1、1.1.集合集合:具有某种特定性质的事物的具有某种特定性质的事物的总体总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma,Ma 记为：记为：集合分类：集合分类：集合表示：集合表示：.,相相等等与与就就称称集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2,1 A例如例如,0232 xxxC.CA 则则不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集.)(记作记作例如例如,01,2 xRxx规定规定 空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.,的子集的子集是是就说就说则必则必若若BABxAx
2、.BA 记作记作子集：子集：2.2.区间区间(数集数集).,baRba 且且开区间开区间),(ba闭区间闭区间,ba半开区间半开区间),ba,(ba),xaxa ),(bxxb （有限区间）（有限区间）oxaoxb（无限区间）（无限区间）|x axb|x axb(,)|xx 3.3.邻域邻域:.0,且且是两个实数是两个实数与与设设a,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径.),(axaxaUxa a a ,邻域邻域的去心的的去心的点点 a.0 axx,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx),(aU记作记作。定义：定义：设设 X、Y 是两个非空集合，是两个
3、非空集合，若存在若存在使对使对 X中每个元素中每个元素 x，按法则按法则 f，在在Y 中有中有唯一确定唯一确定的元素的元素 y 与之对应，与之对应，一个一个法则法则 f，则称则称 f 为从为从 X到到Y 的映射，的映射，其中其中 y 称为元素称为元素x（在映射（在映射 f 下）的像，下）的像，记为记为 f(x)集合集合 X 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域，fD记作记作集合集合 X 中所有元素的像所组成的集合中所有元素的像所组成的集合称为映射称为映射 f 的的值域值域，)(XfRf或或记作记作记作记作 f：XY 例例1 设设RRf:2)(xxfRx ，其中对其中对例例2 设设1|),(2
4、2 yxyxX1|)0,(xxY)0,(),(:xyxYXfxyo定义：设定义：设 f 是从是从 X到到Y 的映射，的映射，YRf 若若则称则称 f 为为满射满射，21xx 若对若对X 中任意两个不同的元素中任意两个不同的元素)()(21xfxf 必有必有则称则称 f 为为单射。单射。若若 f 既为既为单射又为满射单射又为满射，则称则称 f 为为单一一映射（双射）。单一一映射（双射）。定义定义 设数集设数集 则称映射则称映射记作记作 y=f(x)，,RD 为定义在为定义在 D 上的函数，上的函数，:RDf Dx,Dx 按对应法则按对应法则 f，总有确定的值总有确定的值 y与之对应，与之对应，这
5、个值这个值 y称为函数称为函数 f 在在x 处的函数值，处的函数值，记作记作 f(x).注意：注意：函数函数 f 是指自变量是指自变量x与因变量与因变量y之间的之间的对应关系。对应关系。函数值函数值 f(x)是是x在对应关系在对应关系f 作用下的值。作用下的值。习惯上常用记号：习惯上常用记号：)(Dxxf )(Dxxfy 或或来表示定义在来表示定义在D上的函数。上的函数。应理解为由它确定的的函数应理解为由它确定的的函数 f。定义域定义域与与对应法则对应法则.函数与表示自变量的字母无关函数与表示自变量的字母无关函数的两要素函数的两要素:定义定义:.)(),(),(的图形的图形函数函数称为称为点集
6、点集xfyDxxfyyxC xyxylg2lg )1(2 与与tyxysinsin )2(与与例例5 指出下列函数是否相同，为什么？指出下列函数是否相同，为什么？不同不同相同相同x1-1yo (1)符号函数符号函数 010001sgnxxxxy当当当当当当几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例xxxsgn|1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo(2)取整函数取整函数 阶梯曲线阶梯曲线 y=x x表示不超过表示不超过 x 的最大整数的最大整数 是无理数是无理数是有理数是有理数xxxDy 0 1)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克
7、雷函数在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.0,10,12)(2xxxxxf例如例如12 xy12 xy,DX 若若（1）函数的有界性）函数的有界性:设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，,0 M,)(,成立成立有有MxfXx 定义：定义：,A 若若,)(,成立成立有有AxfXx 则称函数则称函数 f(x)在在X上上有界有界，否则称无界。否则称无界。则称函数则称函数 f(x)在在X上上有上界有上界。,B 若若,)(,成立成立有有BxfXx 则称函数则称函数 f(x)在在X上上有下界有
8、下界。函数函数 f(x)在在X上有界的充要是：上有界的充要是：f(x)在在X上既有上界又有下界上既有上界又有下界.证证必要性（显然）必要性（显然）充分性充分性 因为因为f(x)在在X上既有上界又有下界上既有上界又有下界.,A,)(,成立成立有有AxfXx ,B,)(,成立成立有有BxfXx 取取M=max|A|,|B|则必有则必有,)(成立成立MxfM ,|)(|成立成立即即Mxf 所以函数所以函数 f(x)在在X上有界。上有界。例例6 证明证明4132 xxy有界有界证证|413|2 xx4|13|2 xx41|32 xx414|322 xxx)4(2)1(322 xx41 23 41 47
