1、题型十题型十 二次函数综合题二次函数综合题题型分类突破题型分类突破例例1 如图，已知抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线yaxb经过点A、C，抛物线的顶点为点D，对称轴为直线l.(1)求直线AC的解析式；225212xxy类型一 线段、周长最值问题例1题图【题型解读】重庆中考二次函数综合题的考查多以题干中给出解析式的形式考查，第(2)问多为线段最值问题，第(3)问多为特殊图形的判定问题【思维教练】(1)抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，令x0，得y2，令y0，即，化简得x25x40，解得x11，x24，A(4，0)、B(1，0)、C(0，2)，将A(4，0)、C(0，2)
2、代入yaxb，得解得 ，直线AC的解析式为；215222yxx 402abb 2152022xx122ab 122yx(2)设点E为x轴上一点，且AECE，求点E的坐标；例1题图【思维教练】(2)如解图，由点E在x轴上，可设点E的坐标为(e，0)，连接CE，则AE4e.在RtCOE中，根据勾股定理得CE2OC2OE222e2，AECE，(4e)222e2，解得e ，则点E的坐标为(，0)；3232例1题解图(3)设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GDGB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；例1题图【思维教练】要求GDGB的值最小，先找点B关于y轴的对称点B，再连接BD，
3、BD与y轴的交点即为所求的点G，先求直线BD的解析式，再求其与y轴的交点即可(3)存在如解图，取点B关于y轴的对称点B，则点B的坐标为(1，0)连接BD，直线BD与y轴的交点G即为所求的点设直线BD的解析式为ykxd(k0)，其中将点B、D两点的坐标代入得，解得直线BD的解析式为令x0得y ，点G的坐标为(0，)；5 9(,),2 8D0,5928kdkd 928,928kd99,2828yx928928例1题解图(4)在对称轴l上是否存在一点F，使得BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；例1题图【思维教练】因为BC长为定值，要使BCF周长最小，即
4、要使CFBF的值最小，由点A、B关于对称轴l对称，可知AC与对称轴l的交点即为点F，即可使CFBF最小，将 代入直线AC的解析式，即可求得F点的坐标，在RtAOC中可得AC的长，在RtBOC中可得BC的长，即可得BCF的最小周长52x(4)存在要使BCF的周长最小，即BCBFCF最小如解图，连接BC、BF，在RtOBC中，OB1，OC2.由勾股定理得 为定值，只需BFCF最小点B与点A关于直线l对称，AC与对称轴l的交点即为所求的点F.将x 代入直线 得点F的坐标为()在RtAOC中，AO4，OC2，根据勾股定理得BCF周长的最小值为例1题解图22125BC 52122yx1532.224y
5、53,2422422 5,AC 52 53 5.BCAC(5)若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h，线段HKd.求d关于h的函数关系式；求d的最大值及此时H点的坐标；例1题图【思维教练】由题可得点H的横坐标为h，分别将h代入抛物线及直线AC的解析式中，即可得到点H、K的纵坐标，再由点H在点K的上方，可得到d关于h的函数关系式；利用二次函数的性质求最值，即可得d的最大值(5)如解图，点H在抛物线上，设点H的坐标为 (0h4)，HKy轴，交AC于点K，点K的坐标为，点H在点K的上方，d关于h的函数关系式为215,222hhh（）221511(2
6、)(2)2.2222HKdhhhhh 1,22hh（）212;2dhh 例1题解图由可知，当h2时，d最大，024，符合题意，当h2时，d最大，最大值为2，此时点H的坐标为(2，1)；2221112(4)(2)2222dhhhhh (6)设点Q是对称轴右侧抛物线上一点(Q不与A重合)，过点Q作y轴的平行线，交AC于点M，交x轴于点R，若QM3MR，求点Q的坐标例1题图【思维教练】要求点Q的坐标，需分点Q在点M的上方和点Q在点M的下方两种情况讨论，在每种情况下用点Q，M，R的纵坐标表示出QM和MR的长度，利用QM3MR列方程求解，注意检验计算结果的合理性(6)设点Q的横坐标为q，当点Q在点M的上
7、方时(q4)，如解图.此时解得q13或q24，均不符合题意，舍去综上可知，满足条件的点Q的坐标为(3，1)12,2115122(2)(2)2,2222qQMqqqqq MR 21123(2),22qqq例1题解图例例2 如图，在直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且一次函数经过点A、C.类型二 与面积有关的问题例2题图解：(1)已知抛物线解析式yx22x3，令y0，即x22x30，解得x13，x21，A(3，0)，B(1，0)，令x0，得y3，C(0，3)设一次函数解析式ykxb(k0)，代入A、C点坐标，解得k1，b3，yx3；(1)求一次函数的解析式；(2
