1、习题课 四 2aoyxb)(xfy xdxx3.)(1)(2 2dxxfxfAba 故故.)(1)(2 2dxxfxfAba 一般地一般地aoyxb)(xfy xdxx4xyoRR22,xyRx 22222211,xRyRxRx 2222222 4.RRRRRRxdxRdxRRx 5xyoaa 2211222121aaaaAyy dxyy dx028arcsin4.axababa6填空题填空题231 e11xy ln xey )1(xyo.23)1(10 dyeyeSy72解：解：dtttdx212 ，dtttdy212 ，,22)()(22tdtdydxdS .2 22 1010 tdtdS
2、S83 3.双双纽纽线线22222)(yxyx 所所围围成成的的区区域域面面积积 可可用用定定积积分分表表示示为为（）（A A）402cos2d；（B B）402cos4d；（C C）402cos2d；（D D）420)2(cos21d A9解答题解答题1032)311()384()31(2132 xx。dxxxS 2121)2(xxy22 xyo131)3,3(1S2S232233222)31()2(xxdxxxS 34)438()99(。221 SSS。11 平平面面图图形形1S绕绕 y 轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体体体积积 dyyydyyV)122()11(012011 xx
3、y22 xyo131)3,3(1S2S2平平面面图图形形2S绕绕 y 轴轴旋旋转转一一周周 所所得得旋旋转转体体体体积积 dyyV2302)11(27 dyyy)122(2730 故故所所求求旋旋转转体体的的体体积积 964361121VVV。12另另解解：（薄薄壳壳法法）dxxxxdxxxxdxxfxV 32221231)2(2)2(2)(2dxxxdxxx 32232132)2(2)2(23342432132424322xxxx .9)316416()354481(2 )4132()416316(2 xxy22 xyo131)3,3(1S2S2131 xyxyo1214则则切切线线方方程程
4、为为xy21。体积体积 212)1(2131dxxV.6232)1(232221 x表面积表面积dxxxS221)121(11251 223211)34(615345 xdxx)1511(6)155(65 。1 xyxyo12)1,2(xy1o22 x1解法解法 1：由方程：由方程22211 1)1(yxyx 得得。dyyV 10221)11(2dyyy 1022212)2(12102102dyydyy .352)312(22 dyxV 1022)2(.37)81(3)2(31130 x.322373522221 VVV解法解法 2：dxxxxxV 102)2)(2(2)2(2)2(21021
5、02dxxxdxxxx 32)1(1)2(2102 dxxx321)1(2 1012 dttttx令令321)1(2102 dttt32112102102 dtttdtt32)1(3142120 t.3223231422 181A2Axoy)(xfy ab 19证明证明：先证存在性先证存在性。设辅助函数设辅助函数)(3)()(21xAxAxF ，则，则,)(baCxF。bxxadtxftfdttfxfxF)()(3)()()(，dtaftfaFba)()(3)(，dttfbfbFba)()()(，在在),(ba上上0)(xf，在在,ba上上)(xf严严格格单单增增，),(bax ，有有)()(
6、)(bfxfaf ，由零点定理知，由零点定理知，),(ba ，使，使0)(F，即，即 3)()(21 AA。0)(aF，0)(bF，20下面证唯一性下面证唯一性，内内可可导导在在),()(baxf，内内可可导导在在),()(baxF。bxxadtxftfdttfxfxF)()(3)()()()()(3)()(xbxfdttfdttfaxxfbxxa )()()()(xfxfaxxfxF )()()(3xfxbxfxf 0)(3)(xbxfaxxf)(xF在在),(ba内内严严格格单单增增，从从而而必必唯唯一一 。212223()2()fxf xx 所所以以ln|()|2ln|f xxC 2()
7、,f xCx 化化简简得得 1222018()5CxVxCxdx 33111813553CCC 则则有有21()3f xx 故故 。24212()2()1byVxf x dxb f b 解解：2 2()2 2()()bbf bbf bb fb 对对 求求导导得得：()1 ()+()=0()fbf bbfbf bb 即即 ln|()|ln|,f bbC (),Cf bb 变变形形为为1,11,C 因因为为过过()点点，于于是是1()f xx 25计算下列广义积分计算下列广义积分 1.1.22)7(xxdx 2.2.dxxx 12arctan 3.10221)2(xxxdx 261.1.22)7(
8、xxdx.33arctan3292020 ttdt.2ln214 dttt 242csc)cot(24tdt tdtttcot cot2424 1)(arctan1arctan11xdxxx 1222)1()(214xxxd.2ln2141ln214122 xx273.10221)2(xxxdx 解解：1 x是是瑕瑕点点，令令tx sin，则则 2222102200sin2sincos)sin2(cossin1)2(ttdttttdttxxxdx4)40()arctan(coscos1)(cos20220 tttd。1102lim arcsin(21),2x 1111202221()2lim1
9、1()()42d xdxxxx 332221102lim11()()24dxdxxxx 32210111lim ln()224xx ln(23)2930100lim(1)ln(ln(1)|xx 0lim(1)ln1ln 311.1.如图，如图，x 轴上有一线密度为轴上有一线密度为 常数常数，长度为，长度为 L 的细杆，的细杆，有一质量为有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为的质点到杆右端的距离为 a，已知引力，已知引力 系数为系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（，则质点和细杆之间引力的大小为（）（A A）02)(Lxadxkm；（B B）Lxadxkm02)(；（C C）022)(2Lx
10、adxkm；（；（D D）202)(2Lxadxkm。L oxma定积分的物理应用：定积分的物理应用：A2)(xadxkmdF xdxx L oxma33ORyxxdxx C443gR 由于球的比重与水相由于球的比重与水相 同，因此这部分的球由同，因此这部分的球由 x 处提到水面不作功。处提到水面不作功。解解法法 1：如如图图建建立立坐坐标标系系 3半径为半径为R的球沉入水中，它与水面相切，球的密度的球沉入水中，它与水面相切，球的密度 与水相同，现将球从水中取出，问需要做多少功？与水相同，现将球从水中取出，问需要做多少功？图图中中圆圆的的方方程程为为222)(RyRx ，下面研究厚度为下面研究厚度为 dx 部分的球所作的功部分的球所作的功dW。yxoxdxx R2 故故 422034)2()2(RdxxRxxRR。而将球从水中取出，这部分球将向上提起而将球从水中取出，这部分球将向上提起xR 2，克服重力作功，从而克服重力作功，从而 )2(2xRdxydW dxRxRxR)()2(22 dxxRxxR)2)(2(2 yxoxdxx R2xR 2积积分分区区间间为为,RR，则则圆圆的的方方程程为为222Ryx ，解解法法 2：如如图图建建立立坐坐标标系系，yxoxdxx R2RR xR,)()(222dxxRxRxRdxydW .34)(422 RdxxRxRWRR
