1、9.2.1 9.2.1 一阶微分方程一阶微分方程一阶微分方程的一般形式一阶微分方程的一般形式.),(0),(yxfyyyxF 或或我们只讨论几种特殊形式的一阶微分方程。我们只讨论几种特殊形式的一阶微分方程。一、一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(1 1、已分离变量的微分方程、已分离变量的微分方程.设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的,方方程程两两边边同同时时积积分分 dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.分离变量法分离变量法注
2、：注：分离变量法的依据是不定积分中积分变量与分离变量法的依据是不定积分中积分变量与被积函数变量必须一致。被积函数变量必须一致。2 2、可分离变量的微分方程、可分离变量的微分方程)()(ygxfdxdy(1)0)()()()(dyyQxPdxyNxM(1)式当式当g(y)0时，可转化为分离变量形式求解时，可转化为分离变量形式求解.或或(2)(2)式当式当P(x)0,N(y)0时，可转化为分离变量时，可转化为分离变量形式求解形式求解.当当g(y)=0或或P(x)=0或或N(y)=0时，要找回奇解。时，要找回奇解。例例1 1 求微分方程求微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分离变量分离变量,2
3、xdxydy 两端积分两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xcey 注注1 1 求解过程中左边对数未取绝对值的解释；求解过程中左边对数未取绝对值的解释；注注2 2 通解结果中常数的形式和结构变化；通解结果中常数的形式和结构变化；注注3 3 求通解与求解微分方程的区别。求通解与求解微分方程的区别。(奇解奇解)例例2 2 求解微分方程求解微分方程.12的通解的通解xxydxdy 解解,12xxdxydy 两端积分两端积分,12 xxdxydyCxyln)1ln(21ln2 .12为所求通解为所求通解xcy .132yedxdyx 求求解解微微分分方方程程例例可分离变量
4、得可分离变量得时时当当,012 ydxeydyx 21 dxeydyx21两边同时积分得两边同时积分得为任意常数为任意常数CCeyx arcsin通解为通解为解解为为原原方方程程的的两两个个奇奇解解时时当当1,012 yy1)1(1122yxyyxdxdy例例4 4 求定解问题求定解问题2211xdxydyCxy两边同时积分2211xyC得通解解解 这是可分离变量的微分方程，分离变量得这是可分离变量的微分方程，分离变量得01122yydyxxdx(1)12yC以代入通解得：22112xy因此满足定解条件的特解为：22221)1)0011x ydxyxdyxdxydyxy解：分离变量得（1222
5、12111ln21xdxydyCxyyCx两边积分0)()(22dyyxydxxxy例例5 5 求微分方程的通解求微分方程的通解122211CyCxCe 于是得到通解为其中为人员常数 00)()1(xtxxxxadtdxm例例6 6 求解求解logistic人口模型人口模型adtdxxxxxmm )(解解 这是可分离变量的初值问题。这是可分离变量的初值问题。分离变量得分离变量得()mmxdxadtxx x两边积分得：1lnln()mxxxatC即：()1matxx teC整理得：1CCe其中为任意常数0000()1(1)atmx txCxex将初值条件代入上式得：0()0()1(1)ma t
6、tmxx txex所以特解为：).(,0)()(7txktxtxtN求求积积成成正正比比，比比例例常常数数和和未未掌掌握握新新技技术术人人数数之之数数化化率率与与已已掌掌握握新新技技术术人人连连续续可可微微变变量量），其其变变视视为为（将将已已掌掌握握新新技技术术的的人人数数为为任任意意时时刻刻，在在该该人人群群的的总总人人数数为为新新技技术术的的人人进进行行的的，设设术术是是通通过过其其中中已已掌掌握握在在某某一一个个群群中中推推广广新新技技例例)()(xNkxtx 00 xxt dtxNkxdx)(kNtkNtCeNCex 100 xNxC 代入初始条件，得代入初始条件，得kNtkNtex
7、xNeNxx000 解解思考题思考题,02cos2cos yxyxdxdy,02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy 为所求通解为所求通解.求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy ky2 为方程解。为方程解。kyCx2,2cos2 2cot2csclnyy,2cos2Cx 也是解，是微分方程的奇解。也是解，是微分方程的奇解。解解)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为的微分方程称为一阶齐次方程一阶齐次方程.,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(x
8、uufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程,0)(时时当当 uuf xdxuufdu)(得得二、齐次齐次微分微分方程方程(可化为分离变量形式)2,1yuxduuxuudx解：令则原方程化为：21(9 18)duxudx即：22101ududxxu当时，分离变量得：2)(1xyxydxdy 例例8 8 求解微分方程求解微分方程arcsinlnuxC两边积分：arcsinln()yuxyxCCx再将：代入上式的原方程通解为：为任意常数1uyxyx 显然为(9-18)的解，即和均为原方程的奇解例例9 9 求解微分方程求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则
9、udxxdudy ,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为微分方程的解为解解2222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例1010 求解微分方程求解微分方程解解,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu .0)()(11通通解解求求方方程程例例 xdyxy
