1、153分式方程第1课时分式方程的概念及解法一、教学目标一、教学目标1理解分式方程的概念2了解解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法3理解分式方程验根的必要性，掌握解分式方程验根的方法重点重点难点难点二、教学重难点二、教学重难点分式方程的解法分式方程的解题步骤及验根u 活动1 新课导入三、教学设计三、教学设计1含有含有 个个未知数，并且未知数的指数未知数，并且未知数的指数是是 的的整式方程叫做一元一次方程整式方程叫做一元一次方程2解一元一次方程的一般步骤有：解一元一次方程的一般步骤有：、移项、移项、系数化为、系数化为1.1去分母去括号合并同类项一一解：去分母，得解：去分母，得2(x1)3(
2、2x5)12.去括号，得去括号，得2x26x1512.移项，得移项，得2x6x15122.合并同类项，得合并同类项，得4x5.系数化为系数化为1，得，得x .u 活动2 探究新知1、回到本章引言中的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？如果设江水流速为如果设江水流速为v km/h，则轮船顺流航行，则轮船顺流航行90km 所用时间为所用时间为 h，逆流航行，逆流航行60km 所用时所用时间为间为 h;我们得到了方程提出问题：思考完成并交流展示(1)观察方程 有什么特征？(2)它与我们学
3、过的整式方程有什么不同？(3)什么叫分式方程？2、我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含未知数，因此解分式方程是一个新的问题.能否将分式方程化为整式方程呢？我们自然会想到通过“去分母”实现这种转变.分式方程分式方程 中各分母的最简公分中各分母的最简公分母是母是(30+v)(30-v).把方程的两边乘最简公分母可化把方程的两边乘最简公分母可化为整式方程，解这个整式方程可得到方程的解为整式方程，解这个整式方程可得到方程的解.解：方程 两边乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v)解得v=6检验：将v=6代入方程中，左边=右边，因此v=6是分式方程的解
4、.由上可知，江水的流速为6 km/h.得整式方程 x+5=10两边同乘最简公分母(x+5)(x-5)当x=5时，代入原方程检验，分母的值都为0，对应的分式无意义，这个方程无解.下面再讨论一个分式方程：2510512xx解得 x=5提出问题：思考完成并交流展示(1)你知道怎么解方程 吗？(2)能否将分式方程化为整式方程再进行计算？将分式方程化为整式方程的关键步骤是什么？(3)解分式方程中，得到的整式方程的解一定是分式方程的解吗？(4)解分式方程的一般步骤是什么？思思 考考3.上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是 的解，而 去分母后所得整式方程的解却不是 的解呢？2510512
5、xxu 活动3 知识归纳1.含有未知数的方程叫做分式方程2.解分式方程的基本思路是将分式方程化为 ，具体做法是 3.解分式方程时，后所得的整式方程的解有可能使原方程中 为0,因此解分式方程需验根将整式方程的解代入 ，如果 的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则这个解不是原分式方程的解分母整式方程去分母去分母分母最简公分母最简公分母例例1解方程：u 活动4 例题与练习23.3xx解：方程两边乘x(x-3),得2x=3x-9.解得 x=9.检验：当x=9时，x(x-3)0.所以，原分式方程的解为x=9.例例2解方程：31.1(1)(2)xxxx解：方程两边乘(x-1)(x+2),得x(x
6、+2)-(x-1)(x+2)=3.解得 x=1.检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解。所以，原分式方程无解.例例3 符号 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 adbc，请你根据上述规定求出等式 1中x的值解：由题意，得 1，解得x4.检验：当x4时，x10，x的值为4.解：k1或34时，原分式方程无解例例4 关于x的方程 无解,求k的值练 习1.教材P152 练习2.解下列方程：解：方程两边乘2x2，得2x32(2x2)，解得x .检验：当x 时，2x20.x 是原分式方程的解；解：方程两边乘x2，得x3x23，解得x1.检验：当x1时，x20.x1是原分式
7、方程的解解：解分式方程，得xm2.x2，m22，m4且m0.解不等式组，得3x5，3m25，解得7m1，m的取值范围为7m1，且m4且m0.3如果关于x的方程 的解也是不等式组 的一个解，求m的取值范围153分式方程第2课时分式方程的实际应用工程问题一、教学目标一、教学目标1会分析题意，找到等量关系2掌握列分式方程解决简单实际问题的步骤3体会分式方程的数学模型对解决实际问题的重要作用重点重点难点难点二、教学重难点二、教学重难点利用分式方程解决实际问题列分式方程表示实际问题中的等量关系u 活动1 新课导入三、教学设计三、教学设计1回顾列方程解应用题的步骤2解方程：3列方程解应用题的一般步骤是什么
8、？u 活动2 探究新知例例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？分析：甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的 ，乙队半个月完成总工程的 ，两队半个月完成总工程的 .用式子表示上述的量之后，再考虑如何列出方程.问题中的哪个等量关系可以用来列方程？即111.22x方程两边都乘以6x,得336.xx解得 x=1.检验：当x=1时，6x0.所以，原分式方程的解为x=1.解：设乙单独施工1个月能完成总工程的 .记工作总量为1，根据工程的实际
9、进度，得由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，所以乙队的施工速度快.提出问题：思考完成并交流展示(1)本题的等量关系是什么？(2)这个题目应该怎么设？设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，那么乙队施工半个月完成总工程的多少？(3)根据题目的已知能不能得出甲队施工半个月能完成总工程的多少？两队施工半个月能完成总工程的多少？(4)根据上面的分析能否列出方程？列出的方程是什么？(5)这是一个分式方程，应该怎样解这个分式方程呢？对解出的答案是否需要检验呢？如何检验？u 活动3 知识归纳列分式方程解应用题的一般步骤：(1)审：审清题意；(2)找：找出 关系；(3)设：
