1、第三章第三章 一元一次方程一元一次方程3.3 解一元一次方程（二）解一元一次方程（二）去括号与去分母去括号与去分母解方程中的去括号解方程中的去括号概念概念示例示例去括号去括号解方程的过程中，运解方程的过程中，运用去括号法则，把方用去括号法则，把方程中含有的括号去掉程中含有的括号去掉的过程，叫作去括号的过程，叫作去括号解方程解方程2（-x+2.5）-（5x-1）=10时，运用去括号法则可时，运用去括号法则可得，得，-2x+5-5x+1=10知知识识解解读读（1)1)可用分配律去括号：将括号外的因数连同它前面的符可用分配律去括号：将括号外的因数连同它前面的符号看作一个整体（只有号看作一个整体（只有
2、“+”“-”+”“-”，要分别看成，要分别看成“+1”+1”和和“-1”-1”），按照分配律将其与括号内各项相乘后，再将所），按照分配律将其与括号内各项相乘后，再将所得的积相加得的积相加.（2 2）去多重括号的一般顺序：一般是由内到外去括号，）去多重括号的一般顺序：一般是由内到外去括号，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号即先去小括号，再去中括号，最后去大括号.（3 3）运用去括号解方程的一般步骤：先去括号，再移项、）运用去括号解方程的一般步骤：先去括号，再移项、合并同类项、系数化为合并同类项、系数化为1 1巧记乐背巧记乐背解方程中去括号，解方程中去括号，注意变号不变号：注意变号不变号：前有
3、正号不变号，前有正号不变号，前有负号必变号；前有负号必变号；若有系数需小心，若有系数需小心，系数分配要公道；系数分配要公道；各项都要乘系数，各项都要乘系数，多乘少乘都错了多乘少乘都错了.例例1 解方程：解方程：11-（y+1）=3y+4（2y-3）.分析：按照去括号、移项、合并同类项、系数化为分析：按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这，这几个步骤来解方程几个步骤来解方程.解：去括号，得解：去括号，得11-y-1=3y+8y-12.移项，得移项，得-y-3y-8y=-12-11+1.合并同类项，得合并同类项，得-12y=-22.系数化为系数化为1，得，得y=1111.6 6 去括号时要注
4、意，当括号外的因数为正数时，去括号时要注意，当括号外的因数为正数时，括号内的每一项都不变号；当括号外的因数为负括号内的每一项都不变号；当括号外的因数为负数时，括号内的每一项都要改变符号数时，括号内的每一项都要改变符号.解方程中的去分母解方程中的去分母概念概念示例示例去分去分母母一元一次方程中如果有分母，一元一次方程中如果有分母，根据等式的性质根据等式的性质2 2，在方程两边，在方程两边同时乘各分母的最小公倍数，同时乘各分母的最小公倍数，将分母去掉，这一变形过程叫将分母去掉，这一变形过程叫作去分母作去分母解方程解方程 时，两边都乘时，两边都乘3 3和和4 4的最小的最小公倍数公倍数1212，得，
5、得4 4（x+1+1）-12=312=3（x-1-1）知识知识解读解读去分母的依据是等式的性质去分母的依据是等式的性质2 2，两边都乘各分母的任何一个，两边都乘各分母的任何一个公倍数都可以达到去分母的目的，但乘最小公倍数是最简公倍数都可以达到去分母的目的，但乘最小公倍数是最简单的做法单的做法.x1x1x1x11 13434例例2 解方程：解方程：分析：方程两边同乘各分母的最小公倍数分析：方程两边同乘各分母的最小公倍数6，去掉分母，去掉分母，然后去括号、移项、合并同类项、系数化为然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可得出，即可得出结果结果.解：去分母，得解：去分母，得6x-3（x-1)=
6、12-2（x+2).去括号，得去括号，得6x-3x+3=12-2x-4.移项，得移项，得6x-3x+2x=12-4-3.合并同类项，得合并同类项，得5x=5.系数化为系数化为1，得，得x=1.12122.2.2323xxx 方程中的分数线除了有除号的作用外，还具有方程中的分数线除了有除号的作用外，还具有括号的作用，即把分子看作一个整体，先用括号括号的作用，即把分子看作一个整体，先用括号括起来，再根据去括号法则去掉括号括起来，再根据去括号法则去掉括号.解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤具体做法具体做法理论依据理论依据注意事项注意事项去分去分母母在方程两边同乘各分母在方程两边同乘各分
