1、微分方程 第七章y,f(x)y求 已知已知 积分问题积分问题 y y求求及及其其若若干干阶阶导导数数的的方方程程已已知知含含,微分方程问题微分方程问题 推广推广)y,yy,f(x,y1)(n(n)微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题例例1 1.一曲线通过点一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的在该曲线上任意点处的解解:设所求曲线方程为设所求曲线方程为y=y(x)y=y(x),则有如下关系式则有如下关系式:xxdyd2 xxyd2Cx 2(C(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C C=1,.xy12 所求曲线方程为所求曲
2、线方程为21 xy由由 得得切线斜率为切线斜率为 2 2x x,求该曲线的方程求该曲线的方程.例例2.2.列车在平直路上以列车在平直路上以sm20的速度行驶的速度行驶,获得加速度获得加速度,sm4.02a求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解:设列车在制动后设列车在制动后 t t 秒行驶了秒行驶了s s 米米,已知已知,0s0t 212CtCt0.2s 得得由由(1)所求运动规律为所求运动规律为t20t0.2s2 说明说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住 ,以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程 .即求即求 s=s
3、s=s(t t).).制动时制动时(1)(1)(2)(2)0.4tdsd22 200ttdds 0C20,C21 得得由由(2)常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数导数的方程叫做含未知函数导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶阶.(本章内容本章内容)0)y,yy,F(x,(n)y,yy,f(x,y1)(n(n)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 ,n n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是分类分类或或(n 阶阶显式显式微分方程微分方程)222222605067402302
4、0211sindd)(CQdtdQRdtQdL)(dy)yx(dx)yx(yxyxyyxyyxxyy)y(x.）（）（）（）（阶数：阶数：说出下列各微分方程的说出下列各微分方程的,00ts 使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxyn 阶方程的阶方程的初始条件初始条件(或初值条件或初值条件):的阶数相同的阶数相同.特解特解21xy200ddtts引例引例24.022ddtsxxdyd2 引例引例1 Cxy 221220CtCt.s 通解通解:tt.s2
5、0202 12 xy特解特解:微分方程的微分方程的解解 不含任意常数的解不含任意常数的解,其图形称为其图形称为积分曲线积分曲线.通解通解:特解特解:0131025142100221022 xxxxxx|y,|y),Cxsin(Cy)(|y,|y,e)xCC(y)(|y,Cyx)(.条件：条件：使函数满足所给的初始使函数满足所给的初始，数关系式中所含的参数数关系式中所含的参数在下列各题中，确定函在下列各题中，确定函例例1.1.验证函数验证函数是微分方程是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的通解的通解,Ax0t 00ttdxd 的特解的特解 .解解:)tsinkCtcoskC(k2
6、12 ),(21为常数CC02xk由初始条件解得由初始条件解得:,1AC 故所求特解为故所求特解为tAcoskx ,02C并求满足初始条件并求满足初始条件 22tdxdtcoskkC21 tcoskkC22 xk202xk22tdxd.tksinCtkcosCx是微分方程的通解是微分方程的通解21 xxxeCeCy,y y)(y)(exy,y yy)(xcosxsiny,yy)(xy,yxy.21212121220402343025212 ）（解解：是是否否为为所所给给微微分分方方程程的的指指出出下下列列各各题题中中的的函函数数是是是是不是不是是是求所满足的微分方程求所满足的微分方程 .(2)
7、(2)已知曲线上点已知曲线上点 处的法线与处的法线与 x x 轴交点为轴交点为 Q QPQxyOx解解:如图所示如图所示,yYy1)(xX 令令 Y Y=0,=0,得得 Q Q 点的横坐标点的横坐标yyxX即即02 xyy点点 处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ PQ 被被 y y 轴平分轴平分,)y,x(P)y,x(P,xyyx 由已知条件得：由已知条件得：.)y,x(点横坐标的平方点横坐标的平方处的切线的科率等于该处的切线的科率等于该）曲线在点）曲线在点（分方程：分方程：、由下列条件确定的微、由下列条件确定的微15作业：作业：P298 1（做书上）（做书上）;2(2)；4(2)
8、;5（1）转化转化 可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(22分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(两边积分两边积分,得得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(由由隐函数隐函数 y (x)是的解是的解.则有则有称为方程的称为方程的隐式通解隐式通解,或或通积分通积分.由由隐函数隐函数 x(y)也是的解也是的解.设左右两端的原函数分别为设左右两端的原函数分别为 G(y),F(x),例例1.求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解:分离变量得分离变量得xxyy
9、d3d2两边积分两边积分xxyyd3d2得得13lnCxy即即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令(C 为任意常数为任意常数)或或y=0 也是方程的解也是方程的解.例例2.解解:分离变量分离变量Ceexy 即即01e)Ce(yx (C 0 )积分积分.exdydyx的通解的通解求方程求方程 xdeydexy 0410019106113055320112-7232222 dy)xx(ydx)(xdxdy)y)(dxdy)(y yx)(yxx)(ylnyxyyx）（解：解：、求下列微分方程的通、求下列微分方程的通：习题习题例例3.解初值问题解初值问题0yd)1x(xdyx2 解解:分离变
10、量得分离变量得xdx1xyyd2 两边积分得两边积分得即即C1xy2 由初始条件由初始条件y(0)=1得得 C C=1=1,11xy2 (C C 为任意常数为任意常数)故所求特解为故所求特解为 1(0)y Cln1x1lnyln2 420122-7002 xxyx|y,xdxsinycosydysinxcos)(|y,e y）（初始条件的特解：初始条件的特解：、求下列微分方程满足、求下列微分方程满足：习题习题例例4.子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰变过程中铀含量衰变过程中铀含量 M(t)随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.解解:根据题意根据题意,有有)0(ddMtM00M
11、MtMMd,ClntMln 得得teCM 由初始条件得由初始条件得0MC 故所求铀的变化规律为故所求铀的变化规律为.eMMt 0td)(已知已知 t=0 时铀的含量为时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO例例5.成正比成正比,求求解解:根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程 tvmdd0v0t 初始条件为初始条件为对方程分离变量对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分然后积分:得得Cmtvkgmk)(ln1)0vkgm 此处(利用初始条件利用初始条件,得得)(lngmk1C 代入上式后化简代入上式后化简,得特解得特解并设降落伞离开跳伞塔时并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为速度为0,)e(1kgmvtmk mgvk 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系降落伞下落速度与时间的函数关系.练习练习:P304 1(1),(2),(9);2(1).
