1、内所有向量的一组叫做表示这一平面、其中不共线的向量21ee.基底平面向量基本定理那么对于这一平，共线向量是同一平面内的两个不、如果21ee使，、有且只有一对实数，面内的任一向量21 a2211eeaa2e1eOAPQ例例5、利用向量的方法证明三角形的中线交于一点且位于中线、利用向量的方法证明三角形的中线交于一点且位于中线的三等分点的三等分点.FDEGCBA已知三角形已知三角形ABCABC中，中，D,E,FD,E,F分别为三边的分别为三边的中点，中点，ADAD与与BEBE交于点交于点G G，证明：证明：C,G,FC,G,F三点共线三点共线.,.ABa ACb 解：令是平面向量的基底,.B G E
2、xian共(1)AGABAE 1(1)2AGab,.A G Dxian又共AGAD1122AGab例例5、利用向量的方法证明三角形的中线交于一点且位于中线、利用向量的方法证明三角形的中线交于一点且位于中线的三等分点的三等分点.FDEGCBA1(1)2ab21(1)221122ab12,33解得1133AGab2133AFAC 所以所以C,G,FC,G,F三点共线三点共线.小结：利用平面向量基本定理解决问题的主要过程：小结：利用平面向量基本定理解决问题的主要过程：1 1、选基底、选基底.2 2、三点共线建立平面向量方程、三点共线建立平面向量方程.3 3、将向量方程转化为实数方程求解、将向量方程转
3、化为实数方程求解.MDNGCBA变式：变式：G G为三角形为三角形ABCABC的重心中，过的重心中，过G G点点作直线与边作直线与边ABAB，ACAC分别交于分别交于MM，N N，求求m,nm,n之间的关系式之间的关系式.,.ABa ACb 解：令是平面向量的基底,.M G Nxian共(1)AGAMAN(1)AGmanb23AGAD1133AGab,AMmAB ANnAC 131(1)3mn113mn的夹角与叫做向量则设非零向量baAOBOBbOAa,OBAab1800090180同向与ba反向与bababa垂直，记：与向量的夹角：向量的夹角：1e2ea2e1eOAPQ12,e e 想一想：
4、如果把向量基底特殊化.12,e enei 已知是平面不共xi an的l i angge向量：平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示高中数学高中数学必修四必修四xyO11ijABCOCOBOAjyOCixOB,设jyixOA),(yx向量点一一对应一一对应OAAyx),(bOBaOA,axb 若x0A1B记作，坐标直角的叫做向量，把)()(ayx使得，、，有且只有一对实数由平面向量基本定理知yx 1.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示i0)1(jyixa)2()(yxa，轴上的坐标，在叫做其中xax，任作一个向量作为基底、两个单位向量轴方向相同的轴、取与在直角坐标系内，分别ajiyx.轴上的坐标
5、，在叫做yay.)2(式叫做向量的坐标表示，)01(，)10(j.)00(，xyO11ijAC2321B)3,2(OA)1,2(OBjiOA32 jiOB2 2.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算)()(2211jyixjyixba，则，已知)()(2211yxbyxajyyixx)()(2121),(2121yyxxba即),(2121yyxxba)(2121yyxxba，jyixa11jyixb22Ryxa),(设)(jyixajyix),(yxaxyO11ijA),(11yxAB),(22yxB的坐标。求向量、已知例AByxByxA),(),(12211吗？),(22yxAB 解：),
6、(),(2211yxOByxOAOAOBAB又),(),(1122yxyxAB),(1212yyxx 即一个向量的坐标等于表示此向量的即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标终点的坐标减去始点的坐标.2并求出它们的坐标，、分别表示向量、用基底，如图例dcbaji解：.)32()25,24(，a.)32()25,24(，b.)32()25,24(，c.)32()25,24(，d求，已知例)43()12()1.(3ba，ba，ba.43的坐标ba 解：ba)43()12(，；，)51(ba)43()12(，；，)35(ba43)43(4)12(3，)1612()
7、36(，.)196(，._21,_2)108()60()42()2(ACBCBCABCBA则，、，、，的坐标分别为、已知(-18,18)(-3,-3)解：.)(yxD，的坐标为设顶点)13)2(1(，AB，)21(，)43(yxDC得，由DCAB.)43()21(yx，yx423122yx解得：.)22(，的坐标为顶点D.)43()31()12(4的坐标求顶点，、，、，的坐标分别为、的三个顶点已知例DCBAABCDABCD是否共线。、，判断，、，、，的坐标分别为、的三点、已知平面上例CBACBA)52()31()11(5)4,2()13,11(AB解法一：)6,3()15,12(AC为公共点且 AACAB32三点共线CBA,)5,2(),3,1(),1,1(OCOBOA解法二：OCyOBxOA设)5,2()3,1()1,1(yx)53,2()1,1(yxyx2353121yxyxyx三点共线CBAyx,1 是否共线。、，判断，、，、，的坐标分别为、的三点、已知平面上例CBACBA)52()31()11(5