7、母的最小公倍数的最小公倍数等式的性等式的性质质2 2不要漏乘不含分母的项；不要漏乘不含分母的项；分子是多项式时，去分分子是多项式时，去分母后应加上括号母后应加上括号去括去括号号先去小括号，再去中括先去小括号，再去中括号，最后去大括号号，最后去大括号去括号法去括号法则和分配则和分配律律不要漏乘括号里的任何不要漏乘括号里的任何一项；不要弄错符号一项；不要弄错符号移项移项把含有未知数的项都移把含有未知数的项都移到方程的左边，其他项到方程的左边，其他项都移到方程的右边都移到方程的右边等式的性等式的性质质1 1移项要变号；不要丢项移项要变号；不要丢项合并合并同类项同类项把方程化为把方程化为ax=b（a,
8、b为常数，为常数，且且a0)的形式的形式合并合并同类同类项法项法则则只把系数相加，字母及其指数只把系数相加，字母及其指数不变不变系数系数化为化为1 1在方程的两边都在方程的两边都除以未知数的系除以未知数的系数数a,得到方程的得到方程的解为解为x=等式等式的性的性质质2 2（1 1）对于含字母系数的方程，）对于含字母系数的方程，确保字母系数不为确保字母系数不为0 0时才能进时才能进行系数化为行系数化为1 1这一步；（这一步；（2 2）两）两边都除以未知数的系数时，注边都除以未知数的系数时，注意分子、分母不要颠倒位置意分子、分母不要颠倒位置ba知识解读知识解读上述解一元一次方程的步骤，并不是每个方
9、程上述解一元一次方程的步骤，并不是每个方程都要用到，也不一定都按这个顺序，需要根据都要用到，也不一定都按这个顺序，需要根据方程的特点灵活运用，一般以求解过程简便为方程的特点灵活运用，一般以求解过程简便为原则原则巧记乐背巧记乐背去分母时都乘到，去分母时都乘到，分子莫忘带括号；分子莫忘带括号；去括号时别漏乘，去括号时别漏乘，千万小心是负号；千万小心是负号；移项一定要变号，移项一定要变号，已知未知隔等号；已知未知隔等号；合并只是加系数，合并只是加系数，系数化系数化1 1别颠倒别颠倒.注意注意 若分母是小数时，一般先利用分数的基本性质，将分若分母是小数时，一般先利用分数的基本性质，将分母中的小数化为整
10、数，再去分母母中的小数化为整数，再去分母.例例3 3 解方程解方程分析：按照解一元一次方程的一般步骤依次变形，便可得分析：按照解一元一次方程的一般步骤依次变形，便可得到方程的解到方程的解.解：去分母，得解：去分母，得9y-（y+2)-2（y-2)=6.去括号，得去括号，得9y-y-2-2y+4=6.移项，得移项，得9y-y-2y=6+2-4.合并同类项，得合并同类项，得6y=4.系数化为系数化为1，得，得y=.2 23 3311311(2)(2)1.(2)(2)1.263263yyy去分母时，不含分母的项漏乘最小去分母时，不含分母的项漏乘最小公倍数或忽视分数线的括号作用公倍数或忽视分数线的括号
11、作用例例5 5 解方程：解方程：解：方程两边同乘解：方程两边同乘6 6，得，得2 2（2 2x-1-1）=（2 2x+1)-6.+1)-6.去括号，得去括号，得4 4x-2=2-2=2x+1-6.+1-6.移项，得移项，得4 4x-2-2x=1-6+2.=1-6+2.合并同类项，得合并同类项，得2 2x=-3.=-3.系数化为系数化为1 1，得，得x=212121211.1.3636xx-3 3.2 2 （1）误认为去分母就是只将含分母的式子乘各）误认为去分母就是只将含分母的式子乘各分母的最小公倍数，而遗漏了不含分母的项，从而出分母的最小公倍数，而遗漏了不含分母的项，从而出错，如本题易出现错，
12、如本题易出现“-1”漏乘漏乘6的错误的错误.（2）分数线有两层意义）分数线有两层意义:一方面是除号的作用，一方面是除号的作用，另一方面是括号的作用，若分子是多项式，应该将它另一方面是括号的作用，若分子是多项式，应该将它们分别看成一个整体，在去分母时，将它们分别加上们分别看成一个整体，在去分母时，将它们分别加上括号，如本题易出现括号，如本题易出现“22x-1=2x+1-6”的错误的错误.当分母是小数时，化小数为整数时容易与去当分母是小数时，化小数为整数时容易与去分母混淆分母混淆例例6 6 解方程：解方程：解：将方程中各分母的小数化为整数，得解：将方程中各分母的小数化为整数，得方程两边同乘方程两边
