1、第三节三角函数的图象与性质(全国卷5年11考)【知识梳理知识梳理】1.1.正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中下表中kZ)kZ)函数函数y=sin xy=sin xy=cos xy=cos xy=tan xy=tan x图象图象 函数函数y=sin xy=sin xy=cos xy=cos xy=tan xy=tan x定义域定义域R RR R_ _ 值域值域_R R周期性周期性22_奇偶性奇偶性_奇函数奇函数x|xk2-1,1-1,1-1,1-1,122奇函数奇函数偶函数偶函数函数函数y=sin xy=sin xy=cos xy=cos xy=tan xy
2、=tan x递增递增区间区间 _ _ 递减递减区间区间_ _ _无无2k,22k 2(k,2k)2 2k,232k 2-+2k,-+2k,2k2k2k,2k,+2k+2k2.2.周期函数周期函数(1)(1)前提前提:对于函数对于函数f(x),f(x),存在一个存在一个_T;_T;当当x x取定义域内每一个值时取定义域内每一个值时,都有都有_._.(2)(2)结论结论:周期周期:非零常数非零常数T;T;最小正周期最小正周期:所有周期所有周期中存在一个中存在一个_._.非零常数非零常数f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)最小的正数最小的正数【常用结论常用结论】1.1.正弦函数与余弦函数图象
3、的五个关键点正弦函数与余弦函数图象的五个关键点y=sin x,x0,2,y=cos x,x0,2y=sin x,x0,2,y=cos x,x0,2的五个关键的五个关键点是零点和极值点点是零点和极值点(最值点最值点).).2.2.一个关注点一个关注点求函数求函数y=Asin(x+y=Asin(x+)的单调区间时的单调区间时,应注意应注意的符号的符号,只有当只有当00时时,才能把才能把x+x+看作一个整体看作一个整体,代入代入y=y=sin tsin t的相应单调区间求解的相应单调区间求解,否则将出现错误否则将出现错误.3.3.求周期的三种方法求周期的三种方法(1)(1)利用周期函数的定义利用周期
4、函数的定义:f(x+T)=f(x).f(x+T)=f(x).(2)(2)利用公式利用公式:y=Asin(x+:y=Asin(x+)和和y=Acos(x+y=Acos(x+)的最的最小正周期为小正周期为 ,y=tan(x+,y=tan(x+)的最小正周期为的最小正周期为 .(3)(3)利用图象利用图象:图象重复的图象重复的x x轴上一段的长度轴上一段的长度.2|【基础自测基础自测】题组一题组一:走出误区走出误区1.1.判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)正切函数正切函数y=tan xy=tan x在定义域内是增函数在定义域内是增函数()(2)(2)已
5、知已知y=ksin x+1,xR,y=ksin x+1,xR,则则y y的最大值为的最大值为k+1k+1()(3)y=sin|x|(3)y=sin|x|是偶函数是偶函数()(4)(4)由由 知知,是正弦函数是正弦函数y=sin x(xR)y=sin x(xR)的一个周期的一个周期()2sin()sin63623提示提示:根据三角函数的图象与性质知根据三角函数的图象与性质知(1)(2)(4)(1)(2)(4)是错误是错误的的,(3),(3)是正确的是正确的.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.最小正周期为最小正周期为且图象关于直线且图象关于直线x=x=对称的函数对称
6、的函数是是()3A.y2sin(2x)B.y2sin(2x)36xC.y2sin()D.y2sin(2x)233【解析解析】选选B.B.由函数的最小正周期为由函数的最小正周期为,排除排除C:C:由函数由函数图象关于直线图象关于直线x=x=对称知对称知,该直线过函数图象的最高该直线过函数图象的最高点或最低点点或最低点,对于对于B,B,因为因为 =1,=1,所以选所以选B.B.3sin(2)sin3623.3.若函数若函数f(x)=2sin (0)f(x)=2sin (0)的最小正周期为的最小正周期为 ,则则 的值为的值为_._.(x)3 2f()3【解析解析】因为函数因为函数f(x)=2sin
