1、 第二章有限差分法的基本知识1 1 差分方程差分方程 有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题离散化，最终化成有限形式的代数方程组。)1.1()()0,(0,0 RxxfxutRxxuctu题题考考虑虑对对流流方方程程的的初初值值问问解解过过程程和和原原理理。解解的的一一些些概概念念，说说明明求求方方法法求求偏偏微微分分方方程程数数值值为为例例，引引入入用用差差分分以以最最简简单单一一维维对对流流方方程程 称称为为时时间间步步长长。称称为为空空间间步步长长，间间距距间间距距记
2、记为为节节点点为为网网格格结结点点（节节点点），它它们们的的交交点点称称域域的的直直线线形形成成的的网网覆覆盖盖区区轴轴轴轴和和平平行行于于网网格格剖剖分分可可以以采采用用两两组组00).,(),(,2,1,0,2,1,0 hnjtxjjhxxnntttxnjjn1 1 区域的剖分区域的剖分(区域的离散化）区域的离散化）xt0),(njtx高等数学中，高等数学中，我们学习过我们学习过Taylor公式：公式：有有阶的导数，则阶的导数，则到到内具有直内具有直的某个邻域的某个邻域在在设设),(1),()(000 xUxnxUxxf )()(!)()()()(00)(000 xRxxnxfxxxfxf
3、xfnnn )()()(0nnnxxoxRxR 是余项，且是余项，且).(0 xx 1 1 微分方程离散微分方程离散(差分方程）差分方程）)5.1(),(),(2),(),()4.1(),(),(),(),()3.1(),(),(),(),()2.1(),(),(),(),(),()1.1(211111中中心心差差商商）向向后后差差商商）向向前前差差商商）向向前前差差商商）与与差差商商之之间间的的关关系系式式的的微微商商，的的解解，对对于于任任何何节节点点是是方方程程设设hotxuxhtxutxuhotxuxhtxutxuhotxuxhtxutxuotxuttxutxuunjunjnjnjnj
4、njnjnjnjnjnjnjnj )6.1(,0),(),()1.1(njnjtxuxctxutu的的解解，所所以以满满足足是是方方程程由由于于)7.1(),(0),(),(),(),()3.1()2.1(11hhtxutxuctxutxunjnjnjnj 得得到到和和因因此此从从的的近近似似值值。表表示示近近似似代代替替，其其中中这这样样可可以以用用方方程程于于零零。极极限限过过程程中中它它们们都都趋趋向向特特别别在在进进行行理理论论分分析析的的是是较较小小的的量量，与与，实实际际取取步步长长为为了了保保证证逼逼近近精精度度要要求求),()8.1(011njnjnjnjnjnjtxuuhuu
5、cuuh 差差分分格格式式）。的的（有有限限）差差分分方方程程）称称为为（和和称称为为网网格格比比。这这里里改改写写成成便便于于计计算算的的形形式式将将(1.1)9.1()8.1(/)9.1(,2,1,0,2,1,0),()8.1(11hnjuucuunjnjnjnj )10.1(,2,1,0),()1.1(0 jxffujjj式式是是中中的的初初始始条条件件的的离离散散形形问问题题)11.1(0)1.1(011显显式式右右偏偏格格式式）的的差差分分格格式式初初值值问问题题 jjnjnjnjnjfuhuucuu)13.1(02)12.1(0)1.1(0111011（中中心心格格式式）左左偏偏格
6、格式式）差差商商得得采采用用向向后后差差商商和和中中心心对对采采用用向向前前差差商商，对对中中在在格格式式。立立种种种种不不同同形形式式的的差差分分对对同同一一微微分分方方程程可可以以建建 jjnjnjnjnjjjnjnjnjnjfuhuucuufuhuucuuxutu 高等数学中，高等数学中，我们学习过我们学习过Green公式：公式：向向量量的的方方向向角角。处处的的切切线线上上为为有有向向曲曲线线弧弧、其其中中的的取取正正向向的的边边界界曲曲线线。是是其其中中有有有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则在在上上及及函函数数围围成成，由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线闭闭区区域域设设)y,x(L
