1、昆明冶金高等专科学校测绘学院 本节介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形本节介绍从椭球面上大地坐标系到平面上直角坐标系的正形投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方投影过程。研究如何将大地坐标、大地线长度和方向以及大地方位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解位角等向平面转化的问题。重点讲述高斯投影的原理和方法，解决如何由球面到平面的换算问题，解决相邻投影带的坐标换算问决如何由球面到平面的换算问题，解决相邻投影带的坐标换算问题。题。知识点及学习要求知识点及学习要求 1 1高斯投影的基本概念；高斯投影的基本概念；2 2高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换
2、高斯平面直角坐标与大地坐标的相互转换高斯投影的正算与反算高斯投影的正算与反算3 3高斯投影的邻带换算；高斯投影的邻带换算；4 4椭球面上观测成果（边长）归化到高斯平面上的计算椭球面上观测成果（边长）归化到高斯平面上的计算 难点难点 首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改首先要理解和掌握高斯投影的概念。高斯正算和反算计算；方向改化和距离改化计算；高斯投影带的换算与应用。化计算；高斯投影带的换算与应用。1 1 投影与变形投影与变形 地图投影地图投影：就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一：就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。
3、研究这个问题的专门学科叫定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影地图投影学学。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示：。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示：),(),(21BLFyBLFx式中式中L,B是椭球面上某点的大地坐标，而是椭球面上某点的大地坐标，而x,y是该点投影后的平面直是该点投影后的平面直角坐标。角坐标。等角投影等角投影投影前后的角度相等，但长度和面积有变形；投影前后的角度相等，但长度和面积有变形；等距投影等距投影投影前后的长度相等，但角度和面积有变形投影前后的长度相等，但角度和面积有变形;等积投影等积投影投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。投影前后的面
4、积相等，但角度和长度有变形。地图投影的方式地图投影的方式投影变形投影变形：椭球面是一个凸起的、不可展平的曲椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面。将这个曲面上的元素（距离、角度、图形）面。将这个曲面上的元素（距离、角度、图形）投影到平面上，就会和原来的投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形距离、角度、图形呈现差异，这一差异称为投影变形。呈现差异，这一差异称为投影变形。投影变形的形式：角度变形、长投影变形的形式：角度变形、长度变形和面积变形。度变形和面积变形。2 2 控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影的要求应当采用等角投影应当采用等角投影（又称为正形投影）在测制地图时，采用等角投影可以保
5、证在有限的在测制地图时，采用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似。范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似。在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不大，在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正数。数。能按分带投影能按分带投影3 高斯投影的基本概念（1）基本概念：）基本概念：如下图所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与如下图所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱某一条子午线（此子午线称为中央
6、子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面，此投影为高斯投影（投影面，此投影为高斯投影（又称横轴椭圆柱等角投影又称横轴椭圆柱等角投影），高斯投影），高斯投影是是正形投影的一种。正形投影的一种。（2）分带投影）分带投影高斯投影 带：自 子午线起每隔经差 自西向东分带，依次编号1,2,3,。我国 带中央子午线的经度，由 起每隔 而至 ,共计11带（1323带），带号用
7、 表示，中央子午线的经度用 表示，它们的关系是 ,如下图所示。高斯投影 带：它的中央子午线一部分同 带中央子午线重合，一部分同 带的分界子午线重合，如用 表示 带的带号，表示 带中央子午线经度，它们的关系 下图所示。我国 带共计22带（2445带）。6066756135n0L360 nL366n3nL 33L3在投影面上，在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线中央子午线和赤道的投影都是直线，以中央子午线和，以中央子午线和赤道的交点赤道的交点 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标 轴，以赤道的投影为横坐标轴，以赤道的投影为横坐标 轴轴。OxyABB