7、(0)f(x)=2sin (0)的最小正的最小正周期为周期为 ,所以所以 ,即即=4,=4,所以所以f(x)=2sin ,f(x)=2sin ,所以所以 答案答案:0 0(x)3 222(4x)3f()2sin(4)0.3334.4.函数函数f(x)=sin f(x)=sin 的单调递增区间是的单调递增区间是_._.【解析解析】令令 kZ,kZ,得得k-x +k,kZ,k-x +k,kZ,故函数故函数f(x)f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是 ,(kZ).,(kZ).答案答案:,(kZ),(kZ)(2x)42k2x2k242，3883k,k883k,k88题组二题组二:走进教材走进教材1
8、.(20171.(2017全国卷全国卷)函数函数f(x)=f(x)=的最小正周期的最小正周期为为()(源于必修源于必修4P354P35例例2)2)A.4A.4B.2B.2C.C.D.D.sin(2x)32【解析解析】选选C.C.由题意由题意T=.T=.222.(2.(必修必修4P45T34P45T3改编改编)函数函数y=tan 2xy=tan 2x的定义域是的定义域是()kA.x|xk,kZ B.x|x,kZ428kC.x|xk,kZ D.x|x,kZ824 【解析解析】选选D.D.由由2xk+,kZ,2xk+,kZ,得得x x kZ,kZ,所以所以y=tan 2xy=tan 2x的定义域为的
9、定义域为 2k24，kx|x,kZ.243.(3.(必修必修4P384P38例例3 3改编改编)函数函数y=3-2cos y=3-2cos 的最大值为的最大值为_,_,此时此时x=_.x=_.(x)4【解析解析】函数函数y=3-2cos y=3-2cos 的最大值为的最大值为3+2=5,3+2=5,此时此时x+=+2k,kZ,x+=+2k,kZ,即即x=+2k(kZ).x=+2k(kZ).答案答案:5 5 +2k(kZ)+2k(kZ)(x)443434考点一求三角函数的定义域、值域考点一求三角函数的定义域、值域(最值最值)问题问题【题组练透题组练透】1.1.函数函数y=lg sin x+y=l
10、g sin x+的定义域为的定义域为_._.1cos x2【解析解析】要使函数有意义要使函数有意义,则有则有 即即 解得解得 所以所以2kx +2k,kZ.2k0)f(x)=2sin x(0)在区间在区间 上是增函数上是增函数,则则的取值范围是的取值范围是_._.(2)(2)已知函数已知函数f(x)=-4sin -1,g(x)=f f(x)=-4sin -1,g(x)=f 且且lg g(x)0,lg g(x)0,求求g(x)g(x)的单调区间的单调区间.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2,23(2x)6(x)2【解析解析】(1)(1)因为因为x (0),x (0),所以所以x ,x ,因为因为f(
11、x)=2sin xf(x)=2sin x在在 上是增函数上是增函数,2,232,232,23所以所以 答案答案:,22230.3240,，故 3(0,4【一题多解微课一题多解微课】【一题多解一题多解】本例本例(1)(1)还可以采用以下方法还可以采用以下方法:(数形结合法数形结合法)画出函数画出函数f(x)=2sin x(0)f(x)=2sin x(0)的图象如的图象如图所示图所示.要使要使f(x)f(x)在在 上是增函数上是增函数,答案答案:2,23,3220),0.2432 需（即 3(04，(子集法子集法)由由-+2kx +2k(kZ)-+2kx +2k(kZ)得得故故f(x)f(x)的单
12、调递增区间是的单调递增区间是(kZ),(kZ),由题意由题意 (kZ,0),(kZ,0),222k2kx(kZ,22）2k2k,2222k2k,2322 从而有从而有 答案答案:,3220.2423 即，3(04，(2)(2)由题意得由题意得,g(x)=,g(x)=4sin -1,=4sin -1,又由又由lg g(x)0,lg g(x)0,得得g(x)1,g(x)1,所以所以4sin -11,4sin -11,所以所以 所以所以 其中当其中当 时时,7f(x)4sin(2x)126(2x)6(2x)61sin(2x)62，52k2x2kkZ666，2k2x2kkZ662，g(x)g(x)单调
