1、21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系导入新课导入新课复习引入1.一元二次方程的求根公式是什么？224(40)2bbacxbaca 2.求出一元二次方程求出一元二次方程x23x40的两根的两根x1和和x2，计，计算算x1x2和和x1x2的值它们与方程的系数有什么关系？的值它们与方程的系数有什么关系？方程方程x23x40的两根为的两根为x11，x24，于是于是x1x23，x1x24.我们发现：这个方程的二次项系数为我们发现：这个方程的二次项系数为1，它的两，它的两根之和根之和3等于一次项系数等于一次项系数3的相反数，两根之积的相反数，两根之积等于常数项等于常数项4.换几个一元换几个一元二次方
2、程再二次方程再试试，结果试试，结果怎样？怎样？对于任何一个二次项系数为对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？是否都有这样的结果呢？讲授新课讲授新课探索一元二次方程的根与系数的关系一 算一算 解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.-412312-1x1+x2=-3 x1 x2=-4x1+x2=5x1 x2=6231022xx1232xx 1212x x 1知识点知识点一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系 探究：探究：我们来考我们来考察察方程方程 x2pxq0(p24q0)由一
3、由一 元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为221244,.22ppqpbqxx221244 +,22ppqppqxxp 所所以以22124422ppqppqxx 224.4ppqq1.二次项系数为二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：的一元二次方程根与系数的关系：(1)设一元二次方程设一元二次方程x2pxq0的两根为的两根为x1、x2，那么那么 x1x2p，x1x2q.知知1 1讲讲例例1 1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：(1)x23x50；(2)2x23x50.解：解：(1)设两根为设两
4、根为x1、x2，由上述二次，由上述二次 项系数为项系数为1的一元二次方程根与的一元二次方程根与 系数的关系，可得系数的关系，可得 x1x23，x1x25.猜一猜 （2）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么，你可以发现什么结论？一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、x2，那么12bx+x=-a12cx xa注意满足上述关系的前提条件b2-4ac0.2知识点知识点一元二次方程根与系数的关系的应用一元二次方程根与系数的关系的应用1.利用根与系数的关系求值：利用根与系数的关系求值：例例4 已知关
5、于已知关于x的方程的方程 x26xp22p50的一个的一个 根是根是2，求方程的另一个根和，求方程的另一个根和p的值的值导引：导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和 可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中 p的值的值1.x2-2x-15=0；例例5 口答下列方程的两根之和与两根之积.2.x2-6x+4=0；3.2x2+3x-5=0；4.3x2-7x=0；5.2x2=5.x1+x2=-p,x1 x2=q.x1+x2=2,x1 x2=-15.x1+x2=6,x1 x2=4.235+-=022xx1212352
6、2xxx x ，1212703xxx x，22-50 x1212502xxx x，ax2+bx+c=0(a0)两边都除以a20bcxxaa12bxxa 12cxxa一元二次方程的根与系数的关系的应用二典例精析121.3xx121x x 1222.3xx1233.2xx 124.0 xx1223x x 1213x x 120 x x 下列方程的两根和与两根积各是多少？x23x+1=0；3x22x=2；2x2+3x=0；3x2=1.在使用根与系数的关系时:(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用x1+x2=时，“”不要漏写.ba注意例6 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个
7、根及k的值.解：设方程程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=2.所以：x1 x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=-7.答：方程的另一个根是 ，k=-7.,5k3.53()5356,5已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1x2=15=得：m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.,3m例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.1212222121122222121212212
8、121231,.2212,231132;224113123.22xxxxxxxx xxxxxxx xxxxxx x 解：根据根与系数的关系可知：设x1,x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:（1）x1+x2=,(2)x1x2=,(3),(4).411412221)(xx2221xxu 总结常见的求值:12111.xx1212;xxx x124.(1)(1)xx1212()1;x xxx12213.xxxx221212xxx x2121212()2;xxx xx x125.xx212()xx21212()4.xxx x22212121 22.()2;xxx xxx 注意：注意：求与方程的根有
9、关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.2知识点知识点一元二次方程根与系数的关系的应用一元二次方程根与系数的关系的应用1.利用根与系数的关系求值：利用根与系数的关系求值：例例4 已知关于已知关于x的方程的方程 x26xp22p50的一个的一个 根是根是2，求方程的另一个根和，求方程的另一个根和p的值的值导引：导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和 可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中 p的值的值解：解：设方程的两根为设方程的两根为x1和和x2，x1x26，x12
10、，x24.又又x1x2 p22p5248，p22p30，解得，解得p3或或p1.ca总总 结结 已知方程的一根求另一根，可以直接将一根已知方程的一根求另一根，可以直接将一根代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求代入方程中求出待定字母的值，然后再解方程求另一根也可以直接利用根与系数的关系求另一另一根也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值根及待定字母的值2.已知方程两根的关系求方程中待定的字母系数的值：已知方程两根的关系求方程中待定的字母系数的值：例例5 方程方程x22kxk22k10 的两个实数根的两个实数根x1、x2满足满足x12x22 4，求，求k的值的值导引：导引：由由x1
11、2x22x122x1x2x222x1x2(x1x2)2 2x1x24，然后根据根与系数的关系即可得，然后根据根与系数的关系即可得 到一个关于到一个关于k的方程，从而求得的方程，从而求得k的值的值解：解：x12x224，即即x12x22x122x1x2x222x1x2 (x1x2)22x1x24 将将x1x22k，x1x2k22k1，代入上式有代入上式有4k22(k22k1)4，解得解得k1或或k3.当当k3时，时，(2k)24(k22k1)280，不符合题意舍去，不符合题意舍去，k1.总总 结结已知方程两根的关系求待定字母系数的值：已知方程两根的关系求待定字母系数的值：先根据根与系数的关系用待
12、定的字母表示两根之先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，然和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，然后将两根的和与积后将两根的和与积整体代入整体代入，列出以待定字母为未知，列出以待定字母为未知数的方程，求出待定字母的值，求出待定字母的值必数的方程，求出待定字母的值，求出待定字母的值必须满足根的判别式大于或等于须满足根的判别式大于或等于0.当堂练习当堂练习1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_.1-232-33.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（
13、2）求(x1-x2)2的值.解：（1）根据根与系数的关系 所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；12,xxk1 21.2kx x1()1 4,2kk （2）因为k=-7,所以 则：1 24.xx 127,x x22212121 2()()474(4)65.xxxxxx 1 一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程一元二次方程ax2bxc0(a0)，当，当b24ac0时，方程有实数根，设这两个实数根分别为时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1、x2，这两个根与系数的关系是，这两个根与系数的关系是x1x2 x1x2,ba.ca一元二次方程根与系数的关系的几种常用变形：一元二次方程根与系数的关系的几种常用变形：(1)x12x22(x1x2)22x1x2；(2)(x1x2)2(x1x2)24x1x2；(3)(x11)(x21)x1x2(x1x2)1；12121211();4xxxxx x 2221212121221121252();xxx xxxxxxxx xx x 2212121212()4.6xxxxxxx x 2