8、ByxyAAxxyByxBByAxAAxy5 0 0 K m（3）高斯平面直角坐标系）高斯平面直角坐标系在我国在我国 坐标都是正的，坐标都是正的，坐标的最大值（在坐标的最大值（在赤道上）约为赤道上）约为330km330km。为了避免出现负的横坐标，。为了避免出现负的横坐标，可在横坐标上加上可在横坐标上加上500 000m500 000m。此外还应在坐标前。此外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例如，有一点如，有一点 =19 123 456.789m=19 123 456.789m，该点位于，该点位于 带内，其相对于中央子午线而言的横坐
9、标则是：带内，其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去掉带号，再减去首先去掉带号，再减去500000m,500000m,最后得最后得 =-=-376 543.211m376 543.211m。xyYy（3）高斯平面直角坐标系）高斯平面直角坐标系6（4）高斯平面投影的特点：）高斯平面投影的特点：ABBByxyAAxxyByxBByAxAAxy5 0 0 K m（5）椭球面上控制网投影到高斯平面上椭球面上控制网投影到高斯平面上将椭球面上控制网投影到高斯面上的主要内容是：将椭球面上控制网投影到高斯面上的主要内容是：将起始点的大地坐标归算为高斯平面直角坐标；为了检核还应进行反算，亦即高将起始点的大地
10、坐标归算为高斯平面直角坐标；为了检核还应进行反算，亦即高 斯正、反算。斯正、反算。通过计算起算点的子午线收敛角及起算边方向改正，将椭球面上起算边大地方位角通过计算起算点的子午线收敛角及起算边方向改正，将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上得相应边的坐标方位角。归算到高斯平面上得相应边的坐标方位角。通过计算各方向的曲率改正或方向改正，将椭球面上各三角形内角（或导线转角）通过计算各方向的曲率改正或方向改正，将椭球面上各三角形内角（或导线转角）归算到高斯平面上成为由相应直线组成的三角形内角（或导线转角）归算到高斯平面上成为由相应直线组成的三角形内角（或导线转角）。通过计算距离改正，将椭球面上各边
11、的长度（大地线）归算到高斯平面上得直线长通过计算距离改正，将椭球面上各边的长度（大地线）归算到高斯平面上得直线长度。度。当控制网跨越两个相邻投影带时，还需要进行平面坐标的邻带换算。当控制网跨越两个相邻投影带时，还需要进行平面坐标的邻带换算。高斯投影坐标正反算得实用公式及算例高斯投影坐标正反算得实用公式及算例1 1 高斯投影坐标正算公式高斯投影坐标正算公式（1）高斯投影正算：已知某点的已知某点的 ，求该点的，求该点的 ，即，即 的坐标变换的坐标变换。（2）投影变换必须满足的条件：中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变；投影具有正形性质，
12、即正形投影条件。投影具有正形性质，即正形投影条件。（3 3）投影过程）投影过程 在椭球面上有对称于中央子午线的两点在椭球面上有对称于中央子午线的两点 和和 ,它们的大地坐标它们的大地坐标分别为分别为 及及 式中式中 为椭球面上点的经为椭球面上点的经度与中央子午线度与中央子午线 的经度差：的经度差：,点在中央子午线之东点在中央子午线之东,为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为为正，在西则为负，则投影后的平面坐标一定为 和和 。BL,yx,),(,yxBL1P2Pl)(0L0LLll）或（1111,),(BlBL),(,2222BlBL）或（),(111yxP),(222yxP（4）计算公式）
13、计算公式当要求转换精度精确至0.00lm时，用下式计算。式中：52224255322336425644223422)5814185(cos720)1(cos6cos)5861(cossin720)495(cossin24sin2ltttBNltBNlBNylttBBNltBBNlBNXx520626tancos022222 为卯酉圈曲率半径对应子午线弧长为）（NBXLLlBtBe（1）高斯投影反算：已知某点 ，求该点 ，即 的坐标变换。（2）投影变换必须满足的条件 坐标轴投影成中央子午线，是投影的对称轴；轴上的长度投影保持不变；投影具有正形性质，即正形投影条件。yx,BL,),(,BLyxxx
14、（3）投影过程根据计算纵坐标在椭球面上的投影的底点纬度 ，接着按 计算（）及经差 ,最后得到 、。fBfBBBfl)(BBBBfflLL02 2 高斯投影坐标反算公式高斯投影坐标反算公式（4）计算公式5222425322364254222332)8624285(cos1201)21(cos61cos1)459061(720)935(242ytttBNytBNyBNlyttNMtyttNMtyNMtBBfffffffffffffffffffffffffffff当要求转换精度至 时，可简化为下式：10.0 542532234222232)24285(cos1201)21(cos61cos1)935
15、(242yttBNytBNyBNlyttNMtyNMtBBfffffffffffffffffffff高斯投影相邻带的坐标换算高斯投影相邻带的坐标换算（1 1）产生换带的原因）产生换带的原因 为了限制高斯投影的长度变形，把投影范围限制在中央子午为了限制高斯投影的长度变形，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。使得统一的坐标系分割成各带的独立线东、西两侧一定的范围内。使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用测量中要求采用 带、带、带或任意带，而国家控制点通常只有带或
