 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 它是图它是图6-436-43模型结构的具体体现，表明异模型结
29、构的具体体现，表明异步电机数学模型的下列具体性质：步电机数学模型的下列具体性质：（1 1）异步电机可以看作一个双输入双输出）异步电机可以看作一个双输入双输出的系统，输入量是电压向量和定子输入角的系统，输入量是电压向量和定子输入角频率，输出量是磁链向量和转子角速度。频率，输出量是磁链向量和转子角速度。电流向量可以看作是状态变量，它和磁链电流向量可以看作是状态变量，它和磁链矢量之间有由式（矢量之间有由式（6-766-76）确定的关系。）确定的关系。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 （2 2）非线性因素存在于）非线性因素存在于1（）和和2（）中，即存在于产生旋转电动势中，即存在于产生旋转电
30、动势 er 和电磁转矩和电磁转矩 Te 两个环节上，还包含在电感矩阵两个环节上，还包含在电感矩阵 L 中，中，旋转电动势和电磁转矩的非线性关系和直流旋转电动势和电磁转矩的非线性关系和直流电机弱磁控制的情况相似，只是关系更复杂电机弱磁控制的情况相似，只是关系更复杂一些。一些。（3 3）多变量之间的耦合关系主要也体现在）多变量之间的耦合关系主要也体现在 1（）和和2（）两个环节上，特别是产生两个环节上，特别是产生旋转电动势的旋转电动势的1对系统内部的影响最大。对系统内部的影响最大。三、坐标变换和变换矩阵三、坐标变换和变换矩阵 上节中虽已推导出异步电机的动态数学上节中虽已推导出异步电机的动态数学模型
31、，但是，要分析和求解这组非线性方模型，但是，要分析和求解这组非线性方程显然是十分困难的。在实际应用中必须程显然是十分困难的。在实际应用中必须设法予以简化，简化的基本方法是设法予以简化，简化的基本方法是坐标变坐标变换。换。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换1.1.坐标变换的基本思路坐标变换的基本思路 从上节分析异步电机数学模型的过程中从上节分析异步电机数学模型的过程中可以看出，这个数学模型之所以复杂，关可以看出，这个数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的键是因为有一个复杂的 6 6 6 6 电感矩阵，它电感矩阵，它体现了影响磁链和受磁链影响的复杂关系体现了影响磁链和受磁链影响的复杂关
32、系。因此，要简化数学模型，须从简化磁链。因此，要简化数学模型，须从简化磁链关系入手。关系入手。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 直流电机的物理模型直流电机的物理模型 直流电机的数学模型比较简单，先分析直流电机的数学模型比较简单，先分析一下直流电机的磁链关系。图一下直流电机的磁链关系。图6-466-46中绘出中绘出了二极直流电机的物理模型，图中了二极直流电机的物理模型，图中 F为励为励磁绕组，磁绕组，A 为电枢绕组，为电枢绕组，C 为补偿绕组。为补偿绕组。F 和和 C 都在定子上，只有都在定子上，只有 A 是在转子上。是在转子上。把把 F 的轴线称作直轴或的轴线称作直轴或 d 轴（轴（
33、direct axisdirect axis），主磁通），主磁通的方向就是沿着的方向就是沿着 d 轴的；轴的；A和和C的轴线则称为交轴或的轴线则称为交轴或q 轴（轴（quadrature quadrature axisaxis）。）。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换图6-46 二极直流电机的物理模型dqFACifiaic励磁绕组电枢绕组补偿绕组 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换虽然电枢本身是旋转的，但其绕组通过换向器电刷使电流方向总是相同的，因此，电向器电刷使电流方向总是相同的，因此，电枢磁动势
34、的轴线始终被电刷限定在枢磁动势的轴线始终被电刷限定在 q q 轴位置轴位置上，其效果好象一个在上，其效果好象一个在 q q 轴上静止的绕组一轴上静止的绕组一样。样。但它实际上是旋转的，会切割但它实际上是旋转的，会切割 d d 轴的磁通轴的磁通而产生旋转电动势，这又和真正静止的绕组而产生旋转电动势，这又和真正静止的绕组不同，通常把这种等效的静止绕组称作不同，通常把这种等效的静止绕组称作“伪伪静止绕组静止绕组”（pseudo-stationary coilspseudo-stationary coils）。）。分析结果分析结果 电枢磁动势的作用可以用补偿绕组磁电枢磁动势的作用可以用补偿绕组磁动势抵
35、消，或者由于其作用方向与动势抵消，或者由于其作用方向与 d d 轴轴垂直而对主磁通影响甚微，所以直流电垂直而对主磁通影响甚微，所以直流电机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的励磁电流决定，这是直流电机的数学模励磁电流决定，这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根本原因型及其控制系统比较简单的根本原因。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 交流电机的物理模型交流电机的物理模型 如果能将交流电机的物理模型（见下图如果能将交流电机的物理模型（见下图）等效地变换成类似直流电机的模式，分）等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。坐标变换正是析和