13、递增单调递增,即即kxk+,kZ,k0lg g(x)0中对中对x x取值范围的限制而导致单调区间求错取值范围的限制而导致单调区间求错.【互动探究互动探究】若本例若本例(2)(2)的条件改为的条件改为g(x)=g(x)=求求g(x)g(x)的单调递增区间的单调递增区间.cos(2x)3(x,)2 2 ，【解析解析】g(x)=g(x)=欲求函数欲求函数g(x)g(x)的单调递增区间的单调递增区间,只需求只需求y=cos y=cos 的单调递减区间的单调递减区间.由由2k2x-2k+,kZ,2k2x-2k+,kZ,得得k+xk+,kZ.k+xk+,kZ.cos(2x)cos(2x)33，(2x)33
14、623故函数的单调递增区间为故函数的单调递增区间为 (kZ).(kZ).因为因为x ,x ,所以函数所以函数g(x)g(x)的单调递增区间是的单调递增区间是 2k,k63,2 2,.236 2【规律方法规律方法】1.1.求三角函数单调区间的两种方法求三角函数单调区间的两种方法(1)(1)代换法代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角数式整体当作一个角u(u(或或t),t),利用复合函数的单调性列利用复合函数的单调性列不等式求解不等式求解.(2)(2)图象法图象法:画出三角函数的正、余弦曲线画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求结合图象求
15、它的单调区间它的单调区间.2.2.已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法方法(1)(1)子集法子集法:求出原函数的相应单调区间求出原函数的相应单调区间,由已知区间是由已知区间是所求某区间的子集所求某区间的子集,列不等式列不等式(组组)求解求解.(2)(2)反子集法反子集法:由所给区间求出整体角的范围由所给区间求出整体角的范围,由该范围由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等列不等式式(组组)求解求解.(3)(3)周期法周期法:由所给区间的两个端点到其相应对称中心由所给区间的两个端点到其
16、相应对称中心的距离不超过的距离不超过 周期列不等式周期列不等式(组组)求解求解.14提醒提醒:要注意求函数要注意求函数y=Asin(x+y=Asin(x+)的单调区间时的单调区间时的的符号符号,若若0,0,00,0),=0),=0且且f(x)f(x)在在(0,)(0,)上上单调单调.下列说法正确的是下列说法正确的是()f()2f()82，A.=A.=B.B.C.C.函数函数f(x)f(x)在在 上单调递增上单调递增D.D.函数函数y=f(x)y=f(x)的图象关于点的图象关于点 对称对称1262f()82,2 3(0)4，【解析解析】选选C.C.由题意得函数由题意得函数f(x)f(x)的最小正
17、周期为的最小正周期为T=,T=,因为因为f(x)f(x)在在(0,)(0,)上单调上单调,所以所以 ,解得解得01.01.因为因为 所以所以 2T2f()2f()082，23,3842,32 解得，所以所以f(x)=2sin .f(x)=2sin .对于选项对于选项A,A,显然不正确显然不正确.对于选项对于选项B,B,故故B B不正确不正确.对于选项对于选项C,C,当当-x-x-时时,0 ,0 所以函数所以函数f(x)f(x)在在 上单调递增上单调递增,故故C C正确正确.22(x)3322762f()2sin()2sin 8383122，222x333，2，对于选项对于选项D,0,D,0,所
18、以点所以点 不是函数不是函数f(x)f(x)图象的对称中心图象的对称中心,故故D D不正确不正确.32327f()2sin()2sin434363(,0)42.2.已知函数已知函数f(x)=2sin ,f(x)=2sin ,设设 c=f ,c=f ,则则a,b,ca,b,c的大小关系是的大小关系是_._.7(x)3af(),bf(),76()3【解析解析】f(x)=f(x)=a=a=b=b=c=c=因为因为y=sin xy=sin x在在 上单调递增上单调递增,且且 2sin(x2)2sin(x),33 10f()2sin,721f()2sin,622f()2sin 2sin,33302，10