8、)Q点的坐标为(2，3)或(0，3)或(2)点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E在x轴上，在抛物线上存在点Q，使得QAE的面积与CBE的面积相等，请直接写出点Q的坐标；【思维教练】QAE与CBE的底边AEBE.要使两三角形面积相等，只要高相等，CBE的底边BE上的高为3，点Q的纵坐标为3或3时，满足条件，分别代入抛物线解析式求解即可(17,3)(17,3)或；例2题图【解法提示】如解图，依题意AEBE，当QAE的边AE上的高为3时，QAE的面积与CBE的面积相等当y3时，x22x33，解得x12，x20，点Q的坐标为(2，3)或(0，3)；当y3时，x22x33，解得点Q的坐标为综上
9、所述，点Q的坐标为(2，3)或(0，3)或例2题解图17x ，(17,3)(17,3)或；(17,3)(17,3).或(3)在(2)的条件下，连接AD，CD，求四边形AOCD和ACD的面积；例2题图【思维教练】要求四边形AOCD和ACD的面积，由于四边形AOCD是不规则图形，则可利用S四边形AOCDSAODSCOD计算由于ACD的底与高不容易计算，所以可利用S四边形AOCDSAOC计算如解图，连接OD，易知点D的坐标为(1，4)，S四边形AOCDSAODSCODSACDS四边形AOCDSAOC.11153 43 1.222 1593.22例2题解图(4)在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点
10、M，使MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；例2题图【思维教练】要使MAC面积最大，可先把MAC的面积用含字母的式子表示出来，再利用二次函数的性质讨论其最值，进而求得M点坐标(4)存在一点M ，使MAC的面积最大理由如下：如解图，过点M作MNy轴，交AC于点N，设M(x，x22x3)，则N(x，x3)，MNx22x3(x3)x23x，SMACSAMNSCMN 0，当x时，SMAC的值最大为 ；当x 时，点M的坐标为存在点M ，使MAC的面积最大；3 15(,)2 4221333273(3)(),22228MNxxx 322783223315()2()3,224y 3
11、 15().24，3 15()2 4，32例2题解图(5)点H是抛物线第二象限内一点，作HGx轴于点G，交AC于点I，试确定H点的位置，使HGA的面积被直线AC分为1 2的两部分；例2题图【思维教练】HGA的面积被直线AC分为1 2两部分，由于高AG一样，只需HI与IG的比为1 2即可，利用HI与IG为1 2与2 1关系列方程求解即可(5)如解图，可分两种情况讨论：()若H1I12I1G1，则有x23x2(x3)，整理得x25x60，解得x12，x23(不合题意，舍去)，H1(2，3)；()若2H2I2I2G2，则有2(x23x)x3，整理得2x27x30，解得x1，x23(不合题意，舍去)，
12、综上所述，点H的坐标为H1(2，3)或例2题解图1221 15(,)2 4H；21 15(,).2 4H【思维教练】先假设存在点R，使得SRBC.过点R作BC的垂线交BC于点K，可得BCRK.此时点R，K坐标不容易计算可考虑作RHy轴与BC延长线相交于点F，利用RKF与BOC相似，RFOBBCRK9，设出R点坐标，利用此关系式，解方程求解(6)若点R是抛物线上的一点，且位于对称轴的左侧，是否存在点R，使SRBC？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由929292例2题图12例2题解图(6)假设存在点R，使SRBC ，如解图，过点R作RKBC，交BC的延长线于点K，作RHy轴，交x轴于点H
13、，交BC的延长线于点F，则FBCO，RKFBOC90，RKFBOC，BCRKBORF，又SRBC ，BO1，RF9，由B(1，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为y3x3，92,RKRF=BOBC92119222BC RK=BO RF=，设R(x，x22x3)(3x1)，则F(x，3x3)，RF3x3(x22x3)x2x，x2x9，解得 (不合题意，舍去)，当时，存在点R，使SRBC，点R的坐标为12137137,22xx11372x3 3715,2y137 3 3715(,22R）92137 3 3715(,22）.1.坐标平面内图形面积的表示12122.图形面积最值问题的计算通常利用
14、1中方法用点坐标表示出面积，利用二次函数的性质来求最大值或最小值例例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C，直线BC的解析式为ykx3，抛物线的顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，与x轴交于点F.类型三 与特殊三角形有关的问题例3题图(1)求抛物线的解析式；【思维教练】已知A，B点坐标，可将抛物线解析式设为交点式，然后代入C点坐标，求解即可，而C点是直线ykx3与y轴的交点，只需令x0，求出y的值即可求得C点坐标(1)直线BC的解析式为ykx3，令x0，得y3，点C的坐标为(0，3)，又抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，可设
