1、3.1 微分学基本定理微分学基本定理 微分中值定理是导数应用的基础，把函数的导数与微分中值定理是导数应用的基础，把函数的导数与函数值在区间上的变化联系起来，使我们能应用导数去函数值在区间上的变化联系起来，使我们能应用导数去研究函数的整体形态。研究函数的整体形态。2一、一、费马费马(Fermat)引理引理 水平切线水平切线 P P)(xfy 0 xyxoM称导数为零的点为函数的称导数为零的点为函数的驻点驻点（或（或稳定点稳定点、临界点临界点）。）。3水平切线水平切线 P P)(xfy 0 xyxoMNN,0 MNk,0lim MNMNkk,0 NMk,0lim NMMNkk,为为切切线线的的斜斜
2、率率设设 k0 k分析：分析：4()()()()lim0,xxf xf xfxfxxx ()()()()lim0,xxf xf xfxfxxx ()0.fx 故故由极限的保号性可得：由极限的保号性可得：5二二、罗尔罗尔(leRol)定理定理 xyoab)(af)(bfP)(xfy 6定理得证。定理得证。推论推论3.1 可微函数的任意两个零点之间至少存在导函数的可微函数的任意两个零点之间至少存在导函数的 一个零点。一个零点。789思考：思考：10()()xg xef x 1112),()()(fabafbf ()()()().f bf afba 或或三、三、拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中
3、值中值定理定理 13AyxoB()yf x ab MT1 2 xyoBAab()yf x 拉格朗日定理的几何意义：拉格朗日定理的几何意义：14Pa()yx AyxoB()yf x ab()()()(),f bf ayf axaba 15()()0,ab 且且()()()()0,f bf afba ()()().f bf afba 即即16()()()().f bf aF xf xxba 17()()()(),f bf aFxfxba ()()()0f bf afba 即即()()().f bf afba 18微分中值公式的另一种形式为微分中值公式的另一种形式为).10)()()()(ababa
4、fafbfxxxfxfxxf )()()(（10 ）。）。上式称为上式称为有限增量（改变量）公式有限增量（改变量）公式，它建立了函数的增，它建立了函数的增量与导数之间的关系。量与导数之间的关系。19注意注意：推论：推论1是是“常数函数的导数是零常数函数的导数是零”的逆命题。的逆命题。20ln(1)ln11(),(1)1xfx 11,x 21()()()()()()f bf afg bg ag Lagrange定理是定理是Cauchy定理当定理当xxg)(时的特例。时的特例。()()()()()().fg bg agf bf a 即即222324 微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理
5、微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒定理。微分中值定理是微分学的基本定理和理论基和泰勒定理。微分中值定理是微分学的基本定理和理论基础，它揭示了函数与导数之间的内在联系，利用它们可以础，它揭示了函数与导数之间的内在联系，利用它们可以得到微分学与积分学的一系列的重要结果。得到微分学与积分学的一系列的重要结果。25 推推 广广)()(bfaf 柯西定理柯西定理)()()()()()(gfagbgafbf xxg)(推推 广广罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理之间关系罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理之间关系罗尔定理罗尔定理0)(f拉格朗日定理拉格朗日定理)()()(fabafbf 2627 习习 题题 2.32.3 （P117P117）作作4 4；6 6；7 7；10(2)(6)10(2)(6)；1212；14.14.业业
