1、第二节一、线性相关与线性无关的概念一、线性相关与线性无关的概念向量的 线性相关性二、向量组的线性相关性的判别二、向量组的线性相关性的判别三、三、线性组合与线性表示线性组合与线性表示 第三章 一、线性相关与线性无关的概念一、线性相关与线性无关的概念一组不全为一组不全为0 0的数的数设设mA,:21为为n元向量组元向量组，如果存在如果存在mxxx,21，使使mmxxx1122L 成立，成立，m,21则称向量组则称向量组 线性相关线性相关。否则称否则称m,21线性无线性无。关关定义定义1 1若若m,21线性无关线性无关，mxxx,21则对任意不全为则对任意不全为0 0的数的数mmxxx1122L，都
2、有，都有即当且仅当即当且仅当021mxxx时，时，式才成立式才成立。,0211a,3212a.0423a()aaa 123201线性相关。线性相关。321,例例1 1即即.1,0,2321kkk例例2 2当向量组含两个非零向量时，当向量组含两个非零向量时，设设naaa,21，,21nbbb线性相关线性相关与与对应分量成正比对应分量成正比与与即即与与的对应分量成比的对应分量成比例例证明证明ka 线性相关线性相关)(la或或与与iikba iilab 或或,0211a3212a例例3 321,对应分量不成比例，对应分量不成比例，21,线性无关。线性无关。,6521a181562a21,对应分量成比
3、例，对应分量成比例，21,线性相关。线性相关。几何上说向量几何上说向量21,共线。共线。例例4求证含有零向量的向量组必线性相关。求证含有零向量的向量组必线性相关。则此向量组必定线性相关。则此向量组必定线性相关。证明证明 设向量组中设向量组中取数取数12110,kkmxxxxx0.kx 1122kkmmxxxx必有必有0k12,rm 12,r 线性相关线性相关线性相关线性相关.即如果部分组线性相关，即如果部分组线性相关，则整体组也则整体组也线性相关线性相关。定理定理1证明证明r,21线性相关，线性相关，因为因为为为0 0的数的数rxxx,21使使成立，因此有成立，因此有rrrmxxx112210
4、0LL其中其中0,0,21rxxx不全为零。不全为零。mr,21线性相关。线性相关。则存在一组不全则存在一组不全rrxxx1122Lr,21m,21线性无关线性无关线性无关线性无关.即：如果整体组线性无关，即：如果整体组线性无关，则部分组也线性无关。则部分组也线性无关。定理定理2利用定理利用定理1 1，用反证法。，用反证法。即：部分相关，整体相关！即：部分相关，整体相关！整体无关，部分无关！整体无关，部分无关！二、二、向量组的线性相关性的判别向量组的线性相关性的判别下面分别对下面分别对数字数字表示的具体向量组的线性相关性表示的具体向量组的线性相关性和用和用字母字母表示的抽象向量组的线性相关性进
5、行判别。表示的抽象向量组的线性相关性进行判别。1、用数字表示的向量组的线性相关性的判别、用数字表示的向量组的线性相关性的判别已知已知12011102120512341524解解设有数设有数12,34,xxx x使得使得例例5 判别下列向量组的线性相关性判别下列向量组的线性相关性xxxx11223344即即11021x 10212x05123xx 425140224321xxxx有有052431xxx052432xxx04421xxxA40111-50251-202211 A00001-10020102001 得同解方程组得同解方程组0241 xx0242 xx043 xx0241 xx0242
6、 xx043 xx得同解方程组得同解方程组方程组的解方程组的解412xx422xx43xx 令令4xk（k 为任意实数）为任意实数）12,xk,22kx3.xkxxxx11223344由由得得123422此向量组线性相关。此向量组线性相关。小结小结首先设有数首先设有数,nxxx12L使得使得归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。归结为判别齐次线性方程组是否有非零解的问题。()nnxxx1122L用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，用数字表示的向量组的线性相关性的判别方法，第二步将第二步将maaa 112111Mmaaa 122222Mnnnmnaaa 12M代入代入)(得得齐次线性
