1、0),(yxF设设二二元元方方程程一、隐函数求导法一、隐函数求导法可可确确定定隐隐函函数数例例如如0),(:222RyxyxF.)(dxdyxfy，求求函函数数确确定定了了唯唯一一的的单单值值可可导导.0,;,0,2222RyRRxxRyRyRRxxRy，和和，.)(.0),(的的显显式式表表达达式式以以解解出出可可证证隐隐函函数数存存在在，但但难难，但但xyyxyeeixyeyxFyy求求导导，得得两两边边关关于于为为复复合合函函数数，在在恒恒等等式式视视等等式式确确定定的的隐隐函函数数，故故有有恒恒是是方方程程解解法法一一：因因xxyrxyxryxxyy)(.)()(2222222,0)(
2、)(22xyxyx即.0),(:的的函函数数）是是数数的的导导数数（注注意意求求导导数数，即即可可得得隐隐函函方方程程两两端端关关于于的的求求导导法法，对对恒恒等等式式或或用用复复合合函函数数确确定定的的隐隐函函数数，只只需需应应对对于于由由方方程程方方法法xyxyxFI.)()(yxxyxxyy.)(.1222dxdyryxxy确确定定的的隐隐函函数数，求求是是由由方方程程设设例例),()(222rdyxd即.yxdxdyy.0),(.:可可得得隐隐函函数数的的导导数数，由由两两边边对对各各个个变变元元求求微微分分在在方方程程数数的的导导数数利利用用微微分分运运算算来来求求隐隐函函方方法法d
3、xdyyyxFII从而对对方方程程两两边边求求微微分分，得得解解法法二二：.22yxxaxdxdyy，于于是是解解得得由由方方程程解解法法三三：22222xayayx,022ydyxdx.)(yxyexyy确确定定的的隐隐函函数数，求求是是方方程程若若，方方程程两两边边求求微微分分，得得xdyydxdyey)2(.)1(yxydxdyy求求导导，两两边边对对方方程程两两边边取取对对数数，有有xyxylnln)3(得.)1(,11yxyyyyxy即即得得.化化计计算算求求导导法法，以以简简数数，常常借借助助于于对对数数函函数数式式组组成成的的函函数数和和幂幂指指函函的的积积、商商或或根根，对对方
4、方程程中中由由若若干干因因式式注注：在在隐隐函函数数求求导导法法中中，求求导导，得得方方程程两两边边关关于于yxyyexy)1(.)1(yxyxeyyy即即例2.解：解：例3.相相切切的的直直线线方方程程。并并与与双双曲曲线线求求垂垂直直于于直直线线1720342:22yxyxl.221kkl，所所求求切切线线的的斜斜率率由由已已知知.2707222yxykyyx，即即导导法法，有有，则则由由隐隐函函数数求求的的切切线线斜斜率率为为设设双双曲曲线线上上一一点点kyx),(解：解：.47227yxyx，即即，的的切切线线与与已已知知直直线线垂垂直直和和即即双双曲曲线线上上有有两两点点和和，得得两
5、两点点解解方方程程组组)7,4()7,4().7,4()7,4(4717222yxyx相相切切，故故时时，双双曲曲线线与与所所求求直直线线当当2k则则所所求求直直线线方方程程为为.072072.,.xyxyei与与)4(27)4(27xyxy与与二、参数方程所表示函数的求导法二、参数方程所表示函数的求导法),(),(tytx.,为参数t存在存在又又都可导，且都可导，且与与若若)(.0)()()(txttytx平面曲线参数方程的一般形式平面曲线参数方程的一般形式).()(1xtty，即即的的复复合合函函数数为为，则则反反函函数数)()(11xyxyxt求求导导法法则则，有有由由复复合合函函数数与
6、与反反函函数数的的.)()()(ttytx参参数数式式表表示示.)()(0000ttdxdyttt给定时，则给定时，则当当.)()()()(1dtdxdtdyttxtdxdtdtdydxdy函函数数的的函函数数的的求求导导法法，从从而而导导这这即即是是参参数数方方程程所所表表示示.,12222constbabyax，,20sincos），（byax.sincos)()(ctgababxydxdy例4.则.),0(02处处有有水水平平切切线线，椭椭圆圆在在由由于于bdxdy.)1(22yaxby隐隐函函数数求求导导法法，解：解：椭椭圆圆的的参参数数方方程程)2(为常数）为常数），（，（曲线曲线证
7、明：证明：ataytx33sincos)1(例5.数数标轴之间的线段长为常标轴之间的线段长为常上任一点的切线在两坐上任一点的切线在两坐，证明：证明：tYtaXtdxdysincostan.32323222），（，（ayXaYXd，法法线线方方程程：，证证明明：ttkttdxdysincoscossin)cos(sin)sin(cos)2(constatttaytttax，（曲曲线线.a的距离等于的距离等于上任一点的法线到原点上任一点的法线到原点).sin(cos(sincos)cos(sintttaxtttttay.0cossin.,.0adatxtyei，故，故例6.P156，例5.为为则则
8、此此时时水水的的体体积积，时时刻刻容容器器中中水水高高为为解解：设设Vtyt)(y(t)hrR函数的导数是函数的变化率函数的导数是函数的变化率应用导数解决实际问题应用导数解决实际问题.)1(1 3132hyhRV代代入入上上式式得得：),(313122yhrhRV).1(hyRrhyhRr即即，又又,)(222yhRAhdtdy,1)1(33122dtdyhhyhRA,21时时当当hy 即.42RAdtdy求求导导，得得上上式式两两边边关关于于的的关关系系与与时时间间这这就就是是水水的的高高度度，故故而而ttyhyhRAtVAt.)1(1 3132隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链用链式求导法求解式求导法求解.五、小结五、小结