7、)y,x()y,x(DLds)cosQcosP(QdyPdxdxdy)yPxQ()y,x(Q)y,x(PLD LLD 2 2 积分插值法积分插值法 DdxdtxuctuDDLLLLL0)1.1(4321）（上上积积分分，得得到到在在的的边边界界。将将方方程程是是积积分分区区域域，在在平平面面上上，取取矩矩形形域域为为oHxtEFGL1L2L3L4 方方向向的的两两个个分分量量。与与沿沿方方向向沿沿的的外外法法向向单单位位向向量量分分别别是是与与其其中中（）（公公式式，得得利利用用txnLnndscunundxdtxuctuGreentxDLxt)14.1(0)上上的的近近似似函函数数值值。在在
8、是是可可按按不不同同方方式式确确定定的的的的长长度度，与与是是的的长长度度，与与是是这这里里既既得得近近似似方方程程上上的的四四个个积积分分，左左端端分分成成在在把把，iiLuuLLLLhuuhcuucuhucuhuLLLL4231421343214321)15.1()(0)14.1(),21,21(),21,21(),21,21(),21,21(,jnjnjnjnHGFE依依次次为为在在网网格格中中，点点oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGH 式式，称称为为蛙蛙跳跳格格式式。这这是是一一个个常常用用的的差差分分格格得得到到从从，于于是是并并取取)16.1()()15.1(,),(21),
9、(21),(21),(21111114131211njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuuhcuuhhuuuuuuuuuuuu ),1,1(),1,1(),1,(),1,(,jnjnjnjnHGFE依依次次为为，在在网网格格中中，点点现现在在换换一一种种方方式式，如如图图oxtj-1jj+1nn+1EFGH 格格式式。这这个个格格式式称称为为也也可可写写成成得得到到从从，于于是是并并取取FriedrichsLaxhuucuuuuuhcuuuhhuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj )17.1(02)(21)()(21)15.1(,2,),(
10、211111111111141312111 2 2 截断误差截断误差是是相相应应的的差差分分算算子子其其中中是是微微分分算算子子其其中中差差分分方方程程记记为为微微分分方方程程和和对对于于齐齐次次问问题题，可可以以将将hnjhLuLLLu,00 huucuuuLLxuctuLuLnjnjnjnjnjhh 11)8.1()1.1(为为相相应应差差分分算算子子格格式式为为微微分分算算子子方方程程的的估估计计。指指对对差差分分格格式式的的截截断断误误差差是是，即即为为处处的的差差，记记两两者者在在任任意意的的结结点点分分别别作作用用于于和和充充分分光光滑滑的的解解，将将算算子子是是所所讨讨论论的的微
11、微分分方方程程的的设设EtxLutxuLEEtxuLLunjnjhnjh)1.2(),(),(),()(),(),(),(),(),(),(),(),()8.1(11hoxtxucttxutxutxuctxutxutxLutxuLEnjnjnjnjnjnjnjnjh 的的截截断断误误差差即即讨讨论论格格式式.pqppxqt)h(oEpq是是阶阶精精度度的的时时，说说差差分分格格式式特特别别，当当阶阶精精度度的的。是是阶阶精精度度的的，对对空空间间是是间间，就就说说差差分分格格式式对对时时式式的的截截断断误误差差一一般般，如如果果一一个个差差分分格格说说明明截截断断误误差差。我我们们也也用用“精
12、精度度”一一词词 3 3 收敛性收敛性 一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意地逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑：一是引入收敛性的概念，考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是引入稳定性的概念，考察差分格式在实际计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。0,0(,)(,)njnjjnuuhj nuu x t设 是微分方程的准确解，是相应差分方程的准确解。如果当步长时，对任何有则称差分格式是收敛的.4 4 稳定性稳定性稳稳定定的的。这这种种差差分分格格式式就就认认为为是是本本上上能能计计算算出出来来，那那么么基基控控制制的的，差差分分格格
