1、1.1 导数的概念与导数导数的概念与导数 的几何意义的几何意义 一、物理和几何上的两个实例一、物理和几何上的两个实例 二、某一点处导数的定义二、某一点处导数的定义 三、导函数的定义三、导函数的定义 四、导数的几何意义四、导数的几何意义 五、导数和连续的联系五、导数和连续的联系一、导数的概念一、导数的概念2.2.平面曲线的切线的斜率平面曲线的切线的斜率割割线线切线切线xy)(xfy LoPTQ（1）切线的定义）切线的定义xxfxxfxytg )()(00 00()()yf xxf x xykxPQx 0)(0limtanlimtan .)()(lim000 xxfxxfx T割线割线切线切线Px
2、yo0 xxx 0 xyQ)(xfy（2）切线的斜率）切线的斜率 3 3 .导数的定义导数的定义 以上两个问题虽然具体内容不同，但解决问题的以上两个问题虽然具体内容不同，但解决问题的数学思想方法数学思想方法、计算步骤计算步骤、表达这两个量的表达这两个量的数学结构数学结构形式形式都一样，从数量关系上来讲都一样，从数量关系上来讲 都是研究函数的增量都是研究函数的增量与自变量的增量之比的极限问题与自变量的增量之比的极限问题，这时扬弃具体的内这时扬弃具体的内容和意义，把本质特征概括成数学问题，就可得导数容和意义，把本质特征概括成数学问题，就可得导数的定义。的定义。00)()(lim0 xxxfxfxx
3、 （2）单侧导数）单侧导数.)()(lim000 xxxfxfxx AxfxfAxf )()()(000 xtxftfxxfxxfxfxtx )()(lim)()(lim)(0（4）用定义求导数）用定义求导数说明说明根据导数的定义，求导数可归为三步：根据导数的定义，求导数可归为三步：算增量、求比值、取极限算增量、求比值、取极限00(1)1limlimxxxxxxxxxx 1.x 0(1)limxxxaax 0lnlimln.xxxaxaaax 0)0()(lim)0(0 xfxffxxbbexx)1(lim20 ,21lim20 xexx0)0()(lim)0(0 xfxffx要使要使,)1(
4、sinlim0存在存在xbaxx .1 ,010)1(sinlim 0 bbbaxx必须必须,sinlim)0(0axaxfx 2 a注：注：左右导数是研究函数在一点，特别是分段函左右导数是研究函数在一点，特别是分段函 数在分段点可导与否的有效工具数在分段点可导与否的有效工具。xh 令令0()()limxf xxf xx 0()()lim().hf xhf xfxh 0(2)()()()limxf xxf xf xf xxx 0(2)()2 lim2xf xxf xx 0()()limxf xf xxx 2()()3().fxfxfx 例例 1.求曲线求曲线 通过点通过点 的切线方程的切线方程
5、.2xy 5,3解解:设切点为设切点为 ,则切线方程为则切线方程为:),(00yx)(2000 xxxyy 切点切点 在曲线上在曲线上),(00yx200 xy 又切线过点又切线过点 )5,3(000325xxy 25,1;5,100 yx故所求切线方程为故所求切线方程为:02510;012 yxyx导数的物理意义导数的物理意义xyo32xyxyoxyxy三三、连续与可导的关系连续与可导的关系可导可导连续连续00limlim()00,xxyxfxx 解：因为可导必连续解：因为可导必连续22eba ,2)1(lim2lim)2(222222exeexeefxxxx 2)(lim)2(22 xebaxfx.22lim2axaaxx 习习 题题 2.12.1 （P87P87）作作2(3)(4)2(3)(4)；3 3；4 4；6 6；8 8；1010。业业
