1、第6章 多变量系统的频域设计方法用于解决单输入单输出控制系统的分析和设计是卓用于解决单输入单输出控制系统的分析和设计是卓有成效的，具有清晰明确的物理概念。它们不仅能定性地指导设计的有成效的，具有清晰明确的物理概念。它们不仅能定性地指导设计的方向，而且设计过程有着十分直观的物理意义解释，计算与作图都很方向，而且设计过程有着十分直观的物理意义解释，计算与作图都很简单易行。简单易行。(1)基于被控对象精确的状态空间模型描述基于被控对象精确的状态空间模型描述(2)高阶系统由状态空间方法得到的控制方案往往过于复杂，难以高阶系统由状态空间方法得到的控制方案往往过于复杂，难以为工业应用所接受。为工业应用所接
2、受。(3)对系统设计问题的提法往往较为间接和过于抽象，控制目标对系统设计问题的提法往往较为间接和过于抽象，控制目标缺乏明确的物理依据。缺乏明确的物理依据。()()()sssyGu多变量系统的关联性多变量系统的关联性(Interaction)，是多变量系统所特有的一种效，是多变量系统所特有的一种效应，应，G(s)的非对角线元素的非对角线元素gij(s)(ij)的存在即反映了这种关联性。当的存在即反映了这种关联性。当G(s)为对角阵时，称为无关联系统，或者称为解耦系统为对角阵时，称为无关联系统，或者称为解耦系统decoupled system)。121()211sssssG101()10dsssG
3、1()()()()()()mssssssHIGKFGK()ms FI()()()sssQGK1()()()()()msssssIQHIQIQQ1()()()sssQIHH消除闭环系统关联，消除闭环系统关联，H(s)为对角阵，则为对角阵，则必须且只须使开环传递函数矩阵解耦。必须且只须使开环传递函数矩阵解耦。()()(1)isdiag h simH1()()()()ssssGKIHH1()()()1()iih sss diagh sKG实际上，除了某些特殊的场合外，理论上得出的控制器实际上，除了某些特殊的场合外，理论上得出的控制器K(s)通常十通常十分复杂，甚至于物理上不能实现。例如如下的被控对象
4、；分复杂，甚至于物理上不能实现。例如如下的被控对象；1215()1112sssssG101()1051sssH52(1)(2)1(1)(51)()(2)(5)(2)(5)(1)(1)(1)(51)ssssssssssss sssK多变量系统的频域设计方法中，一般都不要求完全消除系统的关多变量系统的频域设计方法中，一般都不要求完全消除系统的关联，而是采用将闭环系统的关联性减小到可以接受的程度的做法，以联，而是采用将闭环系统的关联性减小到可以接受的程度的做法，以此来换取控制器的简单结构。此来换取控制器的简单结构。反馈矩阵反馈矩阵F(s)取为实对角阵，而控制器取为实对角阵，而控制器K(s)是是分成两
5、部分来设计的：分成两部分来设计的：()()()pcsssKKK()()()psssQKG1()()(1)()mijjj iiiiqsD simqs1()()(1)()mjijj iiiiqsD simqs则当则当Di(s)1时时,为行对角优势阵为行对角优势阵则当则当Di(s)1时时,为列对角优势阵为列对角优势阵()ms FI()()()sssQGK()()()()iss diag q ssQWV1()()()()()()mssssssHIGKFGK1()()()()()()miis diag q sss diag q ssIWVWV()()()1()iiq ss diagsq sWV()1()
6、1iq sH jlim()0()1issq sQ()()ssHQ()ms WI()s H近似为对角阵1(),()cos()iiiiw jejw j12()()()mq sq sqs中频段中频段()()imsq sQI系统也将达到近似解耦，系统也将达到近似解耦，“增益平衡原则增益平衡原则”，通过设计控制器，通过设计控制器K(s)使开环系统使开环系统Q(s)的的m个特征值大致平衡。个特征值大致平衡。()()()()iss diag q ssQWV稳定性是控制系统最为基本的一项性能要求。设计时必须首先保证稳定性是控制系统最为基本的一项性能要求。设计时必须首先保证系统的稳定性，然后再考虑其它各项性能指
