1、第一节第一节 共形映射的概念共形映射的概念一、两曲线的夹角一、两曲线的夹角二、解析函数导数的几何意义二、解析函数导数的几何意义三、共形映射的概念三、共形映射的概念四、小结与思考四、小结与思考一、两曲线的夹角)(,)(ttzz正向正向:t 增大时增大时,点点 z 移动的方向移动的方向.如果如果规定规定:tpp正向对应于正向对应于割线割线0pp0 ,那么那么增大的方向增大的方向.)()(00同向同向与与ttzttz 平面内的有向连续曲线平面内的有向连续曲线C可表示为可表示为:zyx0C.0pp)(0tz)(0ttz )()()(lim0000tzttzttzt 当当 p,0时时ppp0处切线处切线
2、上上 0pC,0)(00 ttz如如果果的向量的向量那么表示那么表示)(0tz).(0tzzC 相切于点相切于点与与方向与方向与 C 一致一致.C.0pp)(0tz)(0ttz )(0tz yx0C沿沿000)()(zCztz上点上点为为起点为起点为的方向的方向若规定若规定 处切线的正向处切线的正向,则有则有x 轴正向之间的夹角轴正向之间的夹角.处的切线的正向与处的切线的正向与上点上点就是就是00)(Arg.1zCtz C.0zyx0)(0tz)(Arg0tz 2C1C正向之间正向之间与与相交于一点的两条曲线相交于一点的两条曲线21 .2CC之间的夹角之间的夹角.)(Arg)(Arg0102t
3、ztz .0z),(:11tzzC;)(:22tzzC).()(02010tztzz 向向在交点处的两条切线正在交点处的两条切线正与与就是就是的夹角的夹角21 ,CC二、解析函数导数的几何意义的的几几何何意意义义)(Arg.10zf :,:0参数方程参数方程的有向光滑曲线的有向光滑曲线平面内过平面内过 zzC);(,)(ttzz正向正向:t 增大的方向增大的方向;,)(00tzz 且且.,0)(0 ztzC0z.yx0)(z,)(内解析内解析在区域在区域设设Dzfw )(0tz.0)(,00 zfDz且且,的有向光滑曲线的有向光滑曲线其参数方程为其参数方程为,)(ztzfw正向正向:t 增大的
4、方向增大的方向.)()(00zfwwCzfw 平面内过平面内过映射成映射成将将映射映射C0z.yx0)(z)(0tz yx0)(w0w.)(zfw )()(ttzfw因因为为0)()(0tttwtw 所所以以,0)(0处切线存在处切线存在上点上点即即w)(Arg)(Arg)(Arg000tztwzf )(Arg)(Arg)(Arg000tzzftw 或或处切线的倾角处切线的倾角在在0w 处切线的倾角处切线的倾角在在0zC的转动角的转动角映射后在映射后在经经曲线曲线定义为定义为0)(:zzfwC)()(00tzzf 2 1 1C说明说明:转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状无
5、关的形状无关.映射映射 w=f(z)具有转动角的不变性具有转动角的不变性.0w 映射映射经经)(zfw 1C1)(Arg)(Arg)(Arg01010tztwzf 2C2 2C0z.)(Arg)(Arg)(Arg02020tztwzf 则有则有)(Arg)(Arg)(Arg)(Arg02020101tztwtztw 的夹角的夹角在在与与 021w 的夹角的夹角在在与与 021zCC结论结论:)(zfw 的夹角在其大小和方向上都等同于经过的夹角在其大小和方向上都等同于经过.2121之间的夹角之间的夹角与与对应的曲线对应的曲线与与映射后跟映射后跟 CC方向不变的性质方向不变的性质,此性质称为此性质
6、称为保角性保角性.的大小和的大小和具有保持两曲线间夹角具有保持两曲线间夹角映射映射)(zfw 之间之间与与的任意两条曲线的任意两条曲线相交于点相交于点210 CCz 的几何意义的几何意义)(.20zf 000)()(lim)(0zzzfzfzfzz 因为因为,0 irezz 令令 Cyx0)(wyx0)(zs R)(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.,lim000zzwwzz .0 ieww 0000)()(zzzfzfzzww iiree s )(0zf所以所以.lim0szz )(0lim izzerss的的伸伸缩缩率率在在称称为为曲曲线线 0zC结论结论:的的后后通通过过
7、点点是是经经过过映映射射 )()(00zzfwzf 的形状及的形状及它与曲线它与曲线的伸缩率的伸缩率在在的任何曲线的任何曲线CzC ,0方向无关方向无关.所以这种映射又具有所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性.,)(iers综上所述综上所述,有有具有两个性具有两个性在在那末映射那末映射且且0)(,0)(zzfwzf 质质:(1):(1)保角性保角性;(2);(2)伸缩率不变性伸缩率不变性.定理一定理一 ,)(0内一点内一点为为内解析内解析在区域在区域设函数设函数DzDzfw 三、共形映射的概念 定义定义是共形映射是共形映射在在是共形的，或称是共形的，或称在在变性，那末变性，那末具有保
8、角性和伸缩率不具有保角性和伸缩率不在在的邻域内是解析的的邻域内是解析的在在设设0000)()(,)(zzfwzzfwzzzfw 说明说明:也称为也称为第一类共形映射第一类共形映射.,)(具有伸缩率不变性具有伸缩率不变性如果映射如果映射zfw 但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反但仅保持夹角的绝对值不变而方向相反,则称之为则称之为第二类共形映射第二类共形映射.问题问题:关于实轴对称的映射关于实轴对称的映射zw 是第一类共形映射吗是第一类共形映射吗?答案答案:将将 z 平面与平面与 w 平面重合观察，平面重合观察，y(v)x(u)01 2.z1C2C.z 夹角的绝对值相同夹角的绝对值相同而方向相反而
9、方向相反.否否.)()(wz 部分缩小？部分缩小？哪一哪一平面的哪一部分放大？平面的哪一部分放大？转动角，并说明它将转动角，并说明它将处的处的在在试求映射试求映射zizzzzfw212)(2 例例解解,22)(zzf因因izzf21)(arg 转动角转动角,2,21处处故在故在iz izz21)22arg()4arg(i)(zf 伸缩率伸缩率,1)(zf当当,)1(222yx )(iyxz ,21,1的的圆圆内内缩缩小小半半径径为为为为中中心心故故在在以以 z,41)1(22时时即即 yx反之放大反之放大.21,1的的圆圆外外放放大大半半径径为为为为中中心心以以 z,缩缩小小四、小结与思考 熟悉解析函数导数的几何意义熟悉解析函数导数的几何意义,了解共形了解共形映射的概念及其重要性质映射的概念及其重要性质.21202处的旋转角处的旋转角在点在点求映射求映射izzzw 思考题思考题思考题答案思考题答案.2,4arg)21(arg iif放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.
