1、第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用第一节第一节 微分中值定理微分中值定理1一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理.,的切线是水平的的切线是水平的在该点处在该点处有一点有一点上至少上至少在曲线弧在曲线弧CABab1 2 xyo)(xfy CRolle(1652 Rolle(1652 1719)1719)FrenchFrench2022-9-302 0,0000000 xfxfxfxfxfxUxxxUxxf，那么，那么或或，有，有如果对任意的如果对任意的可导可导并且在并且在内有定义内有定义的某
2、邻域的某邻域在点在点设函数设函数证证 ,.000000 xfxxfxUxxxfxfxUx 有有对对于于于于是是，时时，不不妨妨设设;0)()(00 xxfxxf ;0)()(00 xxfxxf 时时从从而而当当0 x 时时当当0 x 导数为零的点称为导数为零的点称为函数的函数的驻点驻点或或稳定稳定点、临界点点、临界点2022-9-303;0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 0-000 xfxfxfxxf 可导可导在在据极限的局部保号性，得据极限的局部保号性，得;0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 从而从而 00 xf 情情况况完完全全类类似似时时，00 xfxfxU
3、x 注意注意2022-9-304罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 如果函数如果函数满足：满足：（1）在闭区间在闭区间上连续上连续,（2）在开区间在开区间内可导内可导,（3）区间端点的函数值相等，即区间端点的函数值相等，即,则在则在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使使)(xf在该点的在该点的导数等于零，即导数等于零，即0)(f 几何解释几何解释ab1 2 xyo)(xfy .,的切线是水平的的切线是水平的在该点处在该点处有一点有一点上至少上至少在曲线弧在曲线弧CABC罗尔罗尔2022-9-305罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 如果函数如果函数满足：满足：（1）在闭区间在闭区间
4、上连续上连续,（2）在开区间在开区间内可导内可导,（3）区间端点的函数值相等，即区间端点的函数值相等，即,则在则在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使使)(xf在该点的在该点的导数等于零，即导数等于零，即0)(f 证：证：.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 则则.0)(xf由由此此得得),(ba .0)(f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf.取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点由由费费马马引引理理.0)(f有有),(afM 不不妨妨设设.)(),(Mfba 使使内内至至少少存存在在一一点点则则在
5、在2022-9-306 .3,1322上的正确性上的正确性在区间在区间验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数 xxy例例132)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1)(上连续上连续在在 xf,)3,1(上上可可导导在在 ,0)3()1(ff且且.)3,1(1(,1即即为为上上面面所所求求显显然然 ),1(2)(xxf由罗尔定理知，由罗尔定理知，.0)(31 f），使使，（至至少少事实上，事实上，解解:-1312022-9-307注：注：罗尔定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立罗尔定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立.例如例如,;2,2,xxy,)0(2,2件件满满足足罗罗尔尔定定
6、理理的的一一切切条条不不存存在在外外上上除除在在f .0)()2,2(xf内内找找不不到到一一点点能能使使但但在在 00)0(1,0(1xfxxy.1,0,xxy又例如又例如,x x=0不可导不可导xy-222022-9-308 2110012)(xxxxxxf.)2,1(,0)()(fxf有有实实定定理理的的三三个个条条件件，但但确确在在给给定定区区间间不不满满足足罗罗尔尔-112又如又如 至至少少存存在在一一个个根根的的任任意意两两根根之之间间则则可可微微若若推推论论0,0,:xfxfxf应用应用:罗尔定理常用来讨论方程根的情况，尤其与某函数罗尔定理常用来讨论方程根的情况，尤其与某函数的一
7、阶导数有关的方程的一阶导数有关的方程.2022-9-309.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx例例2 2证：证：,15)(15 xxxf）设）设（,1,0)(连续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由零点定理知，由零点定理知，.0)(),1,0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1 1的正实根的正实根.,),1,0(2011xxx ）设设另另有有（.0)(1 xf使使,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使使得得之之间间介介于于至至少少存存在在一一个个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但
8、)1,0(,0 x矛盾矛盾,.0为唯一实根为唯一实根x结论结论:可微函数在任意两个零点之间至少有其导函数的一个零点可微函数在任意两个零点之间至少有其导函数的一个零点存在存在唯一唯一2022-9-3010拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)：（1）在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,（2）在开区间在开区间),(ba内可导内可导,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立.).()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()(fabafbf
9、结论亦可写成结论亦可写成二、二、LagrangeLagrange中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式2022-9-3011ab1 2 xxoy)(xfy ABCDN)(,(xfxM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦ABAB方程为方程为).()()()(axabafbfafy NM).()()()()(axabafbfafxf )(xF).()(bFaF 显然显然2022-9-3012么么么么方面么么么么方面 Sd
