1、二二、函数函数 f(x)在在 0,上展开为正弦级数与余弦级数上展开为正弦级数与余弦级数第七节第七节 周期为周期为T T的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数第十一章第十一章 无穷级数无穷级数三三、函数函数 f(x)在在 0,T/2 上展开为正弦级数与余弦级数上展开为正弦级数与余弦级数一一、周期为周期为T T的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数一一、周期为周期为T T的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数令令tTx2，那么，那么)()()(ttTfxf2是以是以2为周期的函数，为周期的函数，从而，从而)(t它可展开为傅里叶级数它可展开为傅里叶级数 .)sincos()(ntbntaatnnn102
2、是以是以T为周期的函数，在为周期的函数，在-T/2,T/2上满上满足收敛定理时，则足收敛定理时，则)(xf若若也可以展开为傅里叶级数。也可以展开为傅里叶级数。)(xf其中其中,),2,1(sin)(,),2,10(cos)(3dt1dt1nnttbnnttann 代入心上各式，并利用代入心上各式，并利用 再将再将xTt2)()(txf可得可得 .)sincos()(xTnbxTnaaxfnnn22210其中其中,),2,1(sin)(,),2,10(cos)(3d22d22nxxTnxfbnxxTnxfann 将函数将函数 f(x)=x2-1(-1 x 1)展开为周展开为周例例 1解解 周期为
3、周期为 2 的傅里叶级数。的傅里叶级数。函数函数 f(x)=x2-1在在-1,1上满足收敛定理的条件上满足收敛定理的条件,且处处连续且处处连续,则则.)(cos)(32x1x2xxTn2xf2a20 dd112d1d222xxnxxxTnxfancos)(cos)(102d12xxnxcos)(1033222222sincossinxnnxxnnxxnnx xxTnxfbnd222cos)().,(sin)(3210d1112nxxnx所以所以12 xxf)(的傅里叶级数为的傅里叶级数为)coscoscos()(xxxxf331221114312222)(11x).,()(3214122nnn
4、 (x)称为称为f(x)的周期延拓函数的周期延拓函数.且以且以 2 为为周期的函数，周期的函数，如果如果 (x)满足收敛定理的条件，满足收敛定理的条件，我们设想有一我们设想有一个函数个函数 (x)，设函数设函数 f(x)定义在定义在 0,上，上，它是定义在它是定义在()上上而在而在 0,上，上，(x)=f(x).那么那么 (x)在在()上就可展开为傅里叶级数，上就可展开为傅里叶级数，取其取其 0,上一段，上一段，即为即为 f(x)在在 0,上的傅里叶级数，上的傅里叶级数，二二、函数函数 f(x)在在 0,上展开上展开 为正弦级数与余弦级数为正弦级数与余弦级数在理论上或实际工作中，在理论上或实际
5、工作中，下面的周期延拓是下面的周期延拓是最为常用最为常用:将将 f(x)先延拓到先延拓到(,0)，使延拓后使延拓后的函数成为奇函数的函数成为奇函数，然后再延拓为以然后再延拓为以 2 为周期为周期的函数的函数.这种延拓称为周期奇延拓这种延拓称为周期奇延拓;yx3 2 2 O周期奇延拓周期奇延拓 这种延拓称为这种延拓称为周期偶延拓周期偶延拓.将将 f(x)先延拓到先延拓到(,0)，使延拓后的函数为偶函数，使延拓后的函数为偶函数，然后再延拓为以然后再延拓为以 2 为周期的函数，为周期的函数，周期偶延拓周期偶延拓yx3 2 2 O显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，其傅
6、其傅里叶系数按公式里叶系数按公式(12.6.5)计算计算.即即.),(2100nan),2,1(dsin)(2dsin)(200 nxnxxfxnxxbn)7.6.12(因在因在 0,上，上，(x)=f(x).周期偶延拓的结果为余弦级数，周期偶延拓的结果为余弦级数，其傅里叶系其傅里叶系数公式为数公式为 ),2,1(0n bn)1,2,(dcos)(2 dcos)(200 nxnxxfxnxxan)8.6.12(例例 2试将试将 ,024)(2在区间在区间函数函数xxxf 上展开成余弦级数上展开成余弦级数解解按式按式(12.6.8)计算傅里叶级数，计算傅里叶级数，02d)cos4(2xnx xx
7、an 02sin)4(2nxxxn 02cos)2(2nx xn.),3,2,1(1sin1203 nnnxn.3)d4(22020 xxxa ,0()(上连续上连续在在由于由于xf 且延拓的函数在且延拓的函数在 x=0，处连续，处连续，因此因此 3cos912cos41cos6422 xxxxx(0 x ).展开成正弦级数展开成正弦级数.例例 3 试将函数试将函数 ,)(xxf0 x 2,2 xx 2 解解 按公式按公式(12.6.7)dsin)(20 xnxxfbn dsin)(220 xnxxf dsin)(22 xnxxf dsin 220 xnxx dsin)2(22 xnxx ds
8、in 20 xnxx dsin 2 xnx)dcos1cos(200 xnxnnxnx 2cos1nxn)2cos)1(11 nnn当当 x=时，时，收敛于收敛于 0.y 2 xo2 2 所以所以 xxxxf4sin213sin31sin)(,),2()20,x,4,2 收敛于收敛于时时当当 x 将将f(x)在在0,l 上展开上展开为正弦级数与余弦级数为正弦级数与余弦级数,这样我们仍然要进行周期奇这样我们仍然要进行周期奇(偶偶)延拓延拓,将将 f(x)先延拓到先延拓到-l ,0 ,使延拓后的函数成为奇使延拓后的函数成为奇函数函数(偶函数偶函数);然后再自拔为以然后再自拔为以2l 为周期的函数。
9、为周期的函数。设函数设函数 f(x)定义在定义在 0,l 上，上，三三、函数函数 f(x)在在 0,l 上展开上展开 为正弦级数与余弦级数为正弦级数与余弦级数 周期奇周期奇(偶偶)延拓后的函数的傅里叶级数为正弦级数，延拓后的函数的傅里叶级数为正弦级数，其傅里叶系数为其傅里叶系数为.),(2100nan),(sin)(21d20nxxlnxflbln 周期奇周期奇(偶偶)延拓后的函数的傅里叶级数为正弦级数，延拓后的函数的傅里叶级数为正弦级数，其傅里叶系数为其傅里叶系数为.),(3210nbn),(cos)(210d20nxxlnxflaln例例 3试将函数试将函数 )(021201aaxaaxxf展开为余弦级数。展开为余弦级数。0nb解解.a2a2aaxxaxxfaa01)d(-1)d2)d(2000axaxnxfaa0nd)cos(2a2a2axaxnxaxnad1)cos(d(-1)cos20.),(sin32121sin1sin1220nnnaxnnaxnnaaa 所以所以,44447531aaaa于是有于是有)coscos(cos)(axaxaxxf51314 )(20aax 当当 ax 时，傅叶级数收敛于时，傅叶级数收敛于0110202 )()(afaf