10、gydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则,0)()(xydxduxugydxuf,0)()()(duugdxxuuguf,0)()()(duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为通解为解解.)(122的的通通解解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解解得得得得代代回回,yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为原方程的通解为.)tan(xCxy 思考题思考题方程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程是否为齐次方程?思考题解答思考题解答方
11、程两边同时对方程两边同时对 求导求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程是齐次方程原方程是齐次方程.三三*、可化为齐次的方程、可化为齐次的方程(可删可删)的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 为齐次方程为齐次方程.,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）dYdydXdx ,否则为非齐次方程否则为非齐次方程.)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法解法1.1.定义定义 ,0,0:111ckbhacbkah令令,0)1(11 baba(2)有唯一一组解有唯
12、一一组解(h,k).(1)(2)，代回代回kyYhxX,求通解,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方程可化为方程可化为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb ,0 b若若可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,0,01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.,01时时当当 b,byaxz 令令可分离变量可分离变量.,0)2(求通解,代回z=ax+by112211022abab解：因为,2121zxydzxdxz 令将原方程化为2131zdzxz分
13、离变量得：的通解的通解求微分方程求微分方程1222 yxyxdxdy例例1325ln 3139zzxC两边积分得：15ln 33139zxyyxxyCC将代入上式，得原方程的通解为23其中 为任意常数1122112011abab解：因为0021035023xyxyyxxy 线性方程组的解为的解因此令代入原方程得：的通解的通解求微分方程求微分方程51 xyxydxdy例例14 dd22ln()2arctanC解此齐次微分方程得通解为：222,33ln(2)(3)2arctan2()xyyxyCxC再将代入上式，得原方程的通解为为任意常数.31的通解的通解求求练习练习 yxyxdxdy解解,021
14、111 ,0301khkh方程组方程组,2,1 kh.2,1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu ,11uudXduXu 分离变量、积分得分离变量、积分得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2,1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy 方程变为方程变为)()(xQyxPdxdy ,0)(xQ当当上方程称为上方程称为一阶线性一阶线性齐次方程齐次方程.上方程称为上方程称为一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程.,0)(xQ当当一、一阶线性微分方程的标准形式例如例如,2xydxdy ,sin2ttx
15、dtdx ,32 xyyy,1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.9.2.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy ,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为)1()(dxxPCey1.线性齐次方程线性齐次方程二、一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法使用分离变量法)的的通通解解求求微微分分方方程程例例0121 xyy12)(xxp方方程程这这是是一一阶阶齐齐次次线线性性微微分分解解为为任任意意常常数数其其中中得得通通解解：代代入入通通解解公公式式CxCCeydxx212)1()1().(2ln)2()()(
16、220 xfdttfxfxfx，求求满满足足关关系系式式若若连连续续函函数数例例 2)()(xfxf解：解：yy2 02 yy dxcexfy2)(xce2 2ln)0(f2ln cxexf22ln)(则则2.线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论:设设y=f(x)是解是解,则则,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf 变形变形积分积分,)()()()(ln dxxPdxxfxQxf,)()()()(dxxpdxxfxQeexf非齐方程通解形式非齐方程通解形式).()()()(xQxfxPdxxdf ,)()()(dxxfxQexc记记 dxxpexcxfy
17、)()()(解法解法1 常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.设解为设解为 dxxPexcy)()(,)()()()()(dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和将将yy),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 积分得积分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齐方程通解非齐方程通解解法解法2 一阶线性非齐次微分方程的通解一阶线性非齐次微分方程的通解(公式法公式法):)2()()()(CdxexQeydxxPdxxP dxe
18、xQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。对应齐次方程通解与非齐次方程特解之和。.0)()()(的的解解的的任任意意两两解解之之差差是是证证明明 yxPdxdyxQyxPdxdy的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy .sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例3 3的通解。的通解。求方程求方程0)12(2)1(22 dyxyy
