1、第二章静电场内内 容容 概概 要要 1.1.电势的多极展开电势的多极展开 2.2.电多极矩电多极矩 3.3.电荷体系在外电场中的能量电荷体系在外电场中的能量2.6 2.6 电多极矩电多极矩jijijijjjiiieebaebeaba31,3131)(,31iiizzyyxxeaeaeaeaa的并矢为定义baebbjjj,31 张量和并矢的运算张量和并矢的运算并矢定义：并矢定义：设矢量设矢量333231232221131211TTTTTTTTTTTeeTbaijjiijij的并矢是一个张量：则ba,iiieeeeeeeeI31332211100010001DeeDeeGTGTjiijijjiij
2、ijij)(单位张量：单位张量：张量的运算法则：张量的运算法则：加法：加法：bacbacTc)()()(cbacT)()()(dacbdcbaGT)()(:)(:dacbdcbaGT叉乘：叉乘：两并矢点乘：两并矢点乘：bacbacTc)()(点乘：点乘：)()(cbacbacTcTTc可见可见（左点乘）（左点乘）（右点乘）（右点乘）1.电势的多极展开电势的多极展开有限空间电荷在远处电势有限空间电荷在远处电势 若电荷分布在有限的空间，若电荷分布在有限的空间，空间的线度为空间的线度为l,则该电荷分布对空则该电荷分布对空间较远处间较远处r产生的场，可以按小参产生的场，可以按小参量量l/r进行展开进行
3、展开.原子核线度原子核线度1010-15-15mV xxV xx|d)(41)(0VrV x d)(410原子线度原子线度10-10-10mrVO xlx|xrxR xxr记处展开在将0 xr|x x)(!21)()()(!21)()()(231,231xf xxf xxfxfxxxxxfx xxf xxfjijijiiiiR xR xR1!2111231,2311!21111jijijiiiiRxxxxRx xRr有取,/1|/1)(r xx xxf电势的多极展开电势的多极展开rVO xlx)()()()2()1()0(xxxVrV xx04d)()(真空中给定电荷密度激发的电场电势为真空中
4、给定电荷密度激发的电场电势为VjijijiVRxxxxR xR xxd1!2111)(41)(31,20V xRVR xxVVd)(141d)(41)(00)0(RQ041rVO xlxRV x xxVi1d)(41)(0)1(Rp1410VRxxxx xxVjijijid1)(2141)(31,20)2(31,201d)(36141jijiVjiRxxV xxx31,2016141jijiijRxxDRxxDRpRQxjijiij161141)(,20VV x x xDDd)(3RDDx1:6141)(0)2(V xQVd)(体系的电荷体系的电荷V x xpVid)(体系的电偶极矩体系的电偶
5、极矩VjiijV xxxDd)(3体系的电四极矩体系的电四极矩2.电多极矩电多极矩 有限空间的电荷分布在远处产生的电势可以表有限空间的电荷分布在远处产生的电势可以表示成各多极矩电势的叠加：示成各多极矩电势的叠加：)2()1()0(多极矩展开随阶数升高而减小：多极矩展开随阶数升高而减小：RlR1)1(R1)0(2)2(1RlR点电荷点电荷Q激发的电势激发的电势 RQx0)0(41)(第一项第一项作为第一级近似作为第一级近似,可以把电荷体系看作集中于原点可以把电荷体系看作集中于原点.电荷分布的电偶极矩电荷分布的电偶极矩第二项第二项300)1(4141)(RRpRpxVV x xpd)(410原点对
6、称的电荷分布原点对称的电荷分布电偶极矩为零电偶极矩为零.典型电荷体系：典型电荷体系：等量正负电荷相距等量正负电荷相距 ,llQp电偶极矩电偶极矩p产生的电势产生的电势电偶极矩的物理含义：电偶极矩的物理含义：lQpl 为由负电荷指向正电荷为由负电荷指向正电荷.它产生的电势为它产生的电势为:rrQ1140P+-obl-br-r+RzlR22220)2/(cos1)2/(cos14lRlRlRlRQ2/122/120)(41cos1)(41cos14RlRlRlRlRQ)cos21()cos21(40RlRlRQRpRRpRlQ1414cos403020电四极矩电四极矩Dij 产生的电势产生的电势第