10、s绝对是假的绝对是假的证证条条件件中中与与罗罗尔尔定定理理相相差差弦弦ABAB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减减去去弦弦曲曲线线.,两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线ba构造辅助函数构造辅助函数).()()()()(axabafbfafxf ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF,),(内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba0)()()(abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或.0)(F使使得得ab1 2 xoy)(xfy ABCDxNM)()(bfaf NM)(xF拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式拉格朗日中值公
11、式精确表达了函数在一区间上的增量与拉格朗日中值公式精确表达了函数在一区间上的增量与函数在该区间内某点处一阶导数之间的关系函数在该区间内某点处一阶导数之间的关系.注注:2022-9-3014,),()()3内内可可导导在在设设baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理注意：注意：1 1）b b a a 上述公式也成
12、立；上述公式也成立；2 2）若）若f f（b b）=f=f（a a）时，即为罗尔定理；）时，即为罗尔定理；比较：比较：xxfxoxxfy )()()(00增量近似公式2022-9-3015.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf推论推论1推论推论2:2:Cxgxfxgxf 2022-9-3016 例例3).11(2arccosarcsin xxx 证明证明证：证：1,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20
13、 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx2022-9-3017 例例4 4证：证：.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当),1ln()(txf 设设,0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即方法：方法：构造函数、选区间、应用定理、放大缩小构造函数、选区间、应用定理、放大缩小说明：说明：上应用拉氏定理上应用拉氏定理，在在令令xttf 11ln2022-9-3018拉格朗日中值
14、定理：拉格朗日中值定理：，)(:xfyL，的斜率：的斜率：易知弦易知弦)()()()(aFbFafbfAB ),(,)()()(baFfdxdytx baaFbFafbfFf ,)()()()()()(即即柯西中值定柯西中值定理理abafbff )()()(确定且确定且由由)()(xy),(,)()(battfytFxL ）给出）给出（由参数方程由参数方程若若问题：问题：拉格朗日中值定理的结论会怎样？拉格朗日中值定理的结论会怎样？btoABa),(,)()()(battFtfx 2022-9-3019三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西柯西柯西(Cauchy
15、 Cauchy)中值定理中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF：（1）在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,（2）在开区间在开区间),(ba内可导内可导,（3）)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，内每一点处均不为零，那那么么在在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()()(FfbFaFbfaf成立成立.)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM几何解释几何解释:.),(),(ABfFCAB处的切线平行于弦处的切线平行于弦在该点在该点点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧 2022-9-3020注注:,
16、)(1xxF）当）当（,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式)()()()()()(22abFaFbFabfafbf ，使，使，使，使得：得：）问题：由定理）问题：由定理（.)()()()()()(FfaFbFafbf？说明说明:1、柯西定理中的柯西定理中的 是同一过程中的量是同一过程中的量.2、当考察两个函数与其导数之间的关系时，可、当考察两个函数与其导数之间的关系时，可考虑用柯西定理考虑用柯西定理.2022-9-3021).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使
17、使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数例例5 5证：证：结论可变形为结论可变形为:2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff ).0()1(2)(fff 即即2022-9-3022Lagrange(1736 Lagrange(1736 1813)1813)法国数学家、力学家、天文学家。他在数学法国数学家、力学家、天文学家。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离
18、上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。他是仅仅是其他学科的工具。他是1818世纪对微积分基世纪对微积分基础的严格化做出尝试的主要代表人物之一，他承础的严格化做出尝试的主要代表人物之一，他承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，并认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，并主张用泰勒级数来定义导数，由此给出我们现在所谓的拉哥朗主张用泰勒级数来定义导数，由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。另外，他在代数学、微分方程、数论、方程论、日中值定理。另外，他在代数学、微分方程、数论、方程论、无
19、穷级数等领域都做出了重要贡献，堪称法国最杰出的数学大无穷级数等领域都做出了重要贡献，堪称法国最杰出的数学大师。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地师。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。溯源于拉格朗日的工作。返回返回2022-9-3023Cauchy(1789 Cauchy(1789 1857)1857)法国伟大的数学家、力学家。法国伟大的数学家、力学家。他对数学他对数学的贡献主要集中在微分学，复变函数，微分的贡献主要集中在微分学，复变函数，微分方程方面。方程方面。关于微积分最具代表性的著作是关于微积分最具代表性的著作是他的他的分析教程分析教程
20、(1821)(1821)、无穷小计算教无穷小计算教程程(1823)(1823)以及以及微分计算教程微分计算教程(1829)(1829)，它们以微积分的严格化为目标，对微积分的它们以微积分的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义。在此基一系列基本概念给出了明确的定义。在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。一生发表论文一生发表论文800800余篇，著书余篇，著书7 7本，本，柯西全集柯西全集共有共有2727卷，卷，是仅次于欧拉的多产数学家。是仅次于欧拉的多产数学家。返回返回2022-9-3024作作 业业25
