1、第第5章章 相交线与平行线相交线与平行线5.1 相交线相交线第第2课时课时 垂线垂线垂线垂线 的定义与性质的定义与性质1课堂讲解课堂讲解u垂直的定义垂直的定义u垂线的画法垂线的画法u垂线的基本事实垂线的基本事实2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点垂直的定义垂直的定义1.定义：定义：当两条直线当两条直线AB和和CD所构成的四个角中有一个所构成的四个角中有一个 为为直角直角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线时，其他三个角也都成为直角，此时，直线 AB，CD互相垂直，记作互相垂直，记作“ABCD”，其中一条直，其中一条直 线叫做另一条直线的垂线，它
2、们线叫做另一条直线的垂线，它们 的交点的交点 O叫做叫做垂足垂足如图如图.知知1 1讲讲知知1 1讲讲2.推理格式：推理格式：因为因为AOC90(已知已知)，所以所以ABCD(垂直定义垂直定义)反过来：因为反过来：因为ABCD(已知已知)，所以所以AOC90(垂直定义垂直定义)导引：导引：要判断要判断OE，OF是什么位置关是什么位置关 系，其实质是说明系，其实质是说明OE，OF是是 否垂直，即要看否垂直，即要看EOF是否为是否为 90；要让；要让EOF90，需说明，需说明EOF AOC或或EOFBOC都可，这样就把问题都可，这样就把问题 转化为说明转化为说明AOECOF(已知已知)了了知知1
3、1讲讲例例1 如图，如图，COAB于点于点O，AOECOF，则射，则射 线线OE，OF是什么位置关系？请说明理由是什么位置关系？请说明理由知知1 1讲讲解：解：射线射线OE，OF互相垂直理由如下：互相垂直理由如下：因为因为COAB，所以，所以AOC90.又因为又因为AOECOF，所以所以AOECOECOFCOE，即即AOCEOF90.所以所以OE与与OF互相垂直互相垂直(垂直定义垂直定义)总总 结结知知1 1讲讲 判断两直线判断两直线(线段、射线所在直线线段、射线所在直线)互相垂直互相垂直，主要，主要依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四依据是垂直定义，只要说明两条相交直线所构成的四个
4、角中有一个角是直角即可个角中有一个角是直角即可导引：导引：根据根据AOC与与BOD是对顶角，是对顶角，且且BOD与与BOE互余，即可互余，即可 求出求出AOC的度数；根据的度数；根据OD平平 分分BOF，EOFBOE2BOD即可求出即可求出 EOF的度数；根据的度数；根据AOF与与BOF互补可求得互补可求得 AOF的度数的度数知知1 1讲讲例例2 如图，直线如图，直线AB，CD相交于点相交于点O，过，过O点画射线点画射线OE，OF，使，使OECD，OD平分平分BOF.如果如果BOE 50，求，求AOC，EOF和和AOF的度数的度数知知1 1讲讲解：解：因为因为OECD，所以，所以DOE90(垂
5、直定义垂直定义)因为因为BOE50，所以所以AOCBODDOEBOE 905040.因为因为OD平分平分BOF，所以所以BOF2BOD80.所以所以EOFBOFBOE8050130，AOFAOBBOF18080100.总总 结结知知1 1讲讲1.本题解题思路可概括为本题解题思路可概括为“顺藤摸瓜顺藤摸瓜”，即由已知条，即由已知条 件件 OECD入手，根据对顶角、邻补角、角平分线入手，根据对顶角、邻补角、角平分线 的有关知识，逐步深入求得各角的度数的有关知识，逐步深入求得各角的度数2.已知两条直线垂直或已知一条直线的垂线时，能直已知两条直线垂直或已知一条直线的垂线时，能直 接得到接得到90的角，
6、因此利用这个条件，并与角平分的角，因此利用这个条件，并与角平分 线、余角、补角、邻补角、对顶角等知识相结合，线、余角、补角、邻补角、对顶角等知识相结合，可求出图中其他未知各角的度数可求出图中其他未知各角的度数1当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_ 时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 做另一条直线的做另一条直线的_，它们的交点叫做，它们的交点叫做_ 知知1 1练练2垂直定义的应用格式：如图，垂直定义的应用格式：如图，(1)因为因为AOC90，所以，所以_ (2)因为因为ABCD，所以，所以AOC_
7、.3如图，如图，CDEF，12，则，则ABEF.请说明理由请说明理由 (补全解题过程补全解题过程)解：因为解：因为CDEF，所以所以1_(垂直的定义垂直的定义)因为因为21，所以，所以2_，所以所以AB_EF(垂直的定义垂直的定义)知知1 1练练4如图，已知如图，已知OAOB，OCOD，AOC27，则，则 BOD的度数是的度数是()A117 B127 C153 D163知知1 1练练2知识点知识点垂线的画法垂线的画法知知2 2讲讲1.试一试：试一试：经过直线经过直线AB外一点外一点P，按图所示的两种方法，按图所示的两种方法，画出垂直于直线画出垂直于直线AB的直线的直线.这样的垂线能画多少条呢？
8、这样的垂线能画多少条呢？如图如图,你能经过直线你能经过直线AB上一点上一点P，画出垂直于直线，画出垂直于直线AB 的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？知知2 2讲讲2.垂线的画法垂线的画法 经过一点经过一点(已知直线上或直线外已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，画已知直线的垂线，步骤如下：步骤如下：(1)靠线：靠线：让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合；让直角三角尺的一条直角边与已知直线重合；(2)过点：过点：沿直线移动，使直角沿直线移动，使直角 三角尺的另一条直角边经过三角尺的另一条直角边经过 已知点；已知点；(3)画线：画线：沿直角边画线，则这沿直角边