7、标。通常我们不仅要求闭环系统的稳定性，然后再考虑其它各项性能指标。通常我们不仅要求闭环系统稳定而且还要求它具有充分的稳定裕度。系统稳定而且还要求它具有充分的稳定裕度。对于多变量控制系统来说，总是要求闭环系统具有弱关联性。在对于多变量控制系统来说，总是要求闭环系统具有弱关联性。在系统设计时往往需要综合考虑开环与闭环的关联性，针对具体的问题系统设计时往往需要综合考虑开环与闭环的关联性，针对具体的问题选择最简单有效的方法来减小闭环系统的关联性。选择最简单有效的方法来减小闭环系统的关联性。整体性指闭环系统当其中某些部件发生了故障，致使若干回路断开整体性指闭环系统当其中某些部件发生了故障，致使若干回路断
8、开时仍保持稳定性的一种性能。时仍保持稳定性的一种性能。对于多变量反馈系统，可能涉及的部件故障主要包括：对于多变量反馈系统，可能涉及的部件故障主要包括：。()()()sssyHr1()(1)isimsre1()()isssyHe11()()(1,)0iiiiy th sim jisyL Llim()()sstsssery1()(1)isimsre1lim()mitsssIHe(0)miIHe系统稳态误差为零的充分必要条件是系统稳态误差为零的充分必要条件是H(0)Im，或等价地，或等价地，H-1(0)Im 1()()()()()()mssssssHIGKFGK()s FI111()()()msss
9、HIKG111(0)(0)(0)mHIKG稳态误差为零的充分必要条件是稳态误差为零的充分必要条件是K-1(0)0，亦即控制器，亦即控制器K(s)中包中包含积分环节。含积分环节。第二节 增益空间()()()sssQGK12,mdiag fffF为了具体考察反馈增益对稳定性的影响，我们可以把反馈矩阵中包含为了具体考察反馈增益对稳定性的影响，我们可以把反馈矩阵中包含的的m个反馈增益视为个反馈增益视为m维实数空间中的一个点，这个维实数空间中的一个点，这个m维空间即称为维空间即称为“增增益空间益空间”(gain space)。完全解耦系统的增益空间关联系统的增益空间关联系统的增益空间(举例1)1213(
10、)1111sssssQ321212121212()(5)(744)(333)cssffsfff fsfff f1222222211()()()(4)(3)242143(4)(3)cssssfsfsssssf sfHQIFQ关联系统的增益空间(举例2)21511()11(1)sssssQ第三节 INA设计方法12,mdiag fffF()()()pcsssKKK()()()psssQKG()1,(1)icksdiagimsKINA设计方法基本原理对角优势化预补偿器的设计10.541()321sssG2120()1121ssssG32141()131ssssG(A)不是对角阵，通过行互换不是对角阵
11、，通过行互换01()10psK1321()=()()0.541psss G ssQK对角优势化(续)101()()10ppssKK(B)不是对角阵不是对角阵2120()1121ssssG101()10psK12011201121()()()101121120psssssssssQKG2221-11121101()()()=01120120psssssssSQKQ211-10111()()()=011010pppsssKKK对角优势化(续)101()()11ppssKK32141()131ssssG(C)1222()41()31gssgss 34121411()()()3113101psssss
12、sssQKG(61)03+1131ssss4141(1)313ss1101pK对角优势化(续)332()()031psssssQK G11()01psK()()()pjjjQKG()()jQN 实对角阵(0)(0)PLLQKGN(0)PLLKGN(0)PLKG对角优势化(续)()lim()ss GG0矩阵逆是不存在的矩阵逆是不存在的1211()()(),(),()()()msssssd sd sGPppp121212()()()()(),()()mmrrmrrrrsd ssssssd sssssd s 0pppG0对角优势化(续)()lim()()irCssssdiagd s GGPPHCKP
13、()()()irPHssdiagd s QKG1PPHPLsKKK()()PMMjjQKGN()PMMjKGNHawkins准对角优势化算法12()(),(),()mjjjjGggg12TTPTmkkKk1111()()()()()()TTmpTTmmmjjjjjjk gk gQK Gk gk g1()()mTTiiillijjjk gk g第第i行为对角优势：行为对角优势：Hawkins准对角优势化算法(续)21min()1imTiilll iTiijkk gk k()(1)llljjlmg2211()()mmTTililllll il ijjk gk()TTTillllik k1()mTT
