1、 组员：组员：中国气象中国气象科学研究院科学研究院 一、引一、引 言言 经验正交函数（经验正交函数（EOFEOF）方法：最早由统计）方法：最早由统计学家学家pearsonpearson（19021902）提出，由）提出，由LorenzLorenz（19561956）引入）引入气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对象，由于对计算条件要求甚高，直到象，由于对计算条件要求甚高，直到2020世纪世纪6060年代年代后期才在实际工作中得到广泛应用。后期才在实际工作中得到广泛应用。近近3030年来，出现了适合于各种分析目的的年来，出现了适合于各种分析目的的
2、EOFEOF分析方分析方法，如法，如扩展扩展EOFEOF（EEOFEEOF）方法）方法，旋转旋转EOFEOF（REOFREOF）方）方法，风场法，风场EOFEOF（EOFWEOFW）方法，复变量）方法，复变量EOFEOF（CEOFCEOF）方）方法。法。l1 1，没有固定的函数；没有固定的函数；l2 2，能在有限区域对不规则分布的站点进行分解；，能在有限区域对不规则分布的站点进行分解；l3 3，展开收敛快，很容易将变量场的信息集中在几个模，展开收敛快，很容易将变量场的信息集中在几个模态上；态上；l4 4，分离出的空间结构具有一定的物理意义；，分离出的空间结构具有一定的物理意义；l EOFEOF
3、方法不但用于观测资料的分析，还用方法不但用于观测资料的分析，还用于于GCMGCM资料的分析和数值模式的设计。现在，资料的分析和数值模式的设计。现在，EOFEOF方法已作为一种基本的分析手段频繁地出方法已作为一种基本的分析手段频繁地出现在大气科学研究的文献中。现在大气科学研究的文献中。二、二、EOFEOF分析方法原理分析方法原理 将某气候变量场的观测资料以矩阵形将某气候变量场的观测资料以矩阵形式给出式给出m m是空间点（观测站或网格点），是空间点（观测站或网格点），n n是时间序列长度（观测次数）。是时间序列长度（观测次数）。mnmmnnxxxxxxxxx212222111211X气象场的自然正
4、交展开，是将气象场的自然正交展开，是将X X分解为时间函分解为时间函数数Z Z和空间函数和空间函数V V两部分两部分,即即或者或者含义：含义：场中第场中第i i个格点上的第个格点上的第t t次观测值，可以次观测值，可以看作是看作是p p个空间函数个空间函数 和时间函数和时间函数 的线性组的线性组合合 。VZX mi,2,1nt,2,1pkptiptitiktikitzvzvzvzvx12211ikvkizpk,2,1其中，其中，是第是第j j个典型场，只是空间的函数。个典型场，只是空间的函数。mmmmmmvvvvvvvvv212222111211V mnmmnnzzzzzzzzz2122221
5、11211ZTmjjjjvvvv),(21第第t t个空间场可表示为个空间场可表示为或者或者mtmtttzzzvvvx2211mtmmmmtmtmmtttzvvvzvvvzvvvxxx2122221211211121 上式表明，第上式表明，第t t个场可以表示为个场可以表示为m m个空间典型场，按照不同的权重线性叠加而个空间典型场，按照不同的权重线性叠加而成。成。V V的每一列表示一个空间典型场，由于的每一列表示一个空间典型场，由于这个场由实际资料确定，故又叫经验正交函这个场由实际资料确定，故又叫经验正交函数。数。上述分解要求满足下列两个条件：上述分解要求满足下列两个条件：jijizzintj
6、tit01TjiZZmji,21jijivvpkkjkij101vvTi性性质质三、分解方法三、分解方法A A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，一定有一定有 或者或者TTVVZZXXTTXXA AVVTTVVA V V的列就是的列就是A A的特征向量的特征向量，是是A A的的特征值特征值组成的对角矩阵。组成的对角矩阵。Z Z就是时间系数矩阵就是时间系数矩阵，第第i i个格点上个格点上的第的第t t 个时间系数。个时间系数。XVZTmkktkiitxvz1itz四、误差估计和计算四、误差估计和计算 是拟合场是拟合场.可以证明误差可以证明误差nppmZ.V
7、XXX21111()pmnmititiiitiiQxx第第i i个特征向量对个特征向量对X X场的贡献率场的贡献率前前p p个特征向量对个特征向量对X X场的贡献率场的贡献率miiii1miiipiii11五、重要参数五、重要参数六、计算步骤六、计算步骤1 1）根据分析目的，对原始资料矩阵）根据分析目的，对原始资料矩阵X X作距作距平或者标准化处理；平或者标准化处理；2 2）由）由X X求协方差矩阵求协方差矩阵 ；3 3）求实对称矩阵）求实对称矩阵A A的全部特征值的全部特征值 、特征、特征向量向量 ，h h=1=1H H（通常使用（通常使用JacobiJacobi法）法）；hVhTAXX 4