15、抛物线的解析式为ya(x1)(x3)，将C(0，3)代入，得3a3，解得a1，抛物线的解析式为yx22x3；(2)连接AC，CF判断CAF的形状，并说明理由；例3题图【思维教练】观察题图可知CAF应该是以AC、FC为腰的等腰三角形，又COAF，所以只需求得AOFO即可得证，A点坐标已知，F点为抛物线的对称轴与x轴的交点，只需再根据抛物线解析式求出对称轴即可(2)CAF是等腰三角形，理由如下：抛物线的对称轴为x1，点F的坐标为(1，0)，AOOF1，COAF，CO是线段AF的垂直平分线，CACF，CAF是等腰三角形；(3)x轴上是否存在点G，使得ACG是以AC为底边的等腰三角形，若存在，求出点G
16、的坐标；若不存在，请说明理由；例3题图【思维教练】当ACG是以AC为底边的等腰三角形时，有AGCG，设出点G坐标，然后表示出AG和CG，列关系式即可求解，若有解，则存在，否则不存在(3)存在如解图，作AC的垂直平分线，交x轴于点G，连接CG，则点G即为所求，设点G的坐标为(g，0)，在RtCOG中，CO3，OGg，由勾股定理，得CG2CO2OG29g2，又AGg1，AGCG，9g2(g1)2，解得g4，此时点G的坐标为(4，0)；例3题解图(4)若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得PDQ是等边三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；例3题图【思维教练】由(1
17、)知抛物线的解析式，对称轴及顶点D的坐标，过点P作PHDQ于点H，设出P点坐标，H点横坐标已知，纵坐标与P点纵坐标相等，由等边三角形的性质可得PH DH，可列出等式，分点P在DQ的左侧和右侧两种情况，求得点P的坐标3(4)存在由(1)得抛物线的解析式为yx22x3，对称轴为x1，顶点D的坐标为(1，4)，点P在抛物线上，设点P的坐标为(t，t22t3)，如解图，过P作PHDQ于点H，连接DP，PQ，DPQ是等边三角形，PHx轴，且DHHQ，PHDH，点H的坐标为(1，t22t3)，例3题解图3DH4(t22t3)t22t1，当点P在DQ的右侧时，PHt1，即解得 t2=1(舍)，此时点P的坐标
18、为当点P在DQ的左侧时，根据抛物线对称性可知，此时点P的坐标为综上所述，存在点P使得PDQ是等边三角形，点P的坐标为213(21)ttt 23(2 31)310,tt 13133,33t33 11(,),3333 11(,).3333 1133 11(,)(,).3333或(5)在x轴上是否存在点G，使得BGE是直角三角形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；例3题图【思维教练】由EBO90，可知要使BGE是直角三角形，只需分EGB90或GEB90两种情况讨论即可得解(5)存在点G在x轴上，设点G的坐标为(g，0)(i)由EFx轴可得，当点G与点F重合时，BEG是以EGB为直角的直角
19、三角形，此时点G的坐标为(1，0)；(ii)当GEEB即GEB90时，由(1)知点C坐标为(0，3)，又点B坐标为(3，0)，OBOC，EBG45，EGB45，EGEB，EFBG，GFBF2，此时点G与点A重合，其坐标为(1，0)，综上所述，使BGE为直角三角形的G点坐标为(1，0)或(1，0)；(6)若点H在抛物线的对称轴上，是否存在点H，使得BCH是直角三角形，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由例3题图【思维教练】分HCB90、HBC90、CHB90三种情况讨论，利用直角三角形的性质求解(6)存在设点H的坐标为(1，h)，要使BCH为直角三角形，可分以下三种情况讨论：(i)HCB
20、90.如解图，DCBC，此时点H与点D重合，坐标为H(1，4)；(ii)H2BC90，如解图，易得BEH2BH2E45，BEBH2，又BFEH2，FH2EF2，此时点H的坐标为(1，2)；例3题解图例3题解图(iii)CH3B90，如解图，过点C作CMDF于点M，则CH3MBH3E90，BH3EFBH390，CH3MFBH3，又CMH3BFH390，CH3MH3BF，解得此时这样的点H有两个，坐标分别为综上所述，存在点H使得BCH是直角三角形，点H的坐标为(1，4)，例3题解图3332,1H MBFh=CMH Fh，即12317317,22+hh=，3173171,),22+(),(1,317
21、3171,).22+(),(1,探究特殊三角形存在性问题的方法探究特殊三角形存在性问题的方法首先假设存在满足条件的点，然后设出点坐标1.代数法：(1)利用点坐标分别表示出三条线段长的平方；(2)若为等腰三角形且底边不确定，分别令两两相等列方程求解即可；若为直角三角形且直角顶点不确定，分别令三条边为斜边，利用勾股定理列方程求解即可2.几何法：(1)等腰三角形存在性问题：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧
