1、第二部分第二部分 攻克专题得高分攻克专题得高分专题三专题三 第第25题综合与实践题综合与实践类型二 面积最值问题（2012、2011、2009.25）【类型解读】面积最值问题（不涉及辅助圆）近10年考查2次，此类问题多涉及图形变换.24 3一、借助三角形的6种面积公式求面积及其最值1.已知ABC两边a=8，b=12，且夹角为60，则此三角形的面积为 .大题小做【解析】11=sin60=8 123=24 3.22ABCSab 2.已知三角形两边分别为4、7，则此三角形的最大面积为 .141=4 7sin=14sin142S ，【解析】设已知两边的夹角为，则 S最小=14.3.如图，已知点P是半径
2、为1的 A上一点，延长AP到C，使PCAP，以AC为对角线作 ABCD，若AB ，则 ABCD面积的最大值为.323【解析】已知AP1，PCAP，AC2，ABCD面积的最小值为12=2sin2 3sin2 32ABCDABCSSACABCABCAB，23.第3题图4.如图，矩形ABCD的四个顶点分别在同心圆的两圆的圆周上，大圆的半径为4，小圆的半径为3，则矩形ABCD的面积最大值为.【解析】如解图，作两圆的圆心O，连接OA，OD，由图可知 当sinAOD最大时，矩形ABCD的面积最大，即 AOD=90则S矩形ABCD=4SABC=24.11=sin42AODAODABCDSSSOA ODAOD
3、矩形，又，13416,2AODS24第4题解图第4题图已知ABC两边长及其夹角，利用SABC absinC bcsinA acsinB；已知ABC两边长a、b，求最大面积，设a、b两边夹角为，因为sin1(当且仅当90时等号成立)，因此当且仅当这两边垂直时，SABC最大 ab；求四边形面积时转化为三角形的面积和来求.12121212方法指导二、与位似结合的面积最值问题1.如图，请你利用作位似图形的方法，在RtABC中，作出两边分别落在两直角边上的与正方形CNPM位似的最大正方形CNPM.自主解答：第1题图解：解：如解图，连接CP，并延长交AB于点P，过点P分别作PMAC于点M，PNCB于点N.
4、则四边形MPNC为所求作的正方形 第1题解图利用位似将正方形CNPM放大的步骤：确定位似中心C；连接CP并延长交AB于点P；过点别作PMAC于点M，PNBC于点N.方法指导2.如图，在边长为(3 )的正三角形ABC内，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形EFPN，且使正方形EFPN的面积最大，并求此时正方形的边长自主解答：3第2题图解：如解图，连接AP并延长交BC于点P，过P作PNAB，PFAB于点F，过N作NEAB于点E，则四边形EFPN为所求作的正方形；设正方形EFPN的边长为x.ABC为等边三角形，AEBF x.x x3 .
5、x ，即x .332 33393 32 333 33第2题解图利用位似将正方形EFPN放大的步骤：确定位似中心A；连接AP并延长交BC于点P；过P分别作PFAB于点F，PNAB交AC于点N，过点N作NEAB于点E.方法指导二、与圆结合求面积或面积最值1.如图，在半径为R的半圆O内(含弧)，画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个三角形的面积.自主解答：第1题图解：当该正三角形的第三个顶点在半圆与直径MN的垂直平分线的交点上时，三角形的面积最大.这时该正三角形的高即为半圆O的半径.如解图，COAB，COR，且AOBO，即SABC面积最大，AB2BO2Rtan30 R.SABC AB
6、CO RR R2.33122 331233 符合面积最大的正三角形的第三个顶点应是直径的垂直平分线与半圆的交点，这时正三角形的高为R.方法指导第1题解图2.如图，在半径为R的半圆O内(含弧)，画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积.自主解答：第2题图解：如解图，当点O为正方形一边中点时，即正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形.连接OA，设OBa，则AB2a.在RtABO中，a2(2a)2R2，a2 R2，S正方形ABCD(2a)24a2 R2.1545 符合题意的正方形的另外两个顶点应落在半圆上，即是以O为一边中点的正方形方法指导第2题解图3.如图，现有一块半径
7、R6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在直径MN上的面积最大的矩形？若存在，求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由.自主解答：第3题图解：存在.如解图，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在 上，再过O作OFAD交AD于点E，交半圆O于点F.则矩形AEOB和矩形DEOC的面积相等.要使矩形ABCD的面积最大，只需矩形DEOC的面积最大.而当矩形DEOC为正方形，OC2CD2R2，即OC2 R2时，矩形DEOC的面积最大为 R2，这时矩形ABCD的最大面积为2 R2R236.MN121212 要使得所作的矩形的面积最大，只要使该矩形被直径MN的垂直平分线所分的两个矩形的面积最大即可.第3题解图方法指导