13、同乘10，得，得5（10 x+40）-2（10 x-30)=10.去括号，得去括号，得50 x+200-20 x+60=10.移项，得移项，得50 x-20 x=10-200-60.合并同类项，得合并同类项，得30 x=-250.系数化为系数化为1，得，得x=43431.1.0.20.50.20.5xx10401030104010301 12525xx-2525.3 3 根据分数的基本性质，将各分母的小数化为整根据分数的基本性质，将各分母的小数化为整数数.本题易将等号右边的本题易将等号右边的1，在将各分母的小数化为，在将各分母的小数化为整数时，也同乘整数时，也同乘10，从而导致错误，从而导致错
14、误.思路导图思路导图根据分配律，根据分配律，先后去掉中括先后去掉中括号与小括号号与小括号根据等式的根据等式的性质性质2 2，去，去掉分母掉分母母母 移项、合并移项、合并同类项、系数同类项、系数化为化为1，得到方，得到方程的解程的解题型一题型一 解带有括号的一元一次方程解带有括号的一元一次方程例例6 6 解一元一次方程：解一元一次方程：3 23 2(1)22.(1)22.2 342 34xx解：去中括号，得解：去中括号，得去小括号，得去小括号，得x4-1-3-x=2.去分母，得去分母，得x-4-12-4x=8.移项，得移项，得x-4x=8+4+12.合并同类项，得合并同类项，得-3x=24.系数
15、化为系数化为1，得，得x=-8.（1)32.1)32.4 4xx方法点拨方法点拨 去多重括号时，既可由内到外去，也可由外到去多重括号时，既可由内到外去，也可由外到内去，需要根据式子的特点，选择简便准确的去括内去，需要根据式子的特点，选择简便准确的去括号顺序号顺序.思路导图思路导图根据分数的基根据分数的基本性质，把分本性质，把分母中的小数化母中的小数化为整数为整数根据等式根据等式的性质的性质2 2，去掉分母去掉分母去括号、移项、去括号、移项、合并同类项、合并同类项、系数化为系数化为1，得，得到方程的解到方程的解题型二题型二 解分母中含有小数的一元一次方程解分母中含有小数的一元一次方程例例7 7
16、解方程：解方程：0.520.3(0.52)1310.520.3(0.52)131.0.030.2120.030.212xxx解：把原方程中的各小数化为整数，得解：把原方程中的各小数化为整数，得去分母，得去分母，得4（50 x+200)-12x=9（x+4)-131.去括号，得去括号，得200 x+800-12x=9x+36-131.移项、合并同类项，得移项、合并同类项，得179x=-895.系数化为系数化为1，得，得x=-5.5 50 02 20 00 03 3(4 4)1 13 31 1.3 34 41 12 2xxx 方法点拨方法点拨 解决本题的关键在于先把方程中的各小数化解决本题的关键在
17、于先把方程中的各小数化为整数，再按解方程的一般步骤解方程，既减少为整数，再按解方程的一般步骤解方程，既减少了运算量，也有效地避免了解题过程中因笔误等了运算量，也有效地避免了解题过程中因笔误等原因造成的失误原因造成的失误.思路导图思路导图根据题意，根据题意，列出关于列出关于a的一元一次的一元一次方程方程解关于解关于a的一的一元一次方程，元一次方程，求出求出a的值的值题型三题型三 构造一元一次方程求字母的值构造一元一次方程求字母的值例例8 已知已知 与与 互为相反数，那么互为相反数，那么a的值是多少？的值是多少？3 3a-29293 3a解：由题意，得解：由题意，得去分母，得去分母，得a+（2a-
18、9)=0.化简，得化简，得3a=9.系数化为系数化为1，得，得a=3.故故a的值为的值为3.-+=29290.0.3333aa思路导图思路导图设七年级学生的人设七年级学生的人数是数是x，用两个不，用两个不同的式子将客车的同的式子将客车的辆数表示出来辆数表示出来根据客车根据客车的辆数不的辆数不变，列出变，列出方程方程 解方程解方程即可得即可得到答案到答案题型四题型四 应用一元一次方程解决盈余不足问题应用一元一次方程解决盈余不足问题例例9 9 某中学组织七年级学生参观，原计划租用某中学组织七年级学生参观，原计划租用45座客车若座客车若干辆，但有干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的人没有座位