14、Tiillllill ik kTiiik A k1mTTillllll iA 正半定实对称阵正半定实对称阵Hawkins准对角优势化算法(续)(1)TiiiiJk k(1)TTiiiiik A kk k220iiiiiJkA kkiiiA kkTiiiik A kTiiikkHawkins准对角优势化算法(举例)容易看出容易看出G(s)不是对角优势阵不是对角优势阵Hawkins准对角优势化算法(举例)Hawkins准对角优势化算法(举例)Hawkins准对角优势化算法改进211min()1iNmTirilrrll iTiiCj kk gk k()rrlrlljjg11()()NmrrTrrTi
15、rllllrll iCB iiiB kk21min()1imTiilll iTiijkk gk kHawkins准对角优势化算法改进(续)21min()()()1(1)imTiilll iTiiiijjjimkk gqk g2(1()TiiiiJg j k1()(1()mTTTTTTilllliiiiiiill ik kk k(1)TTiiiiiik A kk E k220iiiiiiJkA kE kiiiiA kE kTTiiiiiE Hawkins准对角优势化算法改进(续)iiiiA kE kiiiiiiiiA kE kE kE k()(1)iiiiiAE kE k1(1)()iiiiik
16、AEE k11()(1)iiiiiAEE kk111()iiiiNAEEiiiN kkTTiiiiiiik A kk E k（9-77）Johnson准对角优势化算法改进Re(),Im()jjWGG1212,mm ，12122,immmmVv vvvvv10,(1)01ii mim vv00,(1,)00jj mjm ji vv21min()()()1(1)imTiilll iTiiiijjjimkk gqk gJohnson准对角优势化算法改进(续)1mTTillllll iA 1mTTTTlllliiiil TTTiiWWWVV WTTiiiEWVV WiiiiA kE k()TTTTTi
17、iiiiiWWWVV WkWVV W k(1)TTTiiiiWW kWVV W k1(1)()TTTiiiikWWWVV W kJohnson准对角优势化算法改进(续)1(1)()TTTiiiikWWWVV W k11()1TTTTTTTiiiiiiV W kV WWWWVV W k111()TTTiiiTTiiiNV WWWWVxV W kiiiN xxJohnson准对角优势化算法改进(续)1(1)()TTTiiiikWWWVV W k11)(TiTTiiWWWV W kV11()TiiWWWVx前面介绍以定常预补偿器前面介绍以定常预补偿器Kp来实现对角优势化。在多数情况下这是来实现对角优
18、势化。在多数情况下这是可行的，系统结构较为简单。然面对于某些十分复杂的被控对象可行的，系统结构较为简单。然面对于某些十分复杂的被控对象G(s)，仅，仅凭定常补偿有可能还得不到理想的对角优势化效果，为此需要设计更为复凭定常补偿有可能还得不到理想的对角优势化效果，为此需要设计更为复杂的动态补偿器。相应的设计算法被学者提出。杂的动态补偿器。相应的设计算法被学者提出。反馈增益的确定反馈增益的确定(续)反馈增益的确定(续)()()1()iiiiih sh sh s f11()()iiiihshsf反馈增益的确定(续)若若 和和 在在Nyquist D围线围线上均行对角优势，则：上均行对角优势，则：()s
19、Q()()ssHQF1()()()()()1iiiiiihsqss d sd sim1,()()()()max1()miikkk ijij j ijjjd sqsdssfqs若若 和和 在在Nyquist D围线上均列对角优势，则：围线上均列对角优势，则：()sQ()()ssHQF1()()()()()1iiiiiihsqss d sd sim1,()()()()max1()mikikk ijij j ijjjd sqsdssfqs第四节 特征轨迹设计方法(,)det()()0mg sg ssIG()()()()iss diag g ssGWV12()(),(),()mssssWwww1()(