16、任意带，而国家控制点通常只有 带坐标，这时就产生了带坐标，这时就产生了 带同带同 带（或带（或 带、任意带）之间的带、任意带）之间的坐标换算问题，如图所示：坐标换算问题，如图所示：35.16635.1把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标。首先把某投影带（比如某投影带（比如带）内有关点的平面坐标带）内有关点的平面坐标 ，利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标利用高斯投影反算公式换算成椭球面上的大地坐标，进而得到；然后再由大地坐标，进而得到；然后再由大地坐标 利利用投影正算公式换算成相邻带的（第用投影正算公式换算成相邻带的（第带）的平面带）的平面坐标。在这
17、一步计算时，要根据第坐标。在这一步计算时，要根据第带的中带的中央子午线经度央子午线经度 来计算经差来计算经差 ，亦即此时，亦即此时I),(yx),(BllLLI0),(lBII),(yxII0LlII0LLl（2）应用高斯投影正、反算公式间接进行换带计算计算过程：计算步骤计算步骤：根据根据,利用高斯反算公计算换算利用高斯反算公计算换算,，得到，得到 。采用已求得的采用已求得的,，并顾及到第，并顾及到第带的中央子午线，带的中央子午线，求得，利用高斯正算公式计算第求得，利用高斯正算公式计算第带的直角坐带的直角坐标标 。为了检核计算的正确性，要求每步都应进行往返计算。为了检核计算的正确性，要求每步都
18、应进行往返计算。1x1y1B1L4902.4383511 B2136.13201261 L1B1L129II0L486.46752 lIIxIIy算例算例在中央子午线在中央子午线 的的带中，有某一点的平面直角坐标带中，有某一点的平面直角坐标，现要求计算该点在中央子午线经度为，现要求计算该点在中央子午线经度为 的第的第带的平面直角坐标。带的平面直角坐标。123I0Lm726.57283741xm193.2101981y129II0L3 3 平面子午线收敛角计算公式平面子午线收敛角计算公式（1）子午线收敛角的概念 如图所示，由于所有子午线都收殓与极点N，而所有坐标纵线X都相互平行，所以，除了中央子
19、午线的点子午线与坐标纵线重合外，其他位置上的点的子午线与坐标纵线都存在一个夹角。子午线收敛角就是同一点的子午线真北方向与坐标纵线北之间的夹角，用 表示。子午线收敛角的大小与纬度及离开中央子午线的距离（经差）有关，东偏为正（+）、西偏为负（-）。（2）由大地坐标由大地坐标 计算平面子午线收敛角公式计算平面子午线收敛角公式),(BL)2(cossin151)231(cossin31sin2544232tlBBlBBlB（3）由平面坐标计算平面子午线收敛角的公式由平面坐标计算平面子午线收敛角的公式),(yx)1(31tan2232ffffftNyByN上式计算精度可达上式计算精度可达1。如果要达到。
20、如果要达到0.001计算精度，可用下式计算：计算精度，可用下式计算：)352(15)1(342552232fffffffffftttNyttNyytN （4）实用公式已知大地坐标已知大地坐标 计算子午线收敛角计算子午线收敛角),(BL BlBllBBsincos)0067.0cos2.0()cos00674.033333.0(122222已知平面坐标已知平面坐标已知平面坐标计算子午线收敛角已知平面坐标计算子午线收敛角),(yx fffBZZZBBsin)cos067.02.0()cos00225.033333.0(122244 大地方位角化为坐标方位角的计算 大地方位角与坐标方位角的关系如图所
21、示相差一个子午线收角和方向改化值。其中：pkppkpkA)(21)(22kpmpkmpkyyyxxyR二、椭球面上观测成果归化到高斯平面上二、椭球面上观测成果归化到高斯平面上1 1 概述：概述：高斯正形投影，椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯高斯正形投影，椭球面上大地线间的夹角与它们在高斯平面上的投影曲线之间的夹角相等。为了在平面进行计算，须把大平面上的投影曲线之间的夹角相等。为了在平面进行计算，须把大地线的投影曲线用其弦线来代替。控制网归算到高斯平面上的内容地线的投影曲线用其弦线来代替。控制网归算到高斯平面上的内容有：有：起算点坐标的归算起算点坐标的归算将起算点大地坐标将起算点大地坐标 归算
22、为高斯归算为高斯平面直角坐标。平面直角坐标。起算方向角的归算起算方向角的归算将起算边大地方位归算为高斯将起算边大地方位归算为高斯平面坐标方位。平面坐标方位。方向改化计算方向改化计算椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应椭球面上各大地线的方向值归算为平面上相应 的弦线方向值。的弦线方向值。距离改化计算距离改化计算椭球面上已知的大地线边长（或观测的大线边椭球面上已知的大地线边长（或观测的大线边长）归算至平面上相应的弦线长度。长）归算至平面上相应的弦线长度。),(BL),(yxA（1）概念如右图所示，设椭球体上有两点如右图所示，设椭球体上有两点 及其大地线及其大地线 ，在高斯投影面，在高斯投影面上
23、的投影为上的投影为 及及 。是一条曲。是一条曲线，而连接线，而连接 两点的直线为两点的直线为 D如前所述由如前所述由 S化至化至D所加的改正，所加的改正，即为距离改正即为距离改正 。21,PPS21,PPs21PP S2 距离改化公式距离改化公式（2）距离改化计算公式距离改化计算公式:22222421mmmRyRySDsSSRySRySDmmmm2222221小结 适用于三、四等三角测量的距离改化的计算公式：22222421mmmRyRySD或sSSRySRySDmmmm2222221昆明冶金高等专科学校测绘学院第十四讲 将地面观测的边长归算至高斯面放映结束，谢谢！选择选择=结果结果汇报结束汇报结束 谢谢观看谢谢观看！欢迎提出您的宝贵意见！欢迎提出您的宝贵意见！