19、；如果租用同样数量的60座客车，座客车，那么将会多出一辆，且其余客车恰好坐满求七年级学生那么将会多出一辆，且其余客车恰好坐满求七年级学生的人数的人数.解：设七年级学生的人数是解：设七年级学生的人数是x.根据题意，得根据题意，得 ，解得解得x=240答：七年级学生的人数是答：七年级学生的人数是24015151 145604560 xx 方法点拨方法点拨 此题也可间接设原计划租用客车此题也可间接设原计划租用客车y辆，根据总辆，根据总人数不变得到方程：人数不变得到方程：4545y+15=60+15=60（y-1-1），求出），求出y值值后，代入后，代入4545y+15+15便可求出七年级学生的人数便
20、可求出七年级学生的人数思路导图思路导图设飞机无风时设飞机无风时飞行的速度为飞行的速度为x千米千米/时时根据顺风时所根据顺风时所行路程行路程=逆风时逆风时所行路程，列所行路程，列出方程出方程解方程求出解方程求出x的的值，从而计算值，从而计算得到两城之间得到两城之间的距离的距离题型五题型五 应用一元一次方程解决航行问题应用一元一次方程解决航行问题例例1010 一架飞机在两城之间飞行，顺风时飞行需一架飞机在两城之间飞行，顺风时飞行需256小时，小时，逆风时飞行需逆风时飞行需3小时，已知风速是每小时小时，已知风速是每小时24千米，求两城千米，求两城之间的距离之间的距离解：设飞机无风时飞行的速度为解：设
21、飞机无风时飞行的速度为x千米千米/时时.根据题意，得根据题意，得 （x+24）=3（x-24），），解得解得x=840.3（x-24）=3（840-24）=2 448答：两城之间的距离是答：两城之间的距离是2 448千米千米.5 52 26 6方法点拨方法点拨 解决航行问题，关键在于审清题意，找出合解决航行问题，关键在于审清题意，找出合适的等量关系列出方程此题是顺风、逆风问题，适的等量关系列出方程此题是顺风、逆风问题，常用的等量关系：顺风速度常用的等量关系：顺风速度=无风速度无风速度+风速，逆风速，逆风速度风速度=无风速度无风速度-风速，顺风行程风速，顺风行程=逆风行程逆风行程.例例11 解方
22、程：解方程：题型六题型六 解含有绝对值符号的一元一次方程解含有绝对值符号的一元一次方程319319.424424xx解：由绝对值的意义，知解：由绝对值的意义，知12x+940.（1）当）当x+0时，将原方程变形为时，将原方程变形为x+=x+，解得解得x=3.当当x=3时，时，12x+94=1540，故，故x=3是原方程的解是原方程的解.3 34 49 94 41 12 23 34 4（2）当）当x+0时，将原方程变形为时，将原方程变形为 ，解得解得x=-2.当当x=-2时，时，故，故x=-2是原方程的解是原方程的解.综上所述，原方程的解为综上所述，原方程的解为x=3或或x=-2.-(+3193
23、19)424424xx3 34 4=1951950 0244244x 方法点拨方法点拨 本题运用了分类讨论思想解含有绝对值符号本题运用了分类讨论思想解含有绝对值符号的一元一次方程的一元一次方程.首先要去掉绝对值符号，一定要首先要去掉绝对值符号，一定要把把x+的符号分情况进行讨论，并对所得的解进的符号分情况进行讨论，并对所得的解进行检验，看是否是原方程的解行检验，看是否是原方程的解.3 34 4解读中考：解读中考：解含有分母或括号的一元一次方程是中考的常解含有分母或括号的一元一次方程是中考的常考内容，既有对方程解法的考查，也有对应用方程考内容，既有对方程解法的考查，也有对应用方程解决实际问题的考
24、查，题型有选择题、填空题和解解决实际问题的考查，题型有选择题、填空题和解答题答题.例例12 （湖南株洲中考）在解方程（湖南株洲中考）在解方程 时，时，方程两边同时乘方程两边同时乘6，去分母后，正确的是（，去分母后，正确的是（）A2x-1+6x=3（3x+1）B2（x-1）+6x=3（3x+1）C2（x-1）+x=3（3x+1）D（x-1）+x=3（x+1）解析：方程两边同时乘解析：方程两边同时乘6，得，得2（x-1）+6x=3（3x+1）.故选故选B.B1311313232xxx考点一考点一 解含有分母或括号的一元一次方程解含有分母或括号的一元一次方程例例1313 （广西贺州中考）解方程：（广
