1、19.2 含参变量的反常积分含参变量的反常积分19.2.1 一致收敛性及其判别法一致收敛性及其判别法19.2.2 含参变量的反常积分的性质含参变量的反常积分的性质19.2.3 含参变量的无界函数反常积分含参变量的无界函数反常积分19.2.1 一致收敛性及其判别法,)a bc都收敛,(,)(1)cf x y dy()(,)(2)cI xf x y dy广义积分,或简称含参变量反常积分.:(1)证明,由定义1来证0,0,N 取,),:ANx 有sinAxydyysinAxydyy u xy令sinAxuduu0sin,uduu 0,M,:AM有sinAuduusinAxuduuM()AxAM,).
2、此含参量广义积分在一致收敛(2).,由定义1的否定判断来证0 0,取0,N0 ,AN取0 (0,),x取:使00sinAx ydyy0.0 0sinA xuduu0sinlimttuduu0sinuduup记为02p由保号性,0,:0,tt 有:sin2tupduu01sin22puduu1N2(1)N00(,0)2A x此时2p(0,).所论积分在非一致收敛注:1 ()(,)nnAnAuxf x y dy其中11(,)nnAAnf x y dy11lim(,)kknAAnkf x y dy1lim(,)nAcnf x y dy(,)cf x y dy1cA2A3A4AnA:证必要性0,0,N
3、取,:nmNxa b 有()()mnuxux11(,)(,)mnmnAAAAf x y dyf x y dy1(,)nmAAf x y dy(7),.a b 级数在上一致收敛(1)(,),cf x y dya b由在上一致收敛 故,:McAAMxa b 总有(,)AAf x y dy (),nAn 又由,M对上述1,N正整数1,nmN只要当时 有:1,nmAAM1N充分性用反证法.使得 0(,)AAf x y dy1max 1,Mc取,211AAM则1,xa b及2110:(,).AAf x y dy使得,一般地21max,(2),nnMn An取则有221,:nnnnAAMxa b及使得22
4、10(,)()nnAnAf xy dylimnnA 由()式知,2122()(,)nnAnnnAuxf xy dy0,2,sup()0nxa bux0,()nux 0,xa b(Weierstrass Weierstrass 判别法判别法 )Dirichlet 判别法判别法:Abel判别法判别法:证22cos1(,),:,11xyyxx 有201,1dxx而收敛,M 由判别法20cos(,).1xydxx 在内一致收敛:证0sin xdxx收敛,0,yd(当然,对于参量,它在上一致收敛),0,yd每个固定的,(,)xyg x yex函数为 的单调函数,0,0,yd x且对任何都有(,)xyg
5、x ye1由阿贝尔判别法,0sin0,xyxedxdx得在上一致收敛.:(证反证法)(,),),cf x y dya b设在上一致收敛120,),:McA AMxa b 则有21(,),()AAf x y dy12(,),f x ya bA A又在上连续21(,),AAf x y dyxa b作为 函数 在上连续.(),xb中令得:21(,),AAf b y dy(,).cf x y dyxb在处收敛.矛盾/19.2.2 含参变量的反常积分的性质:,nnAA 且分析()(,)cI xf x y dy11(,)nnAAnf x y dy1()nnux1,(),nna bux对上一致收敛的级数,用
6、性质定理 即得所以,极限运算与积分运算可交换:分析()(,)cI xf x y dy11(,)nnAAnf x y dy11()(,)nnAAnI xf x y dy11(,)nnAAnf x y dy 逐项求导(,)xcfx y dy119.31(,)nnAxAnfx y dy定理:分析(,)bacdxf x y dy11(,)nnbAaAndxf x y dy11(,)nnbAaAndxf x y dy逐项积分19.6定理11(,)nnAbAandyf x y dx(,)bcadyf x y dx:证明(18),不妨设中第一个积分收敛(,),acdxf x y dy也收敛dc当时,(,)(
7、,)ddcaacIdyf x y dxdxf x y dy记(,)(,)(,)ddcaacaddyf x y dxdxf x y dydxf x y dy()19.11i由条件及定理(,)addxf x y dy(,)(,)(20)AadAddxf x y dydxf x y dy:lim0ddI来证AA待定,通过对 的选定,让上式的二项都任意小(),ii由条件0,:GaAG对于有(,)2Acdxf x y dy1,(,),cAGf x y dy选定由的一致收敛性,McdMxa b 有:(,)2()df x y dyAa(20)把这两个结果应用到式得到22dI lim0,ddI即(19).这就
8、证明了式/lim(,)0AAcdxf x y dyddc:解sinsinbxaxxcos,baxydy0sinsin pxbxaxIedxx0cosbpxaexydy dx0cosbpxadxexydycos,pxpxexye由于0pxedx广义积分收敛,M 根据判别法0cos,pxexydxa b知在上一致收敛cos0,),pxexya b 由于在上连续,于是 可交换积分顺序 从而0cosbpxaIdyexydx22bapdypyarctanarctan.bapp/:解5,0,:b 例 中 取得0sinpxaxedxxarctan,(0)app()F p,:由阿贝尔判别法 可知0sin:px
9、axpedxx含参量 的广义积分0.p 在上一致收敛()0F pp在上连续,0sin(0)axdxFx0lim()pF p0lim arctanpapsgn.2a/:解(,),:r 有22cos,xxerxe20 xedx而收敛,20cos(,).xerx dxr 在内一致收敛20cos xrerxdx又20sin (24)xx erx dx(,),0,:rx 由于有22sinxxxerxxe20 xxedx而收敛,20sin(,).xx erx dxr 在内一致收敛19.10(),由定理可微性定理 得()r20sin xx erx dx20limsin AxAx erx dx220011limsincos 22AAxxAerxrerx dx20cos 2xrerx dx()2rr:解方程()()2rrr 20(0)xedx224:().2rre得/20 2xedx此结论在第22章19.2.3 含参变量的无界函数反常积分简称为含参量广义积分.我们可参照含参变量无穷限广义积分的办法建立相应的含参变量无界函数广义积分的一致收敛性判别法,并讨论它们的性质.(,)(,)(,)dddccdf x y dyf x y dyf x y dy练习题P.189-1901.(3)(4),3,4.(1)