9、画线，则这 条直线就是经过这个点的已条直线就是经过这个点的已 知直线的垂线如图知直线的垂线如图.知知2 2讲讲例例3 如图，如图，M是三角形是三角形ABC中中BC边上的任意一点，请边上的任意一点，请 你按照下列要求画图：你按照下列要求画图：(1)过过M点画直线点画直线AB的垂线的垂线m；(2)过过M点画直线点画直线BC的垂线的垂线n；(3)过过M点画直线点画直线AC的垂线的垂线p.知知2 2讲讲导引：导引：观察图形不难看出，观察图形不难看出，(1)(3)属于过直线外一点画属于过直线外一点画 已知直线的垂线，已知直线的垂线，(2)属于过直线上一点画已知属于过直线上一点画已知 直线的垂线，所以按照
10、直线的垂线，所以按照“一靠、二过、三画一靠、二过、三画”的方法画图即可的方法画图即可 解：解：画出的直线画出的直线m，n，p如上页图如上页图.总总 结结知知2 2讲讲 过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知过已知点画已知直线的垂线，实际上就是过已知点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角点画一条直线，使所画直线与已知直线相交所成的角是是90.知知2 2练练 1 下列选项中，过点下列选项中，过点P画画AB的垂线的垂线CD，三角板放法，三角板放法 正确的是正确的是()2 下列说法正确的是下列说法正确的是()A在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂
11、线，垂足一定在该直线上垂足一定在该直线上 B在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段 或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射 线的垂线线的垂线 D过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该 直线垂直直线垂直知知2 2练练3知识点知识点垂线的基本事实垂线的基本事实知知3 3讲讲关于垂线的基本事实：关于垂线的基本事实：(1)在同一平面内，过一点在同一平面内，过一点有且只有有且只有一条直线与已知直线一条
12、直线与已知直线 垂直垂直(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 最短，简单说成：最短，简单说成：垂线段最短垂线段最短(过直线外一点画已过直线外一点画已 知直线的垂线，连接知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段这点与垂足之间的线段，叫这点，叫这点 到已知直线的垂线段到已知直线的垂线段)知知3 3讲讲 例例4 如图所示，如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引是一条河流，要铺设管道将河水引 到到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：两个用水点，现有两种铺设管道的方案：方案一：分别过点方案一：分别过点C，D作作AB的垂线，垂足分别的
13、垂线，垂足分别 为点为点 E，F，沿，沿CE，DF铺设管道；铺设管道；方案二：连接方案二：连接CD交交AB于点于点P，沿，沿PC，PD铺设管铺设管 道这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？道这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？为什么？(忽略河流的宽度忽略河流的宽度)知知3 3讲讲导引：导引：要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度尽可能要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度尽可能 短方案一中短方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中是垂线段，而方案二中PC，PD不是垂线段，所以不是垂线段，所以CEPC，DFPD，所以，所以CE DFPCPD，所以方案一更节省材料，所以方案一更节省材料 解
14、：解：按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：因为因为CEAB，DFAB，CD不垂直于不垂直于AB，所以根据所以根据“垂线段最短垂线段最短”可知，可知，CEPC，DFPD，所以所以CEDFPCPD.所以沿所以沿CE，DF铺设管道更节省材料铺设管道更节省材料总总 结结知知3 3讲讲 本题主要利用本题主要利用“垂线段最短垂线段最短”来解决实际问题，来解决实际问题，解这类求最短距离问题时，要注意解这类求最短距离问题时，要注意“垂线段最短垂线段最短”与与 “两点之间，线段最短两点之间，线段最短”的区别，辨明这两条性质的的区别，辨明这两条性质的 应用条件：点到直线的最
15、短距离，两点间的最短距离；应用条件：点到直线的最短距离，两点间的最短距离；正确运用解题方法正确运用解题方法 1 在同一平面内，下列语句正确的是在同一平面内，下列语句正确的是()A过一点有无数条直线与已知直线垂直过一点有无数条直线与已知直线垂直 B和一条直线垂直的直线有两条和一条直线垂直的直线有两条 C过一点有且只有一条直线与已知直线垂直过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D两直线相交，则一定垂直两直线相交，则一定垂直知知3 3练练2如图，在一张透明的纸上画一条直线如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在，在l外任取外任取 一点一点Q并折出过点并折出过点Q且与且与l垂直的直线这样的直线垂直的直线这样的直线 能折出能折出()2 A0条条 B1条条 C2条条 D3条条知知3 3练练 以下几个方面由学生自己总结以下几个方面由学生自己总结:垂线的定义及垂直的符号表示垂线的定义及垂直的符号表示;垂线的有关性质垂线的有关性质;过一点作已知直线的垂线的方法过一点作已知直线的垂线的方法.1.必做必做:完成教材完成教材P165 T12.补充补充:请完成请完成典中点典中点剩余部分习题剩余部分习题