8、 4）将特征值作非升序排列（通常）将特征值作非升序排列（通常使用沉浮法），并对特征向量序数作相应变使用沉浮法），并对特征向量序数作相应变动；动；5 5）根据）根据 ,h h=1=1H H和和X X总方差，求总方差，求出全部出全部 、,h h=1=1H H；6 6）由）由X X及主要及主要 求其时间系数求其时间系数 、h h=1H=1H，主要的数量由分析目的及分析对象，主要的数量由分析目的及分析对象定；定；7 7）输出主要计算结果。）输出主要计算结果。hhVhZhhP七七 经验正交函数的物理意义经验正交函数的物理意义 特征向量以及时间系数的分析。特征向量以及时间系数的分析。vvvv第一特征向量（
9、第一空间典型场）第一特征向量（第一空间典型场）是与是与n n张张X X图平均最相似的，或者说具有与所要图平均最相似的，或者说具有与所要展开的资料矩阵的展开的资料矩阵的n n个样本最相似的特征。比如：个样本最相似的特征。比如：若原始资料矩阵是若原始资料矩阵是7 7月份月份5050年实测将水场（非距年实测将水场（非距平场），则第一特征向量就可以解释为这平场），则第一特征向量就可以解释为这5050年年的平均场，其相应的时间系数基本对应我国大的平均场，其相应的时间系数基本对应我国大尺度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特尺度旱涝年。但当降水场由距平组成，第一特征向量就解释为与征向量就解释为与5050年
10、夏季距平场最相似的特年夏季距平场最相似的特征场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝征场，它指出了我国夏季经常出现的大尺度涝区和旱区。区和旱区。八、八、时空转换问题时空转换问题 当当 时，先求出时，先求出 的特征值，的特征值，然后求然后求 的特征向量，这种方法叫时的特征向量，这种方法叫时空转换。空转换。令令 的特征值为的特征值为 ，其特征向量其特征向量为为 ，的特征值也为的特征值也为 ，其其特征向量为特征向量为 nm XXTTXXXXTiiuTXXiiviiiXuvmvvvV,21XVZTl分析表明，南亚夏季风的爆发主要体现在降水的突然增加和季风雨带的快速推进上，雨带的时空分布有突变的特点。l第
11、1 模态降水量的突然增加。l第2 模态从南向北的快速推进过程。l第3模态东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加的过程。l第4模态印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态。l将东亚500 hPa 风场,温度场,降水量场进行经验正交分解,得到它们的主要模态的时空变化特征。结果表明东亚风场EOF 的主要模态与我国温度,降水量的EOF 的主要模态对应,其第一EOF 模态与盛夏温度,降水量的关系密切。图中,淡灰(灰,黑色)是0.05(0.01,0.001)信度的相对区图a 图b l魏凤英，现代气候统计诊断与预测技术，气象出版社，北京，2007;lEOF在大气科学研究中的新进展；丁裕国；气象科技19
12、9303期；l近年来中国统计气象学的新进展；周家斌 黄嘉佑 ；气象学报 1997年03期；l我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及其与大尺度气候异常的关系。顾泽，封国林，顾骏强，施能；l南亚夏季风爆发前后降水量时空变化特征。朱 敏，张 铭；Thank you!lKarl Pearson（18571936）统计学统计学之父之父。lK.Pearson 1879年毕业于剑桥大学数学系；1884年进入伦敦伦敦大学学院大学学院 。lK.Pearson 最重要的学术成就，是为现代统计学打下基础。K.Pearson 在1893-1912年间写出18篇在演化论上的数学贡献的文章，而这门算术，也就是今日的统计。许多熟悉的统计名词如标准差，成分分析，卡方检定都是他提出的。l混沌理论之父、MIT教授lOne of the great modern science stories is the so-called Butterfly Effect.It suggests that the weather is so sensitive to tiny changes,that something as microscopic as a butterfly flapping its wings in Brazil could set off a tornado in Texas