19、dxy)1(21422yyxyydydx 解解)1(22214214cdyeyyexdyyydyyy )ln2()1(1222cyyy 例例4 422xyxyxe解：方法一，公式法原方程变形为：+2的的通通解解求求微微分分方方程程xyxeyexx2222 例例5 5有有代入公式代入公式)2(,2)(,2)(2xxexfxxp )()2()2(222222CxeCxdxeCdxexeeyxxxdxxxdx )()(22为任意常数为任意常数所以原方程的通解为所以原方程的通解为CCxeyx 222()xxxe yxe ye y方法二，凑微分法因为+22xe yx所以原方程变为（）=22222()xx
20、e y xCy exCC两边积分得通解为：=即=（）为任意常数22xyxyxe方法三，常数变易法原方程变形为+20yxy 其相应齐次方程为：+22,xyCeC其通解为：为任意常数代入原方程得代入原方程得为非齐次方程的解，为非齐次方程的解，设设2)(xexCy xexCxeexCxeexCexxxxxx2)(2)(2)(222222 )()(2)(2CxxCxxC )()(22为为任任意意常常数数通通解解为为CCxeyx 的的通通解解求求方方程程0)(3 dyyxydx例例6 6解解 方法一，该方程不是关于方法一，该方程不是关于y y的一阶线性方程，的一阶线性方程，故将其变形为关于故将其变形为关
21、于x x的一阶线性方程的一阶线性方程:2yyxdydx 有有代入公式代入公式)2(,)(,1)(2yyfyyp )(1)1(2)1(Cdyeyexdyydyy )(210)2(0)2()1()(31212121)1(2)1(为为任任意意常常数数CCyyyCyyyCyyCdyyyyCdyeyexdyydyy )(213为为任任意意常常数数通通解解为为CCyyx 方法二，凑微分法，原方程变形为方法二，凑微分法，原方程变形为:ydyyxdyydx 2ydyyxd)(两边积分得两边积分得:Cyydyyx 221)(213为为任任意意常常数数通通解解为为CCyyx 例例7 7 如图所示，平行与如图所示，
22、平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积,求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23,6632 xxCex,0|0 xy由由,6 C得得所求曲线为所求曲线为).22(32xxeyx 23xyy 解解yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycosln
23、cosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 练习练习求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为方程为线性微分方程线性微分方程.方程为方程为非线性微分方程非线性微分方程.四四*、伯努利方程、伯努利方程 时时，当当1,0 n时时，当当1,0 n解法解法:经过变量代换化为线性微分方程经过变量代换化为线性微分方程.,1 nyz 令令),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出
24、通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式代入上式.)1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn),()(1111xQyxPdxdynnn 即即.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以y例例 4 1);22)222xxexyyy 解解22222,2xxxexydxdyxexydxdyy ,2yz 令令,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求
25、通解为).2(222Cxeyx .0)ln1(3的通解的通解练习：求方程练习：求方程 dxxxyyxdy;)(sin1)152xyxyxdxdy 例例解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy ;1)2yxdxdy 解解,uyx 令令,1 dxdudxdy则则代入原式代入原式,11udxdu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或
26、或另解另解 将将x看作看作y的函数，解一阶线性微分方程。的函数，解一阶线性微分方程。.yxdydx 方程变形为方程变形为思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 9.2.3*一阶微分方程解法拓展一阶微分方程解法拓展例如例如,0 ydyxdx),(21),(22yxyxu ,),(ydyxdxyxdu 所以是全微分方程
27、所以是全微分方程.xQyP 全微分方程全微分方程一一、全微分方程、全微分方程1.1.定义定义:0),(),(dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxdu),(),(),(若一阶微分方程若一阶微分方程全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程的左端是某函数的全微分的左端是某函数的全微分2.2.解法解法:0),(),(dyyxQdxyxP应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.xQyP 通解为通解为 yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy ;),(Cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.全微分方程全微分方程y
28、PxQdyyxQdxyxPyxdu ),(),(),(.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解法解法1,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程,yxdyyxdxyxyxu03023)3(),(.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为),4234(4224yyxx 例例1 1.0)3()3(2323的通解的通解求方程求方程 dyyxydxxyx解法解法2,6xQxyyP 是全微分方程是全微分方程,.42344224Cyyxx 原方程的通解为原方程的通解为),2344(2244yxyxd 例例1 1dyyxydxxyx)3()3(2323 ydy
