1、山西省阳泉市20192020学年度第一学期期末考试试题高三文科数学一.选择题1.已知集合则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：考点：集合的交集运算2.复数的虚部为（ ）A. B. C. 1D. -1【答案】D【解析】 由，所以复数的虚部为，故选D3.若 满足，则的最大值为（ ）A. B. 3C. D. 4【答案】C【解析】作可行域，如图，则直线过点A(1,3)时取最大值为，选B.4.已知向量，则向量与的夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先写出向量与，再计算其夹角即可.【详解】解：因为，所以所以所以向量与的夹角为故选C.【点睛】本题考查了平面
2、向量坐标运算，夹角公式，属于基础题.5.已知数列为各项均为正数的等比数列，是它的前项和，若，且，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合已知可先求出公比及首项，然后根据等比数列的求和公式可求【详解】解：设等比数列的公比及首项，由题意可得，解得，根据等比数列的求和公式可得，故选：【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题6.程大位是明代著名数学家，他的新编直指算法统宗是中国历史上一部影响巨大的著作卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个问该若干？”如图是解决该问题的程序框图执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（ ）A. 28B. 56
3、C. 84D. 120【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求解.【详解】模拟程序的运行，可得： 执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；不满足判断条件，执行循环体，；满足判断条件，退出循环，输出的值为.故选C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中模拟程序运行的过程，通过逐次计算和找出计算的规律是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属
4、于基础题.7.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（ ）A. 1B. 2C. 9D. 18【答案】D【解析】【分析】先求出渐近线的一般方程，利用斜率乘积为得到的值后可得实轴长.【详解】渐近线方程为，因，故渐近线与直线垂直，故，解得，所以双曲线的实轴长为，故选D.【点睛】如果双曲线方程为，那么求其渐近线的方法就是把变成零后所得两个二元一次方程就是渐近线方程.另外表示一类双曲线，它们具有共同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）.8.函数的大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过取特殊值逐项排除即可得到正确结果.【详解】函数的定义域为，当时，排除B和C；当
5、时，排除A.故选：D.【点睛】本题考查图象的判断，取特殊值排除选项是基本手段，属中档题.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为2正方体中，由此求出它的体积【详解】解：由三视图知该几何体是三棱锥，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，如图所示； 则该三棱锥的体积为故选：【点睛】本题考查了三视图与直观图的应用问题，也考查了空间想象能力与转化能力，属于基础题10.设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化简已知，结合，
6、可求，利用同角三角函数基本关系式可求，进而利用三角形的面积公式即可解得的值【详解】解：，由正弦定理可得，即，解得：或（舍去），的面积，解得故选：【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题11.关于函数，下列命题正确的个数是若存在，有时，成立；在区间上是单调递增；函数的图象关于点成中心对称图象；将函数的图象向左平移个单位后将与的图象重合A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将函数进行化简，结合三角函数的图象和性质依次判断命题的对错即可得到答案【详解】解：由，的周期，则有，当时，成立故对由函数的图
7、象和性质，可得：的单调递增区间为，区间，故不对函数图象的中心对称为，当时，得为函数的对称中心故对由向左平移个单位后得到：化简得：，与的图象不重合故不对综上所述：对，不对故选：【点睛】本题考查了三角函数的化简能力和计算能力，以及三角函数的图象和性质的运用能力综合性比较强，属于中档题12.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数的定义域为，利用导数研究其单调性，可得其最小值，由最小值小于0，构造关于的函数，再由导数求的取值范围【详解】解：函数的定义域为，函数有两个零点，由，解得，则当时，单调递减；当时，单调递增当时，有极小值也是最小值为则令
8、，则时，当时，在上单调递增，在上单调递减而，当时，当时，实数的取值范围是故选：【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查利用导数研究函数的单调性，训练了利用导数求最值，属于中档题二.填空题13.天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数.依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组.得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353.则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是_,三天中有两天下雨的概率的近似值为
9、_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先找出10组数据中有几组表示3天中有2 天下雨，再利用古典概型的概率公式即可求出结果【详解】解：每个骰子有6个点数，出现1或2为下雨天，则每天下雨的概率为，10组数据中，114，251，表示3天中有2 天下雨，从得到的10组随机数来看，3天中有2 天下雨的有2组，则3天中有2天下雨的概率近似值为：，故答案为：；【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题14.若函数在区间 单调递增，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【解析】由题意得 或 ，解得实数的取值范围为点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区
10、间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.15.已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心为半径的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是_【答案】.【解析】【分析】根据题意，利用勾股定理求得点坐标，代入抛物线方程，即可求得，求得抛物线方程【详解】解：由题意可知，过作交于点，由题意可知：，所以，则，代入抛物线，即，整理得，解得或（舍去），所以抛物线得方程为，故答案为：【点睛】本题考查抛物线得标准方程，考
11、查垂径定理的应用，考查计算能力，属于基础题16.已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_【答案】【解析】【分析】根据,可知 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC的中点,连,可知平面,根据 为的中点可知 平面,所以 为四面体的高,根据四面体的体积可求得,在直角三角形 中由勾股定理可求得外接球的直径,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积.【详解】如图:在三角形ABC中,因为,所以 为直角三角形,所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以 为四面体的高.所以,解得.所以.所以四面体的外