22、与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点时，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点作图如图：分别以点A、B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有符合条件的P点；计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅助线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解(2)直角三角形存在性问题：观察图形，判断顶点是否确定，若不确定，则需分类讨论；
23、结合题干，在图中找出所有满足条件的顶点，作图如图：分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点；计算：作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系求解例例4如图，抛物线yx26x5经过A，B，C三点，点B在点A右侧，顶点为M，连接AC，抛物线的对称轴为l，l与x轴交点为点D，与AC交点为点E.类型四 与特殊四边形有关的问题例4题图(1)求直线AC的解析式及点E的坐标；【思维教练】已知A，B点坐标，可将抛物线解析式设为交点式，然后代入C点坐标，求解即可，而C点是直线ykx3与y轴的交点，只需令x0，求出y的值即可求得C点坐标(1)已知抛物线的解析式为yx26x5，
24、令y0，解得x15，x21，A(5，0)，B(1，0)，令x0，解得y5，C(0，5)，设直线AC的解析式为ykxb，分别代入A、C的坐标，解得k1，b5，直线AC的解析式为yx5，已知抛物线的对称轴为x 3，将x3代入yx5，得y2，E(3，2)；62 1(2)抛物线沿直线AB平移，使得点A落在点B处，此时点C的对应点为C，求点C的坐标，试判定四边形ABCC的形状，并说明理由；例4题图【思维教练】根据平移的性质可知，点A平移到点B的规律与点C平移到点C的规律一致，即可得到点C坐标，再由ABCC，ABCC判定四边形的形状(2)四边形ABCC是平行四边形理由如下：A(5，0)，B(1，0)，C(
25、0，5)，如解图，由平移可知：C(4，5)AB4，CC4，ABCC，四边形ABCC是平行四边形；例4题解图(3)设点G是抛物线上一点，过点G作GHx轴交对称轴l于点H，是否存在点G，使得以A，B，G，H为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；例4题图【思维教练】由GHx轴，AB在x轴上可知ABGH，从而只需证明GHAB即可得到平行四边形ABGH.(3)存在如解图，点G在抛物线上，则设点G的坐标为(g，g26g5)，GHx轴，点H在对称轴l：x3上，点H(3，g26g5)GHAB，要使得ABGH为平行四边形，需GHAB4，即|g3|4，解得g1或g7，当g1时，
26、g26g512，此时点G的坐标为G1(1，12)；当g7时，g26g512，此时点G的坐标为G2(7，12)综上，满足条件的G有两个，坐标分别为(1，12)或(7，12)；例4题解图(4)设点G是抛物线对称轴上一点，点K是平面内一点，是否存在点G，使得以A，C，G，K 为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；例4题图【思维教练】先分析得出只需ACG是直角三角形即可，然后利用勾股定理列方程求解(4)存在要使A，C，G，K为顶点的四边形是矩形，则ACG一定是直角三角形如解图，设点G的坐标为(3，g)，作G1Hy轴于点H，可知AC2525250，AG2(53)2g24g2
27、，CG232(5g)2g210g34，(i)若ACG90，则AC2CG2AG2，即50g210g344g2，解得g8，此时点G的坐标为G1(3，8)；例4题解图(ii)若CAG90，则AC2AG2CG2，即504g2g210g34，解得g2，此时点G的坐标为G4(3，2)；(iii)若CGA90，则CG2AG2AC2，则g210g344g250，解得g16，g21，此时点G的坐标为G2(3，6)或G3(3，1)；综上，满足条件的点G有四个，分别为(3，8)或(3，6)或(3，1)或(3，2)(5)设点Q是抛物线上一点，点R是平面内一点，是否存在四边形AQCR是菱形，若存在，求出点Q的坐标；若不
28、存在，请说明理由例4题图【思维教练】由四边形AQCR是菱形可确定AC是对角线，结合OCOA，过点O作OIAC，且OI平分AC，从而可得点Q在OI上，只需求出OI所在直线的解析式，与抛物线联立解方程组可得点Q的横坐标进而可得点Q的坐标(5)存在如解图，过O作OIAC于点I.OAOC5，AICI，OI是AC的垂直平分线，由四边形AQCR是菱形可知，点Q、R在AC的垂直平分线上，点Q是直线OI与抛物线的交点过点I作II1x轴于点I1，则II1是AOC的中位线，点I的坐标为例4题解图1115152222II=OC=I O=AO=，5 5(,),2 2设直线OI的表达式为ytx，将点I的坐标代入，可得t1，直线OI的表达式为yx，与抛物线的表达式联立得解得综上，Q点有两个，坐标分别为265,xxyx 121272972922,72972922xxyy 729 729729 729,.2222 （）或（）平行四边形存在性问题的解题方法：平行四边形存在性问题的解题方法：
