1、第五章第五章 四边形四边形第二节第二节 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形重难点突破重难点突破 如图，在 ABCD中，过点D作DEAB于点E，点F在CD上，CFAE，连接BF，AF.（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分BAD，AE3，DE4.求矩形BFDE的面积.一、矩形的判定及相关计算一、矩形的判定及相关计算例例 1 1例1题图(1)：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，DFBE.CFAE，CDCFABAE，DFBE，四边形BFDE是平行四边形，DEAB，DEB90，四边形BFDE是矩形；证明证明(2)：ABCD，BAFAFD，AF平分BAD，DAFBAF，DAF
2、AFD，ADDF，在RtADE中，AE3，DE4，AD 5，DF5，矩形BFDE的面积为20.2234解解1.矩形判定的一般思路：首先判定是平行四边形，然后找角或者对角线的关系.若角度容易求，则可找其一角为90，便可判定是矩形；若对角线容易求，则证明其对角线相等即可得到其为矩形；2.运用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长是常用的思路，又因为矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形.矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，可据此能够得到线段或角度的等量关系.满分技法满分技法 如图，已知 ABC
3、D，连接AC，BD，请添加一个条件 ，使 ABCD为菱形（写出符合题意的一个条件即可）.例2题图 例2题图二、菱形的判定及相关计算二、菱形的判定及相关计算例例 2 2 要使 ABCD为菱形，可添加邻边相等，即ABBC，ABAD，BCCD，ADCD，或通过角相等来得到边相等，如ABDADB，也可添加对角线垂直，即ACBD，或通过角为90来得到，如AOB90.【解法提示】ABAD(答案不唯一)（1）如图，已知 ABCD，若E，F分别是BC，AD上的中点，当AB与AC满足 条件时，四边形AECF是菱形；（2）在（1）的条件下，若B30，BC10，求菱形AECF的面积；（3）如图，已知 ABCD，F，
4、E分别是AD，BC上的点，若BC10，当四边形AECF是菱形，ABAC时，求BE的长.例2题图ABAC(1)ABAC；四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABAC，BAC90，在RtABC中，BAC90，点E是BC边的中点，AE BCCE，同理，AF ADCF，AECEAFCF，四边形AECF是菱形(2)解解：连接EF交AC于点O，如解图所示，例2题解图1212【解法提示解法提示】在RtABC中，BAC90，B30，BC10，AC BC5，AB AC5 ，四边形AECF是菱形，ACEF，OAOC，OEOF，OE是ABC的中位线，OE AB ，EF2OE5 ，菱形AECF的面积 ACEF 55
5、 ；1233125 3231212325 32(3)解解：四边形AECF是菱形，AECE，EACECA，ACAB，BAC90，BECA90，BAEEAC90，BBAE，AEBE，BC10，BECE BC5.121.菱形判定的一般思路：首先判定其是平行四边形，然后根据平行四边形的一组邻边相等，来判定其是菱形，这是判定菱形最基本的思路，同时也可以考虑其他判定方法，如四条边相等或对角线互相垂直平分.2.与菱形有关的计算常涉及下面几种：（1）求长度（线段长或者周长）时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个顶角为60，则菱形被连接另外两点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助
6、等边三角形的性质，同时也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；满分技法满分技法（2）求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算.如图，四边形ABCD是正方形，CBE是等边三角形.（1）AEB度，EDA度；（2）若AB2 cm，则SABE cm2，SBED cm2；（3）连接AC，若S正方形ABCD12 cm2，点P是线段AC上一动点，则PEPD的最小值为 cm.三、正方形的判定及相关计算三、正方形的判定及相关计算例3题图例例 3 3337515112 ：(1)75，15；四边形ABCD是正方形，CBE是等边三角
7、形，ABBCBE，ABE906030，AEBBAE 75，同理得CDE75，EDAADCCDE907515；(2)1，1 如解图，过点E作EFBC于点F，则点F为BC的中点，BF1，EF ，SABE ABBF 211 cm2，SBEDS四边形EBCDSBCDSBCESCEDSBCDSBCESABESBCD 2 1 22(1)cm2.解【解法提示】【解法提示】180302331212123123(3)2 ；如解图，连接AC，交BE于点P，连接PD，点B，D关于AC对称，PDPB，PDPEPBPEBE，S正方形ABCD12 cm2，CBE为等边三角形，BEBC2 cm，PEPD的最小值为2 cm.例3题解图3【解法提示】33
