1、2019-2020学年第一学期期末考试高三数学(文科)试题一选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：,所以，故选A.考点：集合的运算.2.设，则|（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由复数的四则运算以及模长公式求解即可.【详解】，则，故选B.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及模长公式，属于基础题.3.已知,cos =,则tan等于()A. 7B. C. -D. -7【答案】B【解析】【分析】先根据同角三角函数关系求tan ，再根据两角差正切公式求结果【详解】由已知得tan =,则tan.选B【点睛】本题考查同角三角函数关
2、系、两角差正切公式，考查基本求解能力.4.若为实数，则下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】举反例说明ABC不成立，根据不等式性质说明D成立.【详解】当时，由得，所以A错误；当时，有，所以B错误；当时，由得，所以C错误；由不等式两边同时加上一个数，不等式号不变，得D正确,故选：D【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析判断能力，属基础题.5.设是非零向量，已知命题P：若，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故为真命题.考点：命题的
3、真假.6.已知向量,若,则实数( )A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由，可得，再根据根据数量积的坐标运算即可求得结果.【详解】因为,所以,又,所以,即,解得.故选：C.【点睛】本题主要考查向量垂直的应用，属于基础题.7.的内角，的对边分别为，若，则的面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题可以先通过解三角形的余弦公式解出、的值，再通过解得三角行面积【详解】即，,解得，即故选B【点睛】解三角形余弦公式为，面积公式为8.已知，并且成等差数列，则的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 9【答案】D【解析】成等差数列，当且仅当a=2b即时“=“成立，本题选
4、择D选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误9.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A. 甲和丁B. 乙和丁C. 乙和丙D. 甲和丙【答案】B【解析】【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与
5、结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证10.三棱锥P-ABC中，PA面ABC，PA=2，AB=AC=，BAC=60，则该棱锥的外接球的表面积是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可得，为等边三角形，边长为面，则该三棱锥的外接球是以为底面，为高的三棱柱的外接球的外接圆半径为，则球心到面外接圆圆心的距离为，故外接球该棱锥的外接球的表面积故选11.已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A. B. C. D. 【答案
6、】D【解析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.12.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：当时，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，令，得或时，；时，；时，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时
7、，；时，；时，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性二填空题13.若，满足约束条件，则的最大值为_【答案】6【解析】【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：由，可得，画出直线，将其上下移动，结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，由，解得，此时，故答
8、案为6.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.14.已知直线与曲线相切，则实数k的值为_【答案】【解析】【详解】设切点为,即，又，即故答案为点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）
9、时，由切线定义知，切线方程为15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=_.【答案】.【解析】【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得.【详解】由正弦定理，得，得，即，故选D【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取定理法，利用转化与化归思想解题忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角16.已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为_【答案】8【解析】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算
10、即可.详解：如下图所示，又，解得，所以，所以该圆锥的体积为.点睛：此题为填空题压轴题，实际上并不难，关键在于根据题意作出相应图形，利用平面几何知识求解相应线段长，代入圆锥体积公式即可.三解答题17.已知等差数列的前项和满足.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列求和公式列关于首项与公差的方程组，解得首项与公差代入等差数列通项公式即可；（2）直接根据裂项相消法求和.【详解】（1）设的公差为，则，由己知可得解得.故的通项公式为.（2）由（1）知，从而数列的前项和为【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式以及裂项相消法求和，考查基本分析判断
11、能力，属中档题.18.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且（1）求的值；（2）若ABC的面积为，且，求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】用正弦定理化简已知等式即可求得结果由三角形面积公式列出关系式，求出的值，利用余弦定理列出关系式，将和的值代入即可求得结果【详解】（1），即 ，.（2） ， .【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形，余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积的求解方法，熟练掌握公式的应用是解题的关键19.如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点.求证:（1）平面.（2）求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）
12、先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果；（2）先根据等腰三角形性质得，再根据面面垂直性质定理得平面，最后根据锥体体积公式求结果.【详解】（1）因为分别是的中点，所以，因为面，平面，所以平面.（2），为的中点, ,因为平面平面，平面平面， 平面,所以平面，在等腰直角三角形中，所以,所以等边三角形的面积，所以三棱锥的体积等于.又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.20.某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况，利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽
13、样调查.已知该县成年人中的拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上（含80）的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证没有驾驶证合计得分优秀得分不优秀25合计100（1）补全上面的列联表，并判断能否有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关？（2）若规定参加调查的100人中分数在70以上（含70）的为“安全意识优良”，从参加调查的100人中根据安全意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式：，其中.
14、0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.07227063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析；有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关；（2）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算可补全列联表中的数据，根据公式计算可求得，从而可得结论；（2）根据频率分布直方图计算出“安全意识优良”的人数，根据分层抽样原则可知“安全意识优良”的人中抽取人；采用列举法列出所有基本事件，找到符合题意的基本事件个数，利用古典概型求得结果.【详解】（1）由题意可知拥有驾驶证的人数为：人则拥有驾驶证且得分为优秀的人数为：人由频率分布直方
15、图知得分优秀的人数为：人没有驾驶证且得分优秀的人数为：人则没有驾驶证且得分不优秀的人数为：人可得列联表如下：拥有驾驶证没有驾驶证合计得分优秀得分不优秀合计有超过的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关（2）由频率分布直方图可求得以上（含）的人数为：按分层抽样的方法抽出人时，“安全意识优良”的有人，记为；其余的人记为从中随机抽取人，基本事件有：，共个恰有一人为“安全意识优良”的事件有个恰有一人为“安全意识优良”的概率为：【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率和频数、独立性检验应用、分层抽样的基本原理、古典概型的概率求解，属于中档题.21.已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离
16、为2，（1）试求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于、两点，点为椭圆上一点，记直线的斜率为，直线的斜率为，试问：是否为定值？请证明你的结论【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）由条件得a,c，解得b,即得椭圆标准方程，（2）设C,D坐标，根据斜率公式得，设直线方程并与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理代入化简可得为定值.详解：（1），椭圆的方程为 （2）设直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程得：（1）代入（2）得：化简得：（3） 当时，即，即时，直线与椭圆有两交点， 由韦达定理得：， 所以， 则，点睛：直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用
17、韦达定理或求根公式进行转化.22.已知函数()当时，求的极值；()若在区间上是增函数，求实数的取值范围【答案】() 极小值，无极大值（）【解析】分析】()将代入原函数，再对求导，用导数的方法判断的单调性，进而可得出其极值；()先对求导，根据题意得到在恒成立；分离参数得到在恒成立，再设，只需用导数的方法求出在上的最大值即可.【详解】解：（I）当时，令，有随的变化情况如下表： 极小由上表易知，函数在时取得极小值，无极大值；（II）由，有， 由题设在区间上是增函数，可知在恒成立；故在恒成立，设，则只需， ，令，有，随的变化情况如下表： 极小又，故，故 实数的取值范围为【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型.