12、接球的半径为2,表面积为=.【点睛】本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积,球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到 平面是解题关键.属于中档题.三、解答题17.数列中，数列满足（I）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（II）设，求数列的前n项【答案】（）证明详见解析，；（）.【解析】【分析】（I）将配凑成.由此证得数列是等差数列.求得的表达式，进而求得数列的通项公式.（II）先求得的表达式，然后利用裂项求和法求得.【详解】（I）由，即而，即又，数列是首项和公差均为1的等差数列于是，（II），【点睛】本小题主要考查配凑法求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查等差数列的证明，属于
13、基础题.18.如图，在三棱锥中，为正三角形，为棱的中点，平面平面（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由三线合一的性质得出，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出平面，可得出，再由，结合直线与平面垂直的判定定理可得出平面；（2）由（1）知平面，则三棱锥的高为，计算出的面积和，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积，即为三棱锥的体积.【详解】（1）为等边三角形，且为的中点，.平面平面，平面平面，平面，平面，平面，.又，、平面，平面；（2），且，.又是边长为的等边三角形，且为的中点，则，且，的面积为.因此，三棱锥的体积为.【点睛】本题考查直线
14、与平面垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，解题时要充分利用题中的线面垂直或面面垂直条件寻找三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“”模式初露端倪，其中语、数、外三门课为必考科目，剩下三门为选考科目选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分，假定省规定：选考科目按考生成绩从高到低排列，按照占总体、分别赋分分、分、分、分，为了让学生们体验“赋分制”计算成绩的方法，省某高中高一（）班（共人）举行了以此摸底考试（选考科目全考，单料全班排名），知这次摸底考试中的物理成绩（满
15、分分）频率分布直方图，化学成绩（满分分）茎叶图如图所示，小明同学在这次考试中物理分，化学多分（1）采用赋分制后，求小明物理成绩的最后得分；（2）若小明的化学成绩最后得分为分，求小明的原始成绩的可能值；（3）若小明必选物理，其他两科从化学、生物、历史、地理、政治五科中任选，求小明此次考试选考科目包括化学的概率【答案】（1）分；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据物理分判断所处的百分比，根据百分比确定分数；（2）先排除赋分分的分数，然后利用百分比计算赋分分的人数，结合数据，给出可能的取值；（3）采用列举法以及古典概型的概率计算公式来求解.【详解】（1），此次考试物理成绩落在，内的频率依次为，
16、频率之和为，且小明的物理成绩为分，大于分，处于前，小明物理成绩的最后得分为分.（2）因为名学生中，赋分分的有人，这六人成绩分别为，；赋分分的有人，其中包含多分的共人，多分的有人，分数分别为，；因为小明的化学成绩最后得分为分，且小明化学多分，所以小明的原始成绩的可能值为，.（3）记物理、化学、生物、历史、地理、政治依次为，小明的所有可能选法有，共10种，其中包括化学的有，共4种，若小明必选物理，其他两科在剩下的五科中任选，所选科目包括化学的概率为：.【点睛】本题考查频率分布直方图、茎叶图以及古典概型的应用，难度一般.理解频率分布直方图时，注意其横轴和纵轴所表示数据的含义.20.已知是椭圆的两个焦
17、点，是椭圆上一点，当时，有.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过椭圆右焦点的动直线与椭圆交于两点，试问在铀上是否存在与不重合的定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在， T（4，0）【解析】【分析】（1）由题意，故然后设点坐标为，代入椭圆方程，联立椭圆定义，进一步计算可得椭圆的标准方程；（2）假设存在与不重合的定点，使得恒成立，则，设出、点坐标代入计算，可得然后设直线联立直线与椭圆方程，消去整理可得一元二次方程，根据韦达定理有，然后代入进行计算可判断是否是定值，即可得到结论【详解】解：（1）由题意，故可设点坐标为，则，解得，即，解得，椭圆的标准方程
18、为（2）由题意，假设存在与不重合的定点，使得恒成立，设，且，则，即整理，得设直线联立，消去，整理得，存在与不重合的定点，使得恒成立，且点坐标为【点睛】本题主要考查椭圆的基础知识，及直线与椭圆的综合问题，考查了方程思想和转化思想，设而不求法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力属于中档题21.已知函数 (，是自然对数的底数). （1）设 (其中是的导数)，求的极小值； （2）若对，都有成立，求实数的取值范围【答案】() () 【解析】【分析】()求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，结合单调性可求得函数的极值；()由()知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，.讨论
19、当时，当时两种情况，分别利用对数以及函数的单调性，求出函数最值，从而可筛选出符合题意的实数的取值范围.【详解】()，.令，在上为增函数，.当时，；当时，的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为，.()由()知，在上单调递增，在(0，1)上单调递减，.当时，在上单调递增，满足条件；当时，.又，使得，此时，；，在上单调递减，都有，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛
20、选出符合题意的参数范围.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，均异于原点，且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程，消去参数，即可得到的普通方程；由两边同时乘以，即可得到，进而可得的直角坐标方程；(2)根据的直角坐标方程先得到其极坐标方程，将分别代入和的极坐标方程，求出和，再由，即可求出结果.【详解】（1）由消去参数，得的普通方程为.由，得，又，所以的直角坐标方程为.（2）由（1
21、）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为.设点，的极坐标分别为，则，所以，所以，即，解得，又，所以.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、以及参数方程与普通方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23.已知的最小值为t.（1）求t的值；（2）若实数a，b满足，求的最小值.【答案】（1）2；（2）9.【解析】【分析】（1）由绝对值定义去掉绝对值符号，化函数为分段函数，再根据分段函数性质求得最小值（2）由基本不等式可得最小值【详解】（1），f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，f（x）minf（1）2，t2；（2）由（1）可知2a2+2b22，则a2+b21，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为9【点睛】本题考查绝对值函数的性质，考查基本不等式求最值对绝对值函数可根据绝对值定义去掉绝对值符号，然后再研究分段函数的性质即可
