1、第六章第六章 微分中值定理微分中值定理及其应用及其应用中值定理与导数的应用16.1 6.1 微分中值定理微分中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理与导数的应用2?.).()()()(.,存在什么样的关系与直线我们来看看曲线的切线该是每点处的切线而与曲线有关的直线应：线两个端点的直线因此，可得到一条过曲），（已知条件是laxabafbfafylbaxxfy)(xfy)(,(afa)(,(bfb)()()()(axabafbfafybxaOyTlT 与 l 平行这样的x可能有好多中值定理与导数的应用3bxaOy高了低
2、了到了AB一个特殊的例子：假设从A点运动到B点，那么有许多种走法，首先我们来看一个例子。行走的典型路线如下：中值定理与导数的应用4bxaOyABmaxf0)(,minffxfxf)()(0)(f0)(f0)(fxfxf)()()(0)()(xfxf0)()(xfxf这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0.几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.结论:Rolle定理.0)(),().()(.3;),()(.2;,)(.1)(fbaafbfbaxfbaxfxf使得那么至少存在一点内可微在上连续在满足条件：假设函数中值定理与导数的应用5一、罗尔(Rolle)定理罗尔（罗尔（R Ro
3、lleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在在 闭区间闭区间 ,ba上上连续连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零，即即0)(f )1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3(xx,3,1上连续上连续在在 ,)3,1(上可导上可导在在 ,0)3()1(ff且且)3,1(1(,1 取取.0)(f),1(2)(xxf中值定理与导数的应用6几何解释几何解释:ab1 2 xyo
4、)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC中值定理与导数的应用7证证.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(Mxf 则则.0)(xf由此得由此得),(ba .0)(f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf.取得取得最值不可能同时在端点最值不可能同时在端点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()(fxf,0)()(fxf中值定理与导数的应用8,0 x若若;0)()(xfxf则有则有,0 x若若;0)()(xfxf则有则有;0
5、)()(lim)(0 xfxffx;0)()(lim)(0 xfxffx,)(存存在在 f).()(ff.0)(f只只有有中值定理与导数的应用9注意注意:罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可其结论可能不成立能不成立.例如例如,又例如又例如,1,0,)(xxxf0,1,0(,sin)(xxxxf.,0)2(),0(2,31,0即罗尔定理的结论成立有，但存在点）、件上不满足罗尔定理的条在ff.0)(,)10(),3 1,0ff使得不存在点内，在件上不满足罗尔定理的条在中值定理与导数的应用10f(x)满足条件(2),
6、(3),但不满足条件(1),在(0,1)内,21)(xf例如例如:(i)y=f(x)=121x1 ,x=1,x0,1)图3-1-2 x y01123中值定理与导数的应用111 ,1|)(xxxfyf(x)在-1,1上,满足条件(1),(3),但不满足条件(2),当 x 时,f (x)=1.x 时,f (x)=1.x=0时,f (0)不存在.(ii)0 x y111图3-1-3y=|x|中值定理与导数的应用12(iii)y=f(x)=x,x1,2,f(x)在1,2上满足条件(1),(2),但不满足条件(3),在(1,2)内,f (x)=1.02112xy图3-1-4y=x 中值定理与导数的应用1
7、3例例1 1 设函数 f(x)=(x1)(x2)(x3),不求导数,试判 断方程 f x 有几个实根,它们分别在何区间?解解:f(x)在1,2上连续,在(1,2)上可导,且 f(1)=f(2);由罗尔定理:1,使 f (1;同理,2,注意到f(x)=0为二次方程,使 f (2;它至多有两个实根,故 1,2是 f(x)=0 的全部实根.中值定理与导数的应用14例例2 2.10155的正实根的正实根有且仅有一个小于有且仅有一个小于证明方程证明方程 xx证证,15)(5 xxxf设设,1,0)(连续连续在在则则xf.3)1(,1)0(ff且且由介值定理由介值定理.0)(),1,0(00 xfx使使即
8、为方程的小于即为方程的小于1 1的正实根的正实根.,),1,0(011xxx 设设另另有有.0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx.0)(f)1(5)(4 xxf但但)1,0(,0 x矛盾矛盾,.为唯一实根为唯一实根中值定理与导数的应用15二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)在在 闭区间闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,那末那末在在),(ba内至少有一点内
9、至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立.)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成中值定理与导数的应用16么么么么方面 Sds绝对是假的)(xfy)(,(afa)(,(bfb)()()()(axabafbfafybxaOyTlT 与 l 平行.0 ,)(,了典型情形，从而化为处等于和差在因此它们的是相等的与直线处和注意到在balxfyba0)()()()()()()()(bFaFaxabafbfafxfxFyABT平行与ABT同一点中值定理与导数的应用18