36、控制就可以大大简化。坐标变换正是按照这条思路进行的。按照这条思路进行的。在这里，不同电机模型彼此在这里，不同电机模型彼此等效的原则等效的原则是：是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一在不同坐标下所产生的磁动势完全一致致。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 众所周知，交流电机三相对称的静止众所周知，交流电机三相对称的静止绕组绕组 A A、B B、C C，通以三相平衡的正弦，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁电流时，所产生的合成磁动势是旋转磁动势动势F F，它在空间呈正弦分布，以同步，它在空间呈正弦分布，以同步转速转速 1 （即电流的角频率）顺着（即电流的角频率）顺着 A-
37、B-A-B-C C 的相序旋转。这样的物理模型绘于下的相序旋转。这样的物理模型绘于下图图a a中。中。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换（1 1）交流电机绕组的等效物理模型）交流电机绕组的等效物理模型a）三相交流绕组 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 旋转磁动势的产生旋转磁动势的产生 然而，旋转磁动势并不一定非要三然而，旋转磁动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、相不可，除单相以外，二相、三相、四相、四相、等任意对称的多相绕组，等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。磁动势，当然以两相最为简
38、单。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 （2 2）等效的两相交流电机绕组）等效的两相交流电机绕组Fii1b）两相交流绕组 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 图图b b中绘出了两相静止绕组中绘出了两相静止绕组 和和 ，它们它们在空间互差在空间互差90，通以时间上互差，通以时间上互差90的两的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势相平衡交流电流，也产生旋转磁动势 F。当图当图a a和和b b的两个旋转磁动势大小和转速的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图都相等时，即认为图b b的两相绕组与图的两相绕组与图a a的三的三相绕组等效。相绕组
39、等效。（3 3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型）旋转的直流绕组与等效直流电机模型1FMTimitMTc）旋转的直流绕组 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 再看图再看图c c中的两个匝数相等且互相垂直的中的两个匝数相等且互相垂直的绕组绕组 M M 和和 T T，其中分别通以直流电流，其中分别通以直流电流 im 和和it，产生合成磁动势产生合成磁动势 F，其位置相对于绕组，其位置相对于绕组来说是固定的。来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁心以如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势同步转速旋转，则磁动势 F 自然也随之旋
40、自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。转起来，成为旋转磁动势。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 把这个旋转磁动势的大小和转速也控制把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图成与图 a a 和图和图 b b 中的磁动势一样，那么这中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察者也站到铁心交流绕组都等效了。当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，上和绕组一起旋转时，在他看来，M 和和 T 是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。如果控制磁通的位置在如果控制磁通的位置在 M 轴上，就
41、和轴上，就和直流电机物理模型没有本质上的区别了。直流电机物理模型没有本质上的区别了。这时，绕组这时，绕组M相当于励磁绕组，相当于励磁绕组，T 相当于伪相当于伪静止的电枢绕组。静止的电枢绕组。等效的概念等效的概念 由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图则，图a a的三相交流绕组、图的三相交流绕组、图b b的两相交流绕的两相交流绕组和图组和图c c中整体旋转的直流绕组彼此等效。中整体旋转的直流绕组彼此等效。或者说，在三相坐标系下的或者说，在三相坐标系下的 iA、iB、iC，在，在两相坐标系下的两相坐标系下的 i、i 和在旋转两相坐标系和在旋转两相坐标系下的直
42、流下的直流 im、it 是等效的，它们能产生相同是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。的旋转磁动势。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 有意思的是：就图有意思的是：就图c c 的的 M、T 两个绕组而两个绕组而言，当观察者站在地面看上去，它们是与言，当观察者站在地面看上去，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果三相交流绕组等效的旋转直流绕组；如果跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个直流电机模型了。这样，通过坐标是一个直流电机模型了。这样，通过坐标系的变换，可以找到与交流三相绕组等效系的变换，可以
