1、第一章第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数、极限与连续函数、极限与连续1.1 函数一实数一实数二常用的实数集二常用的实数集三函数概念三函数概念四函数的几种特性四函数的几种特性 第一章 实数实数(real number)(real number)由由有理数有理数(rational(rational number)number)与与无理数无理数(irrational number)(irrational number)两两部分组成部分组成.一一.实数实数pq二二.常用的实数集常用的实数集任意一个有理数均可以表示成任意一个有理
2、数均可以表示成 区间区间(interval):是指介于某两个实数之间的是指介于某两个实数之间的.,baRba 且且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxab全体实数全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.v定义定义1.1.1 ),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义:两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.bxax bxax 称为半闭半开区间称为半闭半开区间,称为半开半闭区间称为半开半闭区间,),ba记作
3、记作,(ba记作记作邻域邻域(neighborhood):且是两个实数与设,a).,(0 aU记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.),(axaxaU记记作作xa a a .0),(0 axxaU,.0邻域的称为点数集 aaxx 点点 的去心的去心 邻域邻域a v定义定义1.1.2 xa a a 把开区间把开区间),(aa称为称为a 的左的左邻域，邻域，把开区间把开区间),(aa 称为称为a 的右的右邻域，邻域，定义域三、函数概念三、函数概念1.函数的概念函数的概念 设数集,RD则称映射RDf:为定义在D 上的函数,记为Dxxfy,)(称为值域 函
4、数图形函数图形:),(yxC Dx,)(xfy)(DfD自变量因变量xy),(baDabxyODxxfyyDfRf),()(v定义定义1.1.3 2arcsin2yx,xy.对任何实数都没有按给定规则与之对应的函数定义域不能是空集.因此，此例不是函数.例例1.1.1 yxxy按这个规则，每一个按这个规则，每一个有无穷多个与之对应的有无穷多个与之对应的值值.而函数定义中的对应规则要求对每一个而函数定义中的对应规则要求对每一个只有一个确定的只有一个确定的值与之对应，值与之对应，xy因此，此例也不是函数因此，此例也不是函数.例例1.1.2 判断下面函数是否相同判断下面函数是否相同,并说明理由并说明理
5、由.1y22sincosyxx12 xy12yx(1)与与(2)与与解解 (1)虽然这两个函数的表现形式不同，但它们虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域的定义域与对应法则均相同，与对应法则均相同，其定义域和对应法则均相同，所以这两个函数相同其定义域和对应法则均相同，所以这两个函数相同.),(（2）虽表面形式不同，但其定义域和对应法则均相同，）虽表面形式不同，但其定义域和对应法则均相同，所以这两个函数相同所以这两个函数相同.例例1.1.3 ()0 x)(0 xf自变量自变量因变量因变量对应法则对应法则f2.2.函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.xyDW约定约定:
6、定义域是使表达式有意义的自变量能取定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值的一切实数值.21xy 例如，例如，1,1:D211xy 例例如如，)1,1(:D 2121fxxx )(xfx21020 xx,21xx 2,1)(1,1)(1,).D 求函数求函数解解 要使要使有意义，显然有意义，显然要满足要满足 即即 所以所以的定义域为的定义域为的定义域的定义域.)(xf例例1.1.4 2lg 354sin(x)f(x)xxx )(xfx0450sin032xxxx513xkxx|13,01,0(0,3).fDxxx 求函数求函数解解 要使要使有意义，显然有意义，显然要满足要满足即即 所以所
7、以的定义域为的定义域为的定义域的定义域.)(xf例例1.1.5 3.多值函数多值函数 2522 yx例如，是多值函数是多值函数Oxy5对应的函数值总是只有一个，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做这种函数叫做单值函数单值函数，否则叫做，否则叫做多值函数多值函数如果自变量在定义域内任取一个数值时，如果自变量在定义域内任取一个数值时，4.函数的常用表示法函数的常用表示法表示函数的主要方法有三种：表示函数的主要方法有三种：表格法表格法、图形法图形法、公式法公式法（解析法）（解析法）根据函数的解析式的形式的不同，根据函数的解析式的形式的不同，函数也可分为函数也可分为显函数显函数、隐函数隐函数和和分段
8、函数分段函数三种三种 yf x,0F x y lncosyxy2210 xy（1 1）显函数显函数(explicit function)(explicit function)例如例如（2 2）隐函数隐函数(implicit function)(implicit function)(3)分段函数分段函数(piecewise function)函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式.绝对值函数绝对值函数(absolute value function)以下是几个常见的分段函数以下是几个常见的分段函数0,0,|xxxxxyxyOxy,D 0,
9、fR 定义域定义域,值域值域 例例1.1.6 符号函数符号函数(sign function)010001sgnxxxxy当当当当当当1-1xyoxxx sgn例例1.1.7 取整函数取整函数 表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线xxxx 1显然显然:32.33 例如例如.yx x例例1.1.8 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo补充例补充例1 狄利克雷函数狄利克雷函数补充例补充例2 取最值函数取最值函数)(),(maxxgx
10、fy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xgM-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX0 x,)(,0,成成立立有有若若MxfXxMDX 1函数的有界性函数的有界性(bounded):.)(否否则则称称为为无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数Xxf四、函数的几种特性四、函数的几种特性2函数的单调性函数的单调性(monotonicity):,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上上任任意意两两点点如如果果对对于于区区间间xxxxI;I上上是是单单调调增增加加的的),()()1(21xfxf 恒有恒有)(
11、xfy)(1xf)(2xfxyoI()fx则则称称函函数数在在区区间间)(xfy)(1xf)(2xfxyoI.)(上上是是单单调调减减少少的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf 恒有恒有3函数的奇偶性函数的奇偶性(parity)偶函数偶函数有对于轴对称关于设,DxyD则则,)()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD 则则),()(xfxf
12、.)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)(xf yx)(xfox-x)(xfy 2ln(1)yxx )(1ln()(2xxxf)1ln(2xx2221)1)(1(lnxxxxxx)1ln(11ln22xxxx).(xf)(xf判断函数判断函数解解 方法一方法一 由定义知由定义知为奇函数为奇函数.的奇偶性的奇偶性.例例1.1.9 22()()ln(1)ln(1()f xfxxxxx 22ln(1)(1)xxxx ln10)(xf22()ln(1)ln(1)F xxxxx 方法二方法二 所以所以进一步可知进一步可知既是奇函数，也是偶函数既是奇函数，也是偶函数.为奇函数为奇函数.4函数的周期性函
13、数的周期性(periodicity)2l 2l23l 23l（通常说周期函数的周期是指（通常说周期函数的周期是指最小正周期最小正周期）.,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)(,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立)(xf0T T)(baxfba,.0aTf a xba()f axTb )(Tbaxf),(baxf)(baxf.aTsinyAxcosyAx2.tanykxcotykx.k设函数设函数是周期为是周期为的周期函数，的周期
14、函数，的周期，其中的周期，其中为常数，且为常数，且解解 因为因为故按周期函数的定义，故按周期函数的定义，的周期为的周期为特别地特别地，的周期均为的周期均为的周期均为的周期均为试求函数试求函数例例1.1.10 内容小结内容小结一实数一实数二常用的实数集：区间与邻域二常用的实数集：区间与邻域三函数概念三函数概念四函数的几种特性四函数的几种特性有界性有界性单调性单调性奇偶性奇偶性周期性周期性作业作业P8 1(2)、(4)、(6)2.3.5(3)、(4)6.7(2)11.第三节 且备用题备用题0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证证:令,1xt 则,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf显然,0)0(f又)(xf故0 x时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设