10、ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧证证分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦ABAB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf减去弦减去弦曲线曲线.,两端点的函数值相等两端点的函数值相等所得曲线所得曲线ba中值定理与导数的应用19作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF.0)(,),(Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则
11、在则在0)()()(abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.中值定理与导数的应用20,),(,)(内可导内可导在在上连续，上连续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可写成也可写成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉
12、格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理中值定理与导数的应用21推论推论2 2()(),()().Ifxg xIf xg xC如果 在区间上恒成立则 在区间上有 证明证明 12,.xx 的任意性，即得结论推论推论1 1(),().If xf xI如果在区间上函数的导数恒为零则在区间上是一个常数1212,x xIxx任取且应用拉氏公式，得到212112()()()()()f xf xfxxxx在 与 之间21()0()(),ff xf x由条件知，于是有由点中值定理与导数的应用22例例3 3).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证1
13、,1,arccosarcsin)(xxxxf设设)11(11)(22xxxf .0 1,1,)(xCxf0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx中值定理与导数的应用23例例4 4.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证证),1ln()(xxf 设设,0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(,0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln(xxx 0又又x 111,11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即中值定理与导数的应用24例例5.5.设 a
14、b0 n1.证明证明:令 f(x)=x n 显然 f(x)在 b,a上满足拉格朗日定理条件,证明:nbn1(ab)an bn nan1(a b)有 f(a)f(b)=f()(ab)(b a)即 an bn=n n1(a b)又 0b 1所以 bn1 n1 an1 nbn1(a b)n n 1(a b)nan1(a b)即 nbn1(ab)an bn nan1(a b)中值定理与导数的应用25三、柯西(Cauchy)中值定理柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且
15、且)(xF在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内内至少至少有一点有一点)(ba ,使等式使等式 )()()()()()(FfaFbFafbf 成立成立.中值定理与导数的应用26几何解释几何解释:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x.0)(,),(使得使得内
16、至少存在一点内至少存在一点则在则在ba中值定理与导数的应用27,0)()()()()()(FaFbFafbff即即.)()()()()()(FfaFbFafbf.0)(,),(使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba,)(xxF 当当,1)(,)()(xFabaFbF)()()()()()(FfaFbFafbf).()()(fabafbf中值定理与导数的应用28例例6 6).0()1(2)(),1,0(:,)1,0(,1,0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证证分析分析:结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff
17、.)()(2 xxxf,)(2xxg 设设,1,0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1,0(2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即中值定理与导数的应用29四、小结四、小结RolleRolle定理定理LagrangeLagrange中值定理中值定理CauchyCauchy中值定理中值定理xxF)()()(bfaf 2 2 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；理之间的关系；1 罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理中罗尔定理、拉格朗日中值定理
18、、柯西中值定理中条件是充分的，但不是必要的条件是充分的，但不是必要的.3 3 证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔证明函数方程或方程的根的存在性，可以考虑应用罗尔定理定理.4 应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明一些不等式一些不等式中值定理与导数的应用30思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.中值定理与导数的应用31思考题解答思考题解答 1,310,)(21xxxxf不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件；的条件；,1)(2baxxxf 且且0 ab不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的条件；的条件；以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.中值定理与导数的应用32