10、设 ，一般设所求的量；(4)列：列分式方程；(5)解：解分式方程；(6)验：先检验求出的解是否是 的解，再检验 解是否符合题意；(7)答：写出答案等量未知数原方程例例 某工人原计划在规定时间内恰好加工1 500个零件，改进了工具和操作方法，工作效率提高为原来的2倍，因此加工1 500个零件时，比原计划提前了5个小时，问原计划每小时加工多少个零件？u 活动4 例题与练习解：设原计划每小时加工x个零件根据题意，得解得x150.检验：当x150时，2x0，x150是原分式方程的解答：原计划每小时加工150个零件练 习1.教材P154 练习第2题2.甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作，甲队
11、单独工作2天完成总量的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成，那么乙队单独完成总量需要()A6天 B4天 C3天 D2天D3炎炎夏日，甲安装队为A小区安装66台空调，乙安装队为B小区安装60台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多装2台，设乙队每天安装x台，根据题意，下列所列方程中正确的是()D4进入防汛期后，某地对河堤进行了加固该地驻军在河堤加固的工程中出色地完成了任务下面是记者与驻军工程指挥官的一段对话：记者：“你们是用9天完成4 800 m长的河堤加固任务的吗？”驻军工程指挥官：“是的，我们加固600 m后，采用新的加固模式，这样每天加固长度是原来的2倍
12、”通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数解：设原来每天加固x m去分母，得1 2004 20018x(或18x5 400)解得x300.检验：当x300时，2x0(或分母不等于0)x300是原分式方程的解答：该地驻军原来每天加固300 m.根据题意，得 9.5某市为治理污水，需要铺设一段全长为300 m的污水排放管道，铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务求原计划每天铺设管道的长度解：设原计划每天铺设管道x m经验验，x9是原分式方程的解，且符合题意答：原计划每天铺设管道9 m.由题意，得 30，解得x9
13、.153分式方程第3课时 分式方程的实际应用行程问题及销售问题一、教学目标一、教学目标通过对实际问题的分析，进一步感受分式方程是刻画现实世界的有效模型重点重点难点难点二、教学重难点二、教学重难点建立数学模型，列分式方程解决行程问题和销售问题列分式方程解决实际问题u 活动1 新课导入三、教学设计三、教学设计列分式方程解应用题的步骤：(1)审：；(2)找：；(3)设：；(4)列：；(5)解：；(6)验：,；(7)答：注意:先检验是否是原分式方程的根,再检验是否符合题意.审清题意，弄清已知量和未知量找出等量关系设未知数列出分式方程解这个分式方程检验,既要检验所求得的根是否为所列分式方程的根写出答案又
14、要检验所求得的根是否符合实际意义u 活动2 探究新知分析：例例4 4 某次列车平均提速v kmh，用相同的时间，列车提速前行使s km，提速后比提速前多行使50 km，提速前列车的平均速度为多少？时间（时）速度（千米/时）路程（千米）提速前提速后设提速前列车的平均速度为x千米/时.sv+xS+50 xsx5 0svx等量关系：提速前行驶时间=提速后行驶时间解：设提速前列车的平均速度为x千米/时，根据题意得5 0.ssxxv解得.5 0s vx检验：由v，s 都是正数，得 x=是原方程的解5 0s vx答：提速前列车的速度为 千米/时.5 0s vx表达问题时，用字幕不仅可以表示未知数（量），也
15、可以表示已知数（量）.提出问题：思考完成并交流展示(1)列分式方程解决实际问题有什么方法技巧？(2)列分式方程解应用题的基本思路和列整式方程解应用题的基本思路是否相同？关键步骤是什么？解出分式方程后要注意什么？u 活动3 知识归纳分式方程应用题中常见的几个类型：(1)行程问题:基本公式：路程速度时间，而行程问题中又分相遇问题、追及问题；(2)销售问题:基本公式：利润单个利润销售总数；利润总收入总支出；(3)数字问题:在数字问题中要掌握十进制数的表示法；(4)工程问题:基本公式：工作量工时工效例例1 甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km，有一动车和特快列车分别从A，B同时出发，相
16、向而行动车的平均速度比特快列车快54 km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站求动车和特快列车的平均速度各是多少？u 活动4 例题与练习解：设特快列车的平均速度是x km/h，则动车的平均速度是(x54)km/h，经检验，x90是原分式方程的解，且符合题意则x54144.根据题意，得 ，解得x90.答：特快列车的平均速度是90 km/h，动车的平均速度是144 km/h.例例2 学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元
17、？(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1 050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？解：(1)设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元经检验，x20是原分式方程的根，且符合题意，则1.5x30.答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元；由题意，得 10，解得x20.解：(2)设购买甲种图书a本，则购买乙种图书(40a)本根据题意，得解得20a25，a20，21，22，23，24，25，答：共有6种购买方案则40a20，19，18，17，16，15.练 习1.教材P154 练习第1题2一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行100 km所用时间，与以最大航速逆流航行80 km所用的时间相等设江水的流速为 v km/h，则可列方程为()C3.近年来，我国逐步完善养老金保险制度甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元解：设乙计划每年缴纳x万元，则甲计划每年缴纳(x0.2)万元经检验，x0.4是原分式方程的解，且符合题意，x0.20.6.答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元，乙计划每年缴纳养老保险金0.4万元根据题意，得 解得x0.4.