7、方程组。齐次线性方程组。方程组有非零解，方程组有非零解，有 nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xa xa x1111221211222211220020LLLLLLL,n 12L则称向量组则称向量组 线性相关线性相关。方程组只有零解，方程组只有零解，,n 12L则称向量组则称向量组 线性无关线性无关。下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性下面介绍利用矩阵的秩来判别向量组的线性相关性的方法。的方法。这是判别向量组线性相关性的主要方法。这是判别向量组线性相关性的主要方法。定理定理3AX 有非零解有非零解例例6,n 12L线性相关线性相关 An秩秩判断判断32111，1
8、0222，85203，21714，的线性相关性的线性相关性.（无关）（无关）（只有零解）（只有零解）An（秩秩此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。此定理是证明向量组线性相关性的基本方法。解解0330154062401021011015403120102128131502722110214A 321 33007700011010210000110001101021线性相关线性相关.,4321 r An34例例7 判断下列向量组的线性相关性判断下列向量组的线性相关性3021.110152221433解解321,A203110452321000100110321线性无关线性无关.321,R An
9、35243.2130522210534321A52353102305435230000110065100421 R An34解解53334线性相关线性相关.1234,推论推论2设设m元向量组中含有元向量组中含有n个向量个向量,当当nm时，此向量组必定此向量组必定线性相关线性相关。推论推论1当当m=n时，即向量维数时，即向量维数=向量个数时向量个数时,线性相关线性相关（线性无关）（线性无关）向量组构成行列式的值为零，即向量组构成行列式的值为零，即.0A).0(A（1）120230340450 ，例例8 判别下列向量组的线性相关性判别下列向量组的线性相关性含有零向量的向量组必线性相关含有零向量的向
10、量组必线性相关（2）123423453456 ，4 4个个3 3维向量必线性相关维向量必线性相关（3）113022403350abcd ，4 4个个4 4维向量，用行列式（或化阶梯型矩阵）判别维向量，用行列式（或化阶梯型矩阵）判别。二、二、向量组的线性相关性的判别（续）向量组的线性相关性的判别（续）2、对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别对字母表示的抽象向量组的线性相关性的判别这种判别一般用定义法。这种判别一般用定义法。12,n 线性无关1122120nnnkkkkkk若，则 112212120nnnnkkkkkk假设，经过恒等变形（同乘或者重组），则，线性无关。考虑考虑方程组只有零解，方
11、程组只有零解，1230 xxx试证向量组试证向量组整理得整理得即即证明一证明一 ：例例9 9,211,322,133321,也线性无关。也线性无关。332211xxx)()()(133322211xxx332221131)()()(xxxxxx 因为向量组因为向量组 线性无关，所以必线性无关，所以必有有321,031 xx021 xx032 xx从而从而 线性无关。线性无关。321,1011100111010110112设向量组设向量组123,线性无关，线性无关，证明二证明二:123123101,110011ACB 记做,01100111011存在C从而从而 R（B）=R（A），），而向量组而
12、向量组 线性无关，线性无关，所以所以 R（A）=3R（B）=3 =3 可知向量组可知向量组 也线性无关。也线性无关。123,123,例例1010证明证明332212131221xxxxxx,21已知证明321,线性无关，线性相关.133322211212xxx设存在数已知只有321,线性无关，131223102020 xxxxxx321,xxx1200112101A233112,2120211021010使得即321,xxx故向量组线性相关。不全为零，三、线性组合与线性表示三、线性组合与线性表示,nx xx12L为为组合系数组合系数.称称 设有设有m维向量组维向量组,.n 12L如果存在一组数