13、式式的的解解如如果果误误差差的的影影响响是是可可以以地地，式式称称为为不不稳稳定定的的。相相反反掩掩盖盖，那那么么此此种种差差分分格格被被式式的的精精确确解解的的面面貌貌完完全全越越来来越越大大，以以至至差差分分格格响响的的情情况况。如如果果误误差差的的影影就就要要分分析析这这种种误误差差传传播播的的值值，从从而而影影响响时时的的舍舍入入误误差差，必必然然会会计计算算因因此此层层上上计计算算出出来来的的结结果果时时，要要用用到到第第的的层层上上进进行行的的，计计算算差差分分格格式式的的计计算算是是逐逐层层111 njnjnjnjuu.unun.max)()()1.4(,1,0,1,0200nj
14、jhnjnjhnhhhnnjjhKKnjj 也也可可以以取取，它它可可以以是是范范数数某某种种尺尺度度是是的的，其其中中那那么么称称差差分分格格式式是是稳稳定定使使得得存存在在常常数数层层上上的的误误差差，如如果果是是第第，令令，设设初初始始层层上上引引入入了了误误差差的的稳稳定定性性。的的差差分分格格式式考考虑虑逼逼近近对对流流方方程程例例)2.4(00211 huuuuxutunjnjnjnj 0)()()()(),2.4(011110000000 huuuuuuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjjjjjjjj 即即应应满满足足那那么么中中没没有有引引进进别别的的误误
15、差差，。设设想想在在这这一一计计算算过过程程为为的的为为初初值值进进行行计计算算，得得到到，用用而而不不是是为为，即即初初值值有有误误差差层层上上每每个个网网格格点点上上的的设设在在第第解解：为为网网格格比比其其中中）（）（程程，改改写写其其形形式式这这就就是是误误差差所所满满足足的的方方此此式式减减去去得得hhnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj/1)3.4(011111 njjnjjnjjnjnjnj supsupsup11)4.4(1111 ）（）（那那么么有有如如果果，从从而而可可以以知知道道，由由此此得得011supsupsupsupsupjjnjjnjjnjjnjj 下下的的稳
16、稳定定性性。上上面面是是论论述述了了在在极极大大模模，那那么么如如果果令令下下是是稳稳定定的的。在在条条件件格格式式分分长长的的，我我们们就就认认为为，差差这这就就是是说说，误误差差是是不不增增hhnnjjhn0sup)4.4()2.4(.差分方程、截断误差、收敛性、差分方程、截断误差、收敛性、稳定性的概念；稳定性的概念；.构造差分方程方法构造差分方程方法(直接法和积分插值法直接法和积分插值法)、求截断误差；求截断误差；（重点重点）.如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、如何将偏微分方程构造成相应的差分方程、并求由此产生的截断误差并求由此产生的截断误差（难点难点）主要内容主要内容*作业作业*的
17、的差差分分方方程程）试试用用积积分分插插值值法法逼逼近近01 xutu011 huuuunjnjnjnjB.Taylor B.Taylor 简介简介1685.8.18生于英格兰；生于英格兰；1731.11.29在伦敦去世在伦敦去世.1705 进入剑桥大学；进入剑桥大学；1709 法学学士；法学学士；1714 法学博士；法学博士；1712 英国皇家学会会员；英国皇家学会会员；17141718英国皇家学会秘英国皇家学会秘书；书；微积分发明权仲裁委员；微积分发明权仲裁委员；1715出版出版增量法及其逆增量法及其逆，该书奠定有限差分法、幂级该书奠定有限差分法、幂级数展开、弦振动问题；在物数展开、弦振动问题；在物理、流体动力等大量工作。理、流体动力等大量工作。写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。写作风格过于简洁导致许多工作未获更高声誉。