25、西贺州中考）解方程：分析：方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为分析：方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出方程的解即可求出方程的解解：去分母，得解：去分母，得2x-3（30-x）=60.去括号去括号,得得2x-90+3x=60.移项、合并同类项移项、合并同类项,得得5x=150，解得解得x=3030305.5.6464xx 例例14 （湖北荆门中考）为了改善办学条件，学校购置了笔记本（湖北荆门中考）为了改善办学条件，学校购置了笔记本电脑和台式电脑共电脑和台式电脑共100台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台，已知笔记本电脑的台数比台式电脑的台数的台数的14还少还少
26、5台，则购置的笔记本电脑有台，则购置的笔记本电脑有 台台解析：设购置的笔记本电脑有解析：设购置的笔记本电脑有x台，则购置的台式电脑有台，则购置的台式电脑有（100-x）台）台.由题意，得由题意，得x=（100-x）-5，即，即20-x=0，解得解得x=16故购置的笔记本电脑有故购置的笔记本电脑有16台台161 14 45 54 4考点二考点二 列含有分母或括号的一元一次方程解应用题列含有分母或括号的一元一次方程解应用题例例15 （湖北黄冈中考）在红城中学举行的（湖北黄冈中考）在红城中学举行的“我爱祖国我爱祖国”征文活征文活动中，七年级和八年级共收到征文动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且
27、七年级收到的征文篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的篇，求七年级收到的征文有多少篇征文有多少篇.解：设七年级收到的征文有解：设七年级收到的征文有x篇，则八年级收到的征文有篇，则八年级收到的征文有（118-x）篇）篇.由题意，得由题意，得解得解得x=38答：七年级收到的征文有答：七年级收到的征文有38篇篇1181182,2,2 2xx 核心素养核心素养例例1616 某明星演唱会组委会公布的门票价格是：一等席门票某明星演唱会组委会公布的门票价格是：一等席门票600元元/张，二等席门票张，二等席门票400元元/张，三等席门
28、票张，三等席门票250元元/张某服装公司在促张某服装公司在促销活动中组织获得前三等奖的销活动中组织获得前三等奖的36名顾客去看该明星的演唱会，计划名顾客去看该明星的演唱会，计划购买两种门票共花费购买两种门票共花费10050元，你能设计几种购买门票的方案供该元，你能设计几种购买门票的方案供该服装公司选择？请说明理由服装公司选择？请说明理由分析：可分为购买一等席和二等席、一等席和三等席、二分析：可分为购买一等席和二等席、一等席和三等席、二等席和三等席三种情况，然后根据门票总数为等席和三等席三种情况，然后根据门票总数为36，总费用，总费用为为10050元，列方程求解即可元，列方程求解即可解：设购买一
29、等席门票解：设购买一等席门票x张，则购买二等席门票（张，则购买二等席门票（36-x）张）张根据题意，得根据题意，得600 x+400（36-x）=10050,解得解得x=-21.75（不符合题意，舍去）（不符合题意，舍去）设购买一等席门票设购买一等席门票x张，则购买三等席门票（张，则购买三等席门票（36-x）张）张根据题意，得根据题意，得600 x+250（36-x）=10050，解得，解得x=3所以可购买一等席门票所以可购买一等席门票3张，三等席门票张，三等席门票33张张设购买二等席门票设购买二等席门票x张，则购买三等席门票（张，则购买三等席门票（36-x）张）张根据题意，得根据题意，得400 x+250（36-x）=10050，解得，解得x=7所以可购买二等席门票所以可购买二等席门票7张，三等席门票张，三等席门票29张张答：共有答：共有2种方案可供选择种方案可供选择.方案一：可购买一等席门票方案一：可购买一等席门票3张，三等席门票张，三等席门票33张；方案二：可购买二等席门票张；方案二：可购买二等席门票7张，三等席门票张，三等席门票29张张