7、三项第三项RxxDxjijiij16141)(,20)2(电四极矩是电四极矩是对称张量对称张量,它有它有6个分量个分量D11,D22,D33,D12=D21,D23=D32,D31=D13.VjiijV xxxDd)(3体系的电四极矩体系的电四极矩电四极矩分量的物理含义电四极矩分量的物理含义plababQabQD6)(6)(62233P+-obal-b-ar-r+Rz其中其中p=Q(ba)是其中一对电荷的电偶极矩是其中一对电荷的电偶极矩,l=b+a是两个是两个电偶极子中心的距离电偶极子中心的距离.它产生的电势是一对反向电偶极它产生的电势是一对反向电偶极子所产生的电势子所产生的电势.图示图示z
8、轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系轴上一对正电荷和一对负电荷组成的体系,可可以看作由一对电偶极子以看作由一对电偶极子 组成组成.这体系总电荷和这体系总电荷和电偶极矩都为零电偶极矩都为零,电四极矩由定义知电四极矩由定义知pp和RzpRepRpz1414141000s单个单个电偶极子激发的电势电偶极子激发的电势双双电偶极子激发的电势电偶极子激发的电势rrzp1140d3030204cos4cos4RzzplRRzplRlzp32/32222/1222)()(1RzzyxzzyxzRz由于RzplRzzpl14142200故RzD1614122330同理同理,可得其他电四极矩分量用偶极子表示的形式
9、可得其他电四极矩分量用偶极子表示的形式.D11x+D22y+D33+D12+D23+D31+电四极矩的另一定义电四极矩的另一定义01132RRRR01131,23122jijiijiiRxxRx0d1)(31,22VRxxrxVjijiij 31,220)2(1d)()3(6141)(jijiVijjiRxxV xrxxxVijjiijV xrxxDd)()3(2体系的电四极矩体系的电四极矩100010001 ,1 ,0I IjijiijVV xI Ir x xDDd)(32VVVV xrzV xryV xrxDDDd)()3(d)()3(d)()3(222222332211VV xrzyxd
10、)()(322220d)()(322VV xrr电四极矩是电四极矩是对称的，只有五个独立分量对称的，只有五个独立分量jiijDD 0332211DDDVijjiijV xrxxDd)()3(2VV xI Ir x xDDd)(32电四极矩：电四极矩：球对称的电荷分布球对称的电荷分布电四极矩为零电四极矩为零VVVV xzV xyV xxd)(d)(d)(222VV xrd)(3120332211DDD0231312DDD对非对角项对非对角项若系统电四极矩非零，则电荷分布偏离球对称若系统电四极矩非零，则电荷分布偏离球对称原子核形变的一种测量方法原子核形变的一种测量方法VjiijV xxxDd)(3
11、 x xii例例1 均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为均匀带电的长形旋转椭球体半长轴为a,半短轴为半短轴为b,带总电荷带总电荷Q,求它的电四极矩和远处的电势求它的电四极矩和远处的电势.取取z轴为旋转轴轴为旋转轴,椭球方程为椭球方程为122222azbyx椭球所带电荷密度为椭球所带电荷密度为2043abQ电四极矩为电四极矩为VrxxDijjiijd320由对称性由对称性00ddd312312DDDVzxVyzVxy解：解：令令x2+y2=s2，由对称性，由对称性154d154d2d21d21dd2324/1032222122baVzabsszVsVyVxaaazb因此因此QbaDDDQbaVxzV