19、3212，所以所以 即即cab.cab.答案答案:cabca0)(0)的周的周期为期为 ,函数函数y=Atan(x+y=Atan(x+)(0)(0)的周期为的周期为 求解求解.2命题角度命题角度2 2 三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性【典例典例】将函数将函数y=sin(2x+y=sin(2x+)的图象沿的图象沿x x轴向左平移轴向左平移 个单位后个单位后,得到一个偶函数的图象得到一个偶函数的图象,则则的一个可能取的一个可能取值为值为 世纪金榜导学号世纪金榜导学号()A.A.B.B.C.0C.0D.-D.-83444【解析解析】选选B.B.将函数将函数y=sin(2x+y=sin(2x+)的图象
20、沿的图象沿x x轴向左平轴向左平移移 个单位个单位,得到函数得到函数y=sin y=sin =sin ,=sin ,因为此时函数为偶函数因为此时函数为偶函数,所以所以 +=+k,kZ,=+k,kZ,即即=+k,kZ,=+k,kZ,当当k=0k=0时时,=.=.82(x)8(2x)44244【状元笔记状元笔记】奇偶性的判断方法奇偶性的判断方法:三角函数中奇函数一般可化为三角函数中奇函数一般可化为y=Asin xy=Asin x或或y=Atan xy=Atan x的形式的形式,而偶函数一般可化为而偶函数一般可化为y=Acos x+by=Acos x+b的形式的形式.命题角度命题角度3 3三角函数的
21、图象及其对称性三角函数的图象及其对称性【典例典例】函数函数f(x)=Asin(x+f(x)=Asin(x+)的图象关于直线的图象关于直线x=x=对称对称,它的最小正周期为它的最小正周期为,则函则函数数f(x)f(x)图象的一个对称中心是图象的一个对称中心是世纪金榜导学号世纪金榜导学号 ()(A0,0,|)235A.(1)B.(,0)C.(,0)D.(,0)3121212，【解析解析】选选B.B.由题意可得由题意可得 =,=,所以所以=2,=2,可得可得f(x)=Asin(2x+f(x)=Asin(2x+),),再由函数图象关于直线再由函数图象关于直线x=x=对称对称,故故 =A,A,故可取故可
22、取=-.=-.故函数故函数f(x)=Asin ,f(x)=Asin ,令令2x-=k,kZ,2x-=k,kZ,232f()Asin()336(2x)66可得可得x=,kZ,x=,kZ,故函数的对称中心为故函数的对称中心为 kZ.kZ.故函数故函数f(x)f(x)图象的一个对称中心是图象的一个对称中心是 .k212k(,0),212(0)12，【状元笔记】【状元笔记】解决对称性问题的关键解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数的对称轴、熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心对称中心.提醒提醒:对于函数对于函数y=Asin(x+y=Asin(x+),),其对称轴一定经过图其对称轴一定经过图象的最高点或最
23、低点象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的对称中心的横坐标一定是函数的零点零点,因此在判断直线因此在判断直线x=xx=x0 0或点或点(x(x0 0,0),0)是否是函数的对是否是函数的对称轴或对称中心时称轴或对称中心时,可通过检验可通过检验f(xf(x0 0)的值进行判断的值进行判断.【对点练对点练找规律找规律】1.1.函数函数y=(sin 2x-cos 2x)y=(sin 2x-cos 2x)2 2的最小正周期是的最小正周期是()A.2A.2B.B.C.C.D.D.【解析解析】选选C.C.由函数由函数y=(sin 2x-cos 2x)y=(sin 2x-cos 2x)2 2=si
24、n=sin2 22x+2x+coscos2 22x-2sin 2xcos 2x=1-sin 4x,2x-2sin 2xcos 2x=1-sin 4x,所以函数的最小正所以函数的最小正周期为周期为T=T=242.422.2.已知函数已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x+),f(x)=sin(x+)+cos(x+),是偶函数是偶函数,则则的值为的值为()3,2 2 A.0 B.C.D.643【解析解析】选选B.B.因为因为f(x)=2sin f(x)=2sin 是偶函数是偶函数,所以所以 即即=+k(kZ),=+k(kZ),又因为又因为 故故=.=.(x)3k,32 6,2 2 63.3.