20、)ssVW特征轨迹设计方法()()()sssQGK()()()()iss diag q ssQWV1()()ssVW1()()()msssHIQQ1()()()()()()()()iisss diag q sss diag q ssWVWVWV()()()1()iiq ss diagsq sWVH(s)与与Q(s)具有相同的特征方向矩阵具有相同的特征方向矩阵W(s)。()(1)1()iiiq shdiagimq s其特征值为其特征值为()()()()1()iiq sss diagsq sHWV1()()()1()mTiiiiiq sssq swv1()()(),()()1()miiiiiq s
21、ssssq syvrw()()()()1()iiq sss diagsq sHWV()1iq s()ms HI()()()()1()iiq sss diagsq sHWV12()()()mq sq sqs()()1()imiq ssq sHI()ms WI()()1()iiq ssdiagq sH()1iq s 在控制器在控制器K(s)中引入积分环节中引入积分环节12()()()mq sq sqs适当设计控制器适当设计控制器K(s)，使，使Q(s)的各个待征值在中频段大致平衡，的各个待征值在中频段大致平衡，可有效地减小闭环系统在中频段的关联性。可有效地减小闭环系统在中频段的关联性。()ms W
22、I适当设计控制器适当设计控制器K(s)，使，使Q(s)的各个特征方向满足：的各个特征方向满足：()(=1)iijimwe1(),()cos(=1)()iiiijjimjwew()()()()()1()iiq sss diagssq syWVr00()lim()lim()()ssssss yyrr0lim()isq s()()()hmlsssKK KK1()()hssQGK1()hhjKG(1)1()()()()iss diag qssQWV()()mmimsdiag k sKAB1mmBA21()()()msssQQK(1)()()()()imims diag qssdiag k s WVAB
23、1()()mmssBVAV(1)2()()()()()iiss diag k s qssQWVlim()1isk s(1)2()()()()()imimss diag qssdiag k sQWVAB21lim()(s)ssQQ1()mhmmjAWBA()1illlsdiagsKAB2()()()lsssQQK(2)()()()1iills diag qssdiagsWVAB1()()llllssAVBV(2)()()1()()iiss diagqsssQWV12()(),(),()mjjjjWwww12()(),(),()TmjjjjVvvv1()()0Tjijijjjivw 考虑某个实数矩
24、阵：考虑某个实数矩阵：12,mAa aa1()0Tjijijjiva221(),(1)(),iiimjijj ijimjvava反映实向量反映实向量ai与复向量与复向量wi(j)之间的近似程度，之间的近似程度，i越大则表明两者越大则表明两者之间越接近。之间越接近。()kkkjjv2(),(),(),kikikijjjvavava()TTTikkkkia a1()TTikkkkmTTijjjjjj iA D 221(),(1)(),iiimjijj ijimjvava1()()TTTiiiiiimTTTijjjjijj ia aa aTiiiTiiia A aa Da0ia()()TTiiiii
25、iiiiiA a a DaDa a A aiiiiA aDaiiiiiiiiA aDaDaDa()(1)iiiiiAD aDa11()(1)iiiiiADDaa开环极点开环极点0.063,1.991,5.057,8.66602P 利用利用ALIGN算法可以求得算法可以求得h=30rad/s时的时的G-1(s)的近似实矩阵为：的近似实矩阵为：0110hA0110hK1()()hssQGK0.5840.9970.8120.0754lA10.0971.2851.0460.753llBA1illldiagsKAB2.030.751010-0.080.93msI10s2181090ssss1090(1021)8hlsssssKK K11()()()()()sssssQQKGK