13、如果存在一组数,nxxx12L则称则称nnxxx1122L是向量组是向量组的的线性组合线性组合,n 12L定义定义2 2,n 2L线性表示线性表示。,1称称可由可由nnxxx1122L若若存在一组数存在一组数,nxxx12L使得使得,001i观察四个向量之间的关系观察四个向量之间的关系有kji32 例例1111321,010j,100k1 1、线性表示、线性表示因为因为n12000L中每个向量都可由向量组本身中每个向量都可由向量组本身,n 12L（2 2）向量组）向量组iiiin11100100LL线性表示，线性表示，,in1 2 L（1 1）零向量可由任一组向量线性表示。）零向量可由任一组向
14、量线性表示。Tnaaa,21（3 3）任一）任一m元向量元向量都可由都可由m元单位向量组元单位向量组me 001M0011e,0102e,+线性表示，线性表示，2a2e即即1a1e+mame2 2、线性组合、线性组合其中至少有一个向量是其余其中至少有一个向量是其余n1 1个向量的线性组合。个向量的线性组合。,n 12L线性相线性相关关证明证明=：,n 12L线性相关，线性相关，不全为不全为0 0的数的数则存在一组则存在一组,nx xx12L使使nnxxx 1122L不妨设不妨设0kx，则则-kknkkknkkkkkxxxxxxxxxx 11121211LLk,kkn 1211LL即即是是的线性
15、组合的线性组合定理定理4 4组合，即存在一组数组合，即存在一组数,iinxxxxx1211LL使使线性相关线性相关.,n 12L-,(-1),iinx xxxx1211LL不全为不全为0，由于由于则则不妨设不妨设ia是其余向量的线性是其余向量的线性-iiiiinnxxxxx11221111LL-(-)iiiiinnxxxxx 112211111LL=设设,Tmb bb 12L,Tiiimiaaa 12L,in1 2Lnnxxx1122L即即mbbb12M=122222maaxamaaxa112111M+12nnnmnaaxa若若可由可由,n 12L线性表示，线性表示，即：即：nnnnmmmnn
16、ma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb11112211211222221122LLL L L L L L L LL（1）即非齐次线性方程组即非齐次线性方程组有解。有解。定理定理5 5 ,n 12L设设是为是为 m 元（维）列向量组，元（维）列向量组，可由可由,nA 12L,n 12L线性表示线性表示ARAR)(AX有解有解其中其中性质性质3 3mnA为阵，阵，A经过有限次的初等行变换为经过有限次的初等行变换为B则则A的列向量组与的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系。的列向量组有相同的线性关系。例例11已知已知11021 21201 321502514123,问问是否可由是
17、否可由线性表示？线性表示？如能线性表示如能线性表示解解,32140111-50251-202211 321332211xxx设有数设有数就写出表达式就写出表达式.12,3,xxx使使40111-50251-202211 32100001-10020102001 321 3ARAR有唯一解有唯一解122321xxx32122例例12已知已知210112342531409 1445321,问问是否可由是否可由线性表示？线性表示？如能线性表如能线性表示示解解,32119524-02-144405131-321332211xxx设有数设有数就写出表达式就写出表达式.3,21,xxx使使19524-02
18、-144405131-321同解方程组为同解方程组为1223231xxxx令令kx 3kx221得得kx12k 为任一常数为任一常数321122kkk0000000011102201例例13 判断判断11034是否为向量组是否为向量组5121111122的线性组合？的线性组合？解解 设设2211xx对矩阵对矩阵211115011312421000100110421321R221R线性表示。，不可由21线性无关线性无关，:,nA 12L,n 12L线性相关，则线性相关，则可由可由A线性表示且表法唯一。线性表示且表法唯一。定理定理6321,已知向量已知向量组组线性相关，线性相关，432,线性无关。线性无关。证明证明132,可由可由线性表示线性表示4321,不可由不可由线性表示线性表示32,故故线性无关，线性无关，线性表示。线性表示。1可由可由32,3322114xxx4432,线性无关，线性无关，假设假设可由可由321,线性表示，线性表示，使使,321xxx即存在即存在由由，33221ll，132,可由可由线性表示，线性表示，可由可由432,线性表示，线性表示，线性无关相矛盾。线性无关相矛盾。与与432,代入上式，代入上式，证明证明例例1414作业P168 1 2 6 7