25、已知函数已知函数f(x)=sin x+cos x(0)f(x)=sin x+cos x(0)最小正周最小正周期为期为,则函数则函数f(x)f(x)的图象的图象()A.A.关于直线关于直线x=x=对称对称B.B.关于直线关于直线x=x=对称对称C.C.关于点关于点 对称对称D.D.关于点关于点 对称对称312512(,0)125(,0)12【解析解析】选选D.D.化简可得化简可得f(x)=f(x)=由周期公式可得由周期公式可得 =解得解得=2,=2,故故f(x)=f(x)=2sin .2sin .由由 kZkZx=kZ,x=kZ,可得可得A,BA,B错误错误,令令2x+=k,kZ,2x+=k,k
26、Z,可得对称中心横坐可得对称中心横坐标为标为x=kZ,x=kZ,令令k=1k=1得得x=,x=,所以函数所以函数f(x)f(x)的的图象关于点图象关于点 对称对称.312(sin xcos x)2sin(x22),62(2x)62xk,62 1k26，61k,2125125(,0)12数学能力系列数学能力系列1010三角函数问题中的数形结合求解三角函数问题中的数形结合求解能力能力【能力诠释能力诠释】指借助几何直观和空间想象感知事物的指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化形态与变化,利用图形理解和解决数学问题利用图形理解和解决数学问题.【典例典例】(2017(2017全国卷全国卷)设函数设
27、函数f(x)=cos ,f(x)=cos ,则下列结论错误的是则下列结论错误的是()A.f(x)A.f(x)的一个周期为的一个周期为-2-2B.y=f(x)B.y=f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=x=对称对称C.f(x+)C.f(x+)的一个零点为的一个零点为x=x=D.f(x)D.f(x)在在 内单调递减内单调递减(x)3836(,)2【解析解析】选选D.D.当当x x 时时,函数在该区函数在该区间内不单调间内不单调.(,)254x(,)363，【技法点拨技法点拨】三角函数对称轴三角函数对称轴,对称中心的求法对称中心的求法对于可化为对于可化为f(x)=Acos(x+f(x)=Acos
28、(x+)形式的函数形式的函数,如果求如果求f(x)f(x)的对称轴的对称轴,只需令只需令x+x+=k(kZ),=k(kZ),求求x;x;如果求如果求f(x)f(x)的对称中心的横坐标的对称中心的横坐标,只需令只需令x+x+=k+=k+(kZ),(kZ),求求x x即可即可.2【即时训练即时训练】函数函数f(x)=Asin(x+f(x)=Asin(x+)(A,)(A,是常数是常数,A0,0,A0,0,|)|)的部分图象如图所示的部分图象如图所示,若方程若方程f(x)=af(x)=a在在xx 上有两个不相等的实数根上有两个不相等的实数根,则则a a的取值范围的取值范围是是()2,4 2 22A.,
29、2)B.,2)2266 C.,2)D.,2)22【解析解析】选选B.B.由图可知由图可知,函数周期等于函数周期等于,所以所以=2,A=,=2,A=,f(x)=sin(2x+f(x)=sin(2x+)过点过点 ,所以所以2 2 +=+2k,kZ,+2k,kZ,所以所以=+2k,=+2k,因为因为|,|,所所以以=,=,227(,2)1271232323所以所以f(x)=f(x)=在同一坐标系中画出在同一坐标系中画出f(x)=f(x)=其中其中x x 和直线和直线y=ay=a的图象的图象,如如图所示图所示:2sin(2x)3，2sin(2x)3，,4 2，结合图形可知当结合图形可知当 时时,直线直线y=ay=a与曲线与曲线f(x)f(x)有有两个不同的交点两个不同的交点,方程有方程有2 2个不同的实数根个不同的实数根,则则a a的取值的取值范围为范围为 2a222,2.2
