1、3.3.2 简单的线性规划问题简单的线性规划问题线性规划中的基本概念线性规划中的基本概念不等式不等式(组组)线性约束条件线性约束条件可行解可行解线性约束线性约束最大值或最小值最大值或最小值 ：在线性约束条件下，最优解唯一吗？：在线性约束条件下，最优解唯一吗？提示提示：最优解可能有无数多个，直线：最优解可能有无数多个，直线l0：axby0与可行与可行域中的某条边界平行时，求目标函数域中的某条边界平行时，求目标函数zaxby的最值，的最值，最优解就可能有无数多个最优解就可能有无数多个解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法解决线性规划问题的一般方法是图解法，其步骤如下：解决线性规划问题
2、的一般方法是图解法，其步骤如下：(1)确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等确定线性约束条件，注意把题中的条件准确翻译为不等式组；式组；(2)确定线性目标函数；确定线性目标函数；(3)画出可行域，注意作图准确；画出可行域，注意作图准确；(4)利用线性目标函数利用线性目标函数(直线直线)求出最优解；求出最优解；(5)实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解实际问题需要整数解时，应调整检验确定的最优解(调调整时，注意抓住整时，注意抓住“整数解整数解”这一关键点这一关键点)1(1)求函数求函数u3xy的最大值和最小值；的最大值和最小值；(2)求函数求函数zx2y的最大值和最小值的最大值
3、和最小值【例例1】【变式变式1】【例例2】【变式变式2】(2010广东高考广东高考)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，个单位的碳水化合物，6个个单位的蛋白质和单位的蛋白质和6个单位的维生素个单位的维生素C；一个单位的晚餐含；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和个单位的蛋白质和10个单位的维个单位的维生素生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位个单位的碳水化合物，的碳水化合物，42个单位的蛋白质和个单位的蛋白质
4、和54个单位的维生素个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和元和4元，那元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？分别预订多少个单位的午餐和晚餐？审题指导审题指导 题型三题型三线性规划的实际应用线性规划的实际应用【例例3】规范解答规范解答 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个个单位和单位和y个单位，所花的费用为个单位，所花的费用为z元，则依题意得：元，则依题意得：z2.5x4y，且，且x，y满足满足让
5、目标函数表示的直线让目标函数表示的直线2.5x4yz在可行域上平移在可行域上平移由此可知由此可知z2.5x4y在在B(4,3)处取得最小值处取得最小值 (10分分)因此，应当为该儿童预订因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和个单位的午餐和3个单位的晚个单位的晚餐，就可满足要求餐，就可满足要求 (12分分)【题后反思题后反思】用图解法解线性规划应用题的具体步骤为：用图解法解线性规划应用题的具体步骤为：(1)设元，并列出相应的约束条件和目标函数；设元，并列出相应的约束条件和目标函数；(2)作图：准确作图，平移找点；作图：准确作图，平移找点；(3)求解：代入求解，准确计算；求解：代入求解，准确计算；
6、(4)检验：根据结果，检验反馈检验：根据结果，检验反馈 某公司计划某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不年在甲、乙两个电视台做总时间不超过超过300分钟的广告，广告总费用不超过分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为视台的广告收费标准分别为500元元/分钟和分钟和200元元/分钟假分钟假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为带来的收益分别为0.3万元和万元和0.2万元问该公司如何分配万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最在甲、乙两个电视
7、台的广告时间，才能使公司的收益最大最大收益是多少万元？大最大收益是多少万元？解解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和分钟和y分钟，总收益为分钟，总收益为z元，由题意得元，由题意得【变式变式3】目标函数为目标函数为z3 000 x2 000y.作出可行域如图所示：作出可行域如图所示：作直线作直线l：3 000 x2 000y0，即，即3x2y0.平移直线平移直线l，由图可知当，由图可知当l过点过点M时，目标函数时，目标函数z取得最大值取得最大值zmax3 0001002 000200700 000(元元)答答该公司在甲电视台做该公司在甲
8、电视台做100分钟广告，在乙电视台做分钟广告，在乙电视台做200分分钟广告，公司的收益最大，最大收益是钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元万元 数形结合的主要解题策略是：数数形结合的主要解题策略是：数形形问题的解决；问题的解决；或：形或：形数数问题的解决数与形结合的基本思路是：根问题的解决数与形结合的基本思路是：根据数的结构特征构造出与之相适应的几何图形，并利用直据数的结构特征构造出与之相适应的几何图形，并利用直观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为观特征去解决数的问题；或者将要解决的形的问题转化为数量关系去解决数量关系去解决 已知已知1xy4且且2xy3，且，且z2x3y的
9、取的取值范围是值范围是_(答案用区间表示答案用区间表示)思路分析思路分析 如果把如果把1xy4,2xy3看作变量看作变量x，y满足的线性约束条件，把满足的线性约束条件，把z2x3y看作目标函数，问题看作目标函数，问题就转化为一个线性规划问题就转化为一个线性规划问题方法技巧方法技巧数形结合思想在线性规划中的应用数形结合思想在线性规划中的应用【示示例例】在可行域内平移直线在可行域内平移直线2x3y0，当直线经过当直线经过xy2与与xy4的交点的交点A(3,1)时，目标函数时，目标函数有最小值，有最小值，zmin23313；当直线经过当直线经过xy1与与xy3的交点的交点B(1，2)时，目时，目标函数有最大值，标函数有最大值，zmax21328.所以所以z3,8答案答案3,8方法点评方法点评 如果两个变量如果两个变量(或其代数式或其代数式)具有约束范围，且具有约束范围，且所求的目标式中含有这两个变量，可以考虑使用线性规所求的目标式中含有这两个变量，可以考虑使用线性规划的方法求解，即把数的问题转化为形的问题来解划的方法求解，即把数的问题转化为形的问题来解决实质上，整个线性规划问题的解决都是数形结合思决实质上，整个线性规划问题的解决都是数形结合思想方法的体现想方法的体现
