1、第三节第三节 三重积分的计算方法三重积分的计算方法三重积分也记为三重积分也记为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .三重积分的计算三重积分的计算:直角坐标、柱面坐标、球面坐标直角坐标、柱面坐标、球面坐标思路：思路：化三重积分为三次积分化三重积分为三次积分关键：关键：三个变量的范围如何确定三个变量的范围如何确定先一后二先一后二 先二后一先二后一一、直角坐标下三重积分的计算一、直角坐标下三重积分的计算1、xy型、型、yz型、型、xz型区域型区域zS 平平行行于于轴轴且且穿穿过过闭闭区区域域内内部部的的直直线线与与闭闭区区域域的的边边界界曲曲面面相相交交不不多多于于两两点
2、点情情形形xy型区域：型区域：xyzo D),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S类似可得类似可得yz型、型、xz型区域型区域定义定义xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz2 2、三重积分的计算、三重积分的计算(1)(1)坐标面投影法坐标面投影法(以以xyxy型为例）型为例）则则的函数，的函数，只看作只看作看作定值，将看作定值，将先
3、将先将zzyxfyx),(,),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF(,)F x yD计计算算在在闭闭区区域域上上的的二二重重积积分分.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF 则有：则有：(,)f x y z dv 2211()(,)()(,)(,).byxzx yayxzx ydxdyf x y z dz 21(,)(,)(,).zx yzx yDf x y z dz d 12:()(),D y xyyxaxb 若若则则叠叠积积分分化化为为三三次次积积分分21(,)(,)(,)zx yzx yDdxdyf x y z dz（叠积分）（叠积分）物
4、理解释：物理解释：坐标面投影法求三重积分坐标面投影法求三重积分 相当于相当于 把体密度为把体密度为),(zyxf 的空间物体的质量压缩成面密度为的空间物体的质量压缩成面密度为),(),(21),(yxzyxzdzzyxf的平面薄片来求的平面薄片来求.(,)f x y z dv 21(,)(,)(,)zx yzx yDdxdyf x y z dz 计算步骤：计算步骤：(1)(1)画出图（画出图（(2)(2)定限定限(投影穿刺法：投影穿刺法：投影找区域，穿刺找高度投影找区域，穿刺找高度)；(3)(3)表为三次积分并计算表为三次积分并计算.或区域或区域D D）；）；0,0,0,1 1(,)xyzzx
5、yxyf x y z dv 设设 由由和和围围成成，将将表表为为三三次次积积分分。例例、例例 2 2、化化三三重重积积分分 dxdydzzyxfI),(为为三三次次积积分分，其其中中积积分分区区域域 为为由由曲曲面面222yxz 及及22xz 所所围围成成的的闭闭区区域域.解：解：由由 22222xzyxz,得得交交线线投投影影区区域域,122 yx故故 ：22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI练练习习、计计算算三三重重积积分分xdxdydz ，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域
6、.xozy111截截面面法法的的一一般般步步骤骤：(1 1)把把积积分分区区域域 向向某某轴轴（例例如如 z 轴轴）投投影影，得得投投影影区区间间,21cc；(2 2)对对,21ccz 用用过过z轴轴且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截，得得截截面面zD;(3)(3)计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),(其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z(2)(2)坐标轴投影法坐标轴投影法 （截面法）（截面法）(,)f x y z dv 21(,)zccDf x y z dxdy dz
7、21(,)zccDdzf x y z dxdy 故有故有 (,)f x y z dv 21(,)zccDdzf x y z dxdy 物理解释：物理解释：坐标坐标轴轴投影法求三重积分投影法求三重积分 相当于相当于 把体密度为把体密度为),(zyxf 的空间物体的质量压缩成线密度为的空间物体的质量压缩成线密度为 zD),(dxdyzyxf的直线段来求的直线段来求.例例 3 3、计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由椭球是由椭球 面面1222222 czbyax所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域.:,|),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccd
8、xdydzz xyzozD解：解：)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc|),(yxDz 1222222czbyax 原式原式练习、练习、计算三重积分计算三重积分 zdxdydz，其中，其中 为三个坐为三个坐标面及平面标面及平面1 zyx所围成的闭区域所围成的闭区域.解解(二二)：zdxdydz,10 zDdxdyzdz 0 ,0 ,1|),(yxzyxyxDz)1)(1(21zzdxdyzD 原式原式 102)1(21dzzz241.xozy111三重积分的定义和计算：三重积分的定义和计算：三、小结三、小结(,)
9、f x y z dv 21(,)(,)(,).zx yzx yDf x y z dz d 21(,)zccDf x y z dxdy dz (坐标面投影法坐标面投影法)(坐标轴投影法或截面法）坐标轴投影法或截面法）思考题：思考题：为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连连续续，则则累累次次积积分分_ dvzyxf),(.;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD
