1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标北师北师第第六六章章 平行四边形平行四边形 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考3.下图中广场中心的边缘是一个五边形,你能设法求出它的五个内角的和吗?与同伴交流.1.前面我们研究了平行四边形的性质和判定,上一节又研究了三角形的中位线定理,现在请同学们回忆一下,三角形的内角和是多少度?2.四边形的内角和呢?四边形的内角和是怎么得到的?多边形的内角和多边形的内角和1.三角形的内角和是多少度?你是怎么得出的?用量角器度量:分别测量出三角形三个内角的度数,再求和.拼角:将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起,可组成一个平角.2
2、.四边形的内角和是多少?你又是怎样得出的?度量;拼角;将四边形转化成三角形求内角和.3.在四边形内角和的探索过程中,用到了几种方法,你认为哪种方法好?请讲述你的理由.度量法:不精确;拼角法:操作不方便;当多边形边数n较大时,度量法、拼角法都不可取.第三种方法:精确、省事且有理论根据.4.根据四边形的内角和的求法,你能否求出五边形的内角和呢?方法1:如图(1)所示,连接AD,AC,五边形的内角和为:3180=540.方法2:如图(2)所示,连接AC,则五边形的内角和为:360+180=540.方法方法3:如图(3)所示,在AB上任取一点F,连接FC,FD,FE,则五边形的内角和为:4180-18
3、0=540.方法4:如图(4)所示,在五边形内任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:5180-360=540.D方法方法5:如图(5)所示,在AB上任取一点F,连接FD,则五边形的内角和为:2360-180=540.方法方法6:如图(6)所示,在五边形外任取一点O,连接OA,OB,OC,OD,OE,则五边形的内角和为:4180-180=540.5 5.小组合作小组合作,完成下面的表格完成下面的表格.n边形 图形从一个顶点引出的对角线条数分割成的三角形个数多边形的内角和 三角形(n=3)四边形(n=4)五边形(n=5)六边形(n=6)n边形0123n-31234n-2
4、180360540720(n-2)1806 6.从表格中你发现了什么规律从表格中你发现了什么规律?n边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)180.正多边形正多边形(1)(1)想一想想一想:观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点?正多边形的定义正多边形的定义:在平面内在平面内,每个内角都相等、每条边也都相每个内角都相等、每条边也都相等的多边形叫做正多边形等的多边形叫做正多边形.(2)(2)议一议议一议:一个多边形的边都相等,它的内角一定都相等吗?一个多边形的内角都相等,它的边一定都相等吗?(3)(3)练一练练一练:正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度
5、?正n边形的内角是多少度?一个正多边形的一个内角是150,求它的边数.正三角形的内角为 =60.正四边形(正方形)的内角为 =90.正五边形的内角为 =108.正六边形的内角为 =120.正八边形的内角为 =135.NoImage(32)1803(42)1804(52)1805(62)1806(82)1808(2)180nn =150,解得n=12,所以这个多边形的边数为12.正n边形的内角是 .(2)180nn(4)议一议:剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴交流.剪的位置不同,剩下的多边形的形状也不同,多边形的内角和也不同,需分类讨论.纸片剩下5
6、个角时,得到的五边形的内角和为(5-2)180=540.纸片剩下4个角时,得到的四边形的内角和为(4-2)180=360.纸片剩下3个角时,得到的三角形的内角和为180.(教材例1)如图所示,在四边形ABCD中,A+C=180.B与D有怎样的关系?解析解析本例是运用多边形内角和公式解决简单的问题.解解:A+B+C+D=(4-2)180=360,B+D=360-(A+C)=360-180=180.这就是说,如果四边形的一组对角互补,那么另一组对角也互补.知识拓展多边形内角和定理的补充证法:证法一证法一:在多边形外取一点P,与多边形各顶点相连接,这样点P与各顶点构成n个三角形.选择适当的P点,使得
7、其中仅有两个三角形在多边形外部,如图(1)所示.则n边形的内角和等于用n个三角形内角和(n180)减去PA4A5,PA4A3两个三角形内角之和(360),结果是(n-2)180.证法二证法二:如果没有两条边相互平行,则过A3,A4,A5,An分别作A1A2的平行线,如图(2)所示.则可得到(n-3)对同旁内角,如图中A1与1,A2与2,3与4等;还有两对内错角,如图所示的6与5,7与8.因此,n边形的内角和等于(n-3)对同旁内角加上一个平角,即(n-2)180.如果有两条边相互平行,不妨设AmAm+1A2A3,以A6A7A2A3为例画图,则过除A2,A3,A6,A7外的各顶点分别作A2A3的
8、平行线,如图(3)所示.则图中共有(n-2)对同旁内角,如A2与1,2与A3,5与6等.也可得到n边形的内角和为(n-2)180.检测反馈检测反馈1.一个多边形的内角和是720,这个多边形的边数是()A.4B.5C.6D.7解析:(n-2)180=720,解得n=6.故选C.C2.若一个多边形增加一条边,那么它的内角和()A.增加180B.增加360C.减少360D.不变解析:(n-2+1)180-(n-2)180=180.故选A.A3.一个多边形的内角和为1440,则它是边形.解析:(n-2)180=1440,解得n=10.故填十.十解:设这五个内角的度数分别为13x,11x,9x,7x,5x.五边形的内角和为(5-2)180=540,13x+11x+9x+7x+5x=540.解得x=12.最大角为13x=156,最小角为5x=60.4.已知一个五边形的五个内角的度数的比是13 11 9 7 5,求这五个内角中的最大角和最小角.解析:设这五个内角的度数分别为13x,11x,9x,7x,5x,再根据五边形的内角和为(5-2)180=540列方程求解.