12、rzD 5121 52 d22d3223322112222022033电四极矩产生的势为电四极矩产生的势为5222202233022222233022332222221103401232411212411241RRzbaQRzDRzyxDRzDyDxD在上面的计算中在上面的计算中,我们用了关系式我们用了关系式012R椭球的电偶极矩为零椭球的电偶极矩为零,总电荷为总电荷为Q.在远处的势准确至四极项为在远处的势准确至四极项为322201cos31014RbaRQ3.电荷体系在外电场中的能量电荷体系在外电场中的能量考察两个电荷系统，电荷分布分别为考察两个电荷系统，电荷分布分别为1、2，产生的电势分，
13、产生的电势分别为别为1 1、2 2.则两个体系的相互作用能可以定义为则两个体系的相互作用能可以定义为d21d21d)()(212211212121012VVVWWWWd)(211221Vd21V12212122112210121ddd41dVVVVr电荷系统与外场的电荷系统与外场的相互作用能相互作用能：VWde电荷分布电荷分布(x)体系在体系在电势为电势为e外电场中能量为外电场中能量为deW可以将外场在有限尺度的电荷系统可以将外场在有限尺度的电荷系统 处展开：处展开：0 x 31,e231eee0!2100jijijiiiixxxxxxx 31,e2231ee0)3(6100jijiijjii
14、iixxrxxxx )(0000ee2231,e22231,e22为外场rxrxxrjiijijiij也可以写成矢量符号形式：也可以写成矢量符号形式：0:36100e2eeeI Irxxxx d0!2100e2,eejijijiiiixxxxxxxW上式是小区域内电荷体系在外电场中的能量展开式上式是小区域内电荷体系在外电场中的能量展开式.0e0QW 0:610006100eee,e2eeDDpQxxDxpQjijiijiii外场中能量的级数形式外场中能量的级数形式 )2()1()0(WWW电荷（零级矩）与外场相互作用能：电荷（零级矩）与外场相互作用能：00ee1EppW电偶极子在外电场中所受的
15、力和力矩：电偶极子在外电场中所受的力和力矩：ee1EpEpWF设电偶极矩与外电场方向的夹角为设电偶极矩与外电场方向的夹角为,则力矩为则力矩为 sincosee1pEpEWLeEpL e2:61EDDW只有在非均匀场中四极子的能量才不为零只有在非均匀场中四极子的能量才不为零.电偶极矩与外场相互作用能：电偶极矩与外场相互作用能：电四极矩与外场相互作用能：电四极矩与外场相互作用能：讨论：讨论：外场与有限空间电荷系统的外场与有限空间电荷系统的相互作用能相互作用能可以表示成与各可以表示成与各多极矩的多极矩的相互作用能相互作用能之和：之和：)2()1()0(WWWW电荷（零极矩）与外场相互作用能：电荷（零
16、极矩）与外场相互作用能：0e)0(QW电偶极矩与外场相互作用能：电偶极矩与外场相互作用能：00ee)1(EppW电四极矩与外场相互作用能：电四极矩与外场相互作用能：0:610:61ee)2(EDDW讨论：讨论：仅具有电偶极矩的电荷系统称为仅具有电偶极矩的电荷系统称为电偶极子电偶极子.若电偶极子空间线度可略，则与电场相互作用能可视为其在若电偶极子空间线度可略，则与电场相互作用能可视为其在外场中的势能外场中的势能coseepEEpVcosepE电偶极子有四个自由度，四个广义坐标电偶极子有四个自由度，四个广义坐标 .),(r电偶极子受力：电偶极子受力：eeEpEpVF)()(电偶极子受力矩：电偶极子
17、受力矩：eEpL极化效应：电偶极子在均匀电场中不受力，但有力矩使其趋极化效应：电偶极子在均匀电场中不受力，但有力矩使其趋于电场方向于电场方向.静电吸引效应：电偶极子在非均匀电场中受力，使其趋于强静电吸引效应：电偶极子在非均匀电场中受力，使其趋于强电场处电场处.ABBAABBABA)()()()()(Ep讨论：讨论：一般情况下，电多极矩与原点选取有关（零阶矩除一般情况下，电多极矩与原点选取有关（零阶矩除外），但最低阶非零的多极矩与原点选择无关外），但最低阶非零的多极矩与原点选择无关.以电四极矩为例：以电四极矩为例：VV x x xDd)(3Vxx xx xVxxxDVVd)()(3d)(300d)()(30000VVxxx xxx x x xQxxpxxpD0000333DDpQ ,0 ,0则若电偶极子电偶极子O0 xxO xOqlOq作作 业业11 12 13 14