43、找到与交流三相绕组等效的直流电机模型。的直流电机模型。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 现在的问题是，如何求出现在的问题是，如何求出iA、iB、iC 与与 i、i 和和 im、it 之间准确的等效关系，这之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。就是坐标变换的任务。矢量控制系统原理结构图矢量控制系统原理结构图 控制器控制器VR-12/3电流控制电流控制变频器变频器3/2VR等效直流等效直流电机模型电机模型+i*m1i*t1 1i*1i*1i*Ai*Bi*CiAiBiCi1i1im1it1反馈信号异步电动机给定信号 图6-53 矢量控制系统原理结构图 6-6 异步电动机的动态数学模型和
44、坐标变换2.2.三相三相-两相变换（两相变换（3/23/2变换）变换）现在先考虑上述的第一种坐标变换现在先考虑上述的第一种坐标变换在三相静止绕组在三相静止绕组A、B、C和两相静和两相静止绕组止绕组、之间的变换，或称三相静止之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称称 3/2 3/2 变换。变换。6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 下图中绘出了下图中绘出了 A、B、C 和和、两个坐两个坐标系，为方便起见，取标系，为方便起见，取 A 轴和轴和 轴重合。轴重合。设三相绕组每相有效匝数为设三相绕组每相
45、有效匝数为N3，两相绕组，两相绕组每相有效匝数为每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。随意的。三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量 AN2iN3iAN3iCN3iBN2i60o60oCB 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁设磁动
46、势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在磁动势在 、轴上的投影都应相等，轴上的投影都应相等，)2121(60cos60cosCBA3C3B3A32iiiNiNiNiNiN)(2360sin60sinCB3C3B32iiNiNiNiN写成矩阵形式，得写成矩阵形式，得CBA232323021211iiiNNii（6-89）6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 考虑变换前后总功率不变，在此前提下，考虑变换前后总功率不变，在此前提下，可以证明匝数比应为可以证明匝数比应为3223NN（6-90）6-6 异步电动机的动态数学模
47、型和坐标变换6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换功率不变时坐标变换阵的性质功率不变时坐标变换阵的性质设某坐标下电压和电流的向量为设某坐标下电压和电流的向量为u,i,新的坐新的坐标系下为标系下为,iu,21212121nnnniiiiuuuuiiiiuuuu,iciucuiu变换前后功率不变变换前后功率不变uiuipTT 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 带入具体的表达式有带入具体的表达式有 E为单位阵。上式为功率不变条件下的坐为单位阵。上式为功率不变条件下的坐标变换关系，一般情况下电压和电流的变标变换关系，一般情况下电压和电流的变换阵为同一矩阵，这样的坐标变换属于正换阵为同一矩
48、阵，这样的坐标变换属于正交变换交变换EccuTi1,ccEcccccTTui6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换为求两项到三项的变换阵将三项到两项的变为求两项到三项的变换阵将三项到两项的变换阵增广成可逆的方阵，其物理意义在两项换阵增广成可逆的方阵，其物理意义在两项系统上人为加入零轴磁动势系统上人为加入零轴磁动势 并定义并定义02iN)(302CBAiiiKNiN33/2201112233022AABBCCiiiiiNiciiNiKKK6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 满足功率不变的条件满足功率不变的条件KKKNNccT2321232101232/312/33/2 3/2TccE
49、可以求得如下关系可以求得如下关系3220001000123232223NNEKNN这表明保持坐标变换前后的功率不变，又要维持这表明保持坐标变换前后的功率不变，又要维持磁链相同，变换磁链相同，变换 前后两项绕组每相匝数应为原三前后两项绕组每相匝数应为原三项绕组匝数的项绕组匝数的 倍于此同时倍于此同时2321K利用上述关系得三项利用上述关系得三项/两项变换方阵两项变换方阵 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换2121212323021211322/3c如要从两相坐标系变换到三相坐标系如要从两相坐标系变换到三相坐标系2/32/3变换变换可求反变换可求反变换2123212123212101321
50、2/33/2cc 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换代入式（代入式（6-896-89），得），得CBA232302121132iiiii（6-91）6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 令令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则换矩阵，则 2323021211322/3C（6-92）三相三相两相坐标系的变换矩阵两相坐标系的变换矩阵 6-6 异步电动机的动态数学模型和坐标变换 如果三相绕组是如果三相绕组是Y Y形联结不带零线，形联结不带零线，则有则有 iA+iB+iC=0，或，或 iC=iA iB。代入式（代入式（6-926-