29、xdxxydyydxx223333 .0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合)32(14232dyyxdxyxdyy )()1(32yxdyd .132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为),1(32yxyd 例例2解法解法1.0324223的通解的通解求方程求方程 dyyxydxyx,64xQyxyP 是全微分方程是全微分方程,.132Cyxy 原方程的通解为原方程的通解为例例2dxyxdyyyxuxy 031221),(y11 32yx 解法解法20 ydxxdyyP xQ yPxQ 0)(12
30、 ydxxdyx0)()(12 xydydxxdyx二、积分因子法二、积分因子法定义定义:0),(yx 连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程 0),(),(),(),(dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程.则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子.问题问题:如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?1.1.观察法观察法:凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到),(yx 常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xydyxydxxdyarctan22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx
31、 yxyxdyxydxxdyln2122dydxdydxyx )()1(求求通通解解：各各方方程程的的积积分分因因子子，并并：利利用用观观察察法法求求出出下下列列例例30)1)()2(22 dyyxyydxxdy解：解：)(1)(1)1(dydxyxdydxyxyx 0)(1)(yxdyxyxd0)ln(yxyxdcyxyx )ln(0)1)()1(1)2(2222 dyyxyydxxdyyyx01122 dyyyxydxxdy0)1ln()1(ydxyd)(1xQyPQ 可选用的积分因子有可选用的积分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解的
32、通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解解xx )(观观察察知知例例 4则原方程为则原方程为,0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(332xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd ,0 原方程的通解为原方程的通解为.)(2123Cxyyx 可积组合法可积组合法2.2.公式法公式法:,)()(xQyP xQxQyPyP ，两边同除两边同除 xQyPyPxQ lnln偏微分方程求解不容易偏微分方程求解不容易特殊地特殊地:;.有关时有关时只与只与当当xa,0 y,dxdx )(1lnxQyPQdxd )(xf.)()(dxxfex;.有关时有关时只与只与当当yb,0
33、 x,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg.)()(dyygey.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有,01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知,01)ln2(22 dyyydyyxydxx则则.0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解为原方程的通解为.)1(31ln2322Cyyx 可积组合法可积组合法例例5 求微分方程求微分方程)(1yPxQP 三、一阶微分方程小结三、一阶微分方程小结分离变量法分离变量法常数变易法常数变易法全微分方程全微分方程一阶微分方程一阶微分方程.
34、132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy 解解1整理得整理得,112xyxdxdy A A 公式法公式法:.4343Cxxxyy 通解为通解为,11211Cdxexeydxxdxx 练习练习1.解解2 2整理得整理得,0)1()(32 dyxdxyxx,1xQyP .是全微分方程是全微分方程B B 用曲线积分法用曲线积分法:,)1()(),(0032 yxdyxdxxxyxuC C 凑微分法凑微分法:,0)(32 dxxdxxydxxdydy，043)(43 xdxdxyddy.0)43(43 xxxyyd.132的通解的通解求微分方程求微分方程xyxxdxdy D D 不定积分
35、法不定积分法:,32yxxxu dxyxx)(32),(4343yCxyxx ),(yCxyu ,1xyu 又又,1)(xyCx ,1)(yC,)(yyC 原方程的通解为原方程的通解为.4343Cxxxyy .0)1(222的通解的通解 dyyxdxyxx解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有2.求微分方程求微分方程,02222 dyyxdxyxxxdx,0)()(2222 dyyxxdyxxd,0)()(222 yxdyxxd原方程的通解为原方程的通解为.)(322322Cyxx 3、已知、已知 f(0)=1/2,试确定试确定)(xf,使使0)()(dyxfydxxfex为全微分方程
36、为全微分方程,并求此全微分方程的通解并求此全微分方程的通解.yxfePx)(解：解：)(xfQ 是是全全微微分分方方程程yPxQ xexfxf )()()(1dxeecexfdxxdx dxeecexxx xcex 21xex 0)21()2(:dyxeydxxeeexxxx微分方程变为微分方程变为02121)(dyeydxexdyeydxxeydxexxxxx02121)(dyeydxexdyeydxxeydxexxxxx0)21()(yedxyedxx为方程的解。为方程的解。cyexyexx 21.04)(222 yy求求解解微微分分方方程程：例例 yyyy22解：解：xdxxdxceceycecey2222.,22xxceycey 方程通解为方程通解为*一阶隐式方程一阶隐式方程0),(yyxF;0)()(1222 xyyyxyxy求求解解微微分分方方程程：例例 xyyyyx解：解：cxycxceydxx221.,22cxycxy 方方程程通通解解为为