9、 4132 xxy有界有界（2）函数的单调性）函数的单调性:,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI)()(21xfxf 恒有恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)()(21xfxf 或或（或减少）（或减少）)(xfy)(1xf)(2xfxyoI则称则称y=f(x)在区间在区间 I 上是严格单调增加上是严格单调增加 的的.（3）函数的奇偶性）函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx)(xf )(xfy ox-x)(xf为偶函数为偶函数称称
10、)(xf)()(xfxf 或或（或奇函数）（或奇函数）)(xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函数奇函数例例7 证明证明两个奇函数的乘积是偶函数两个奇函数的乘积是偶函数证证设设 f(x)、g(x)都是奇函数都是奇函数)()(xfxf 则则)()(xgxg 记记 h(x)=f(x)g(x)()()(xgxfxh 则则)()(xgxf )()(xgxf)(xh 故故 h(x)是偶函数是偶函数两个偶函数的乘积是偶函数两个偶函数的乘积是偶函数一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数 证明证明 定义在定义在R上的任意函数，上的任意函数，一个奇函数与一个偶函数之和。一个
11、奇函数与一个偶函数之和。都可以表示为都可以表示为证证Rxxf )(设设),()(21)(xfxfx 记记)()(21)(xfxfx )()(21)(xfxfx )(x 奇函数奇函数)()(21)(xfxfx )(x 偶函数偶函数)()()(xxxf （4）函数的周期性）函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l恒成立，恒成立，且且)()(xflxf .)(,DlxDx 使得对于使得对于设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个正数如果存在一个正数l则称则称 f(x)为周期函数，为周期函数，l 称为称为
12、f(x)的周期。的周期。（1）反函数）反函数定义：定义：设函数设函数 y=f(x),Xx 若对若对),(Xfy 存在唯一的存在唯一的,Xx 使使 y=f(x)成立，成立，则在则在 f(X)中中定义了一个函数定义了一个函数)(1yfx 称为称为 y=f(x)的反函数，的反函数，例例8 求求)(21xxeey 的反函数的反函数解解,2xxeey ,122 xxeye0122 xxyee24422 yyex12 yyex)1ln(2 yyx反函数反函数)1ln(2 xxy定理定理1 设函数设函数 y=f(x)在在X上严格单调增上严格单调增(减减),则设则设 y=f(x)必存在反函数必存在反函数),(
13、1yfx 且它在且它在 f(X)上也是严格单调增上也是严格单调增(减减).证证),(Xfy ,Xx 必必使使y=f(x),11xxXx 设设,)(1yxf 使使因为因为y=f(x)在在X上严格单调增上严格单调增)()(1xfxf yy 矛盾矛盾),(Xfy ,Xx 唯一的唯一的必必使使y=f(x)故反函数故反函数)(1yfx 存在存在2121 ),(,yyXfyy ,21Xxx ),(),(212111yfxyfx ,21xx 设设因为因为y=f(x)在在X上严格单调增上严格单调增),()(21xfxf,)(,)(2211yxfyxf ,21yy 矛盾矛盾,21xx ),()(2111yfyf
14、 ),(1yfx 严格单调增严格单调增（2）复合函数）复合函数定义定义:,函数函数u=g(x)设函数设函数y=f(u)的定义域为的定义域为 1D的定义域为的定义域为D，,DX 则称函数则称函数y=f(g(x)为由函数为由函数y=f(u)和和u=g(x)构成的构成的复合函数复合函数 若存在若存在,)(1DXg 且且uyln 如如21xu )1ln(2xy 定义域定义域(-1,1)例例9 9,1,1,)(xxxexfx设设解解,)(xx ,0)1(时时当当 x,11)(2 xx)(xf 则则xe;20)2(时时当当 x)(xf 则则12 xe,0,10,)(2 xxxxx).(xf 求求,11)(
15、2 xx综上所述综上所述2200 1 )(212 xxxxeexfxx;2)3(时时当当 x)(xf 则则12 x)(xe )(xe )(x （1）幂函数）幂函数)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy （2）指数函数）指数函数)1,0(aaayxxey （3）对数函数）对数函数)1,0(log aaxyaxyln（4）三角函数）三角函数xysin xycos xytan xycot xxysincsc1xxycossec1（5）反三角函数）反三角函数xyarcsin xyarccos xyarctan xarcycot 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数
16、函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.由常数和基本初等函数由常数和基本初等函数,经过有限次四则运算经过有限次四则运算和有限次函数的复合和有限次函数的复合,的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.所构成并可用所构成并可用一个式子表示一个式子表示2 xxeeshx 双曲正弦双曲正弦chxy shxy ),(:D奇函数奇函数.2 xxeechx 双曲余弦双曲余弦),(:D偶函数偶函数.（1）双曲函数）双曲函数xey21 xey 21xxxxeeeechxshxthx 双曲正切双曲正切奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲函数常用公式双曲函数常用公式;)(chxshyshxchyyxsh ;)(shxshychxchyyxch ;122 xshxch;22shxchxxsh.222xshxchxch thxy （2）反双曲函数）反双曲函数奇函数奇函数,),(:D.),(内内单单增增在在 arshxy 反反双双曲曲正正弦弦xy arsh).1ln(2 xxarchx y),1:D反双曲余弦反双曲余弦).1ln(2 xxxy arch.),1内单增内单增在在.11ln21xx )1,1(:D奇函数奇函数,.)1,1(内单调增加内单调增加在在 y反双曲正切反双曲正切arthx yarthx yarthx
