1、中考数学总复习中考数学总复习 第三单元函数及其图象第三单元函数及其图象第12课时二次函数的图象与性质课标要求考情概览1.会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.2020年22(2)(3)题确定二次函数解析式;二次函数图象顶点在直线上的平移2019年14题 二次函数的图象与性质22题二次函数的图象与性质,一次函数与二次函数的综合2017年9题 二次函数的图象与性质2016年 22题待定系数法求二次函数解析式,二次函数最值（续表）课
2、标要求考情概览3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.4.(选学)知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数2020年 22(2)(3)题确定二次函数解析式;二次函数图象顶点在直线上的平移2019年14题二次函数的图象与性质22题二次函数的图象与性质,一次函数与二次函数的综合2017年9题二次函数的图象与性质2016年22题待定系数法求二次函数解析式,二次函数最值一般式一般地,形如(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当时,y=ax2+bx+c是二次函数顶点式y=a(x-h)2+k(a0),函数图象的对称轴为直线,顶点坐标
3、为一、二次函数的概念和图象的画法知 识 梳 理y=ax2+bx+ca0 x=h(h,k)（续表）图象的画法(1)用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式;(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标;(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图二、二次函数的性质二、二次函数的性质二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a0)对称轴x=或x=(其中x1,x2为二次函数图象与x轴两个交点的横坐标)顶点坐标(1)利用顶点坐标公式求解;(2)用配方法把一般式转化为顶点式求解;(3)将对称轴x=x0代入函数解析式求解（续表）三、二次函数一般式中的系数与函数图象的关系三、二次函数一般式中的系数与函数图象的
4、关系向上向上左侧左侧四、二次函数与一元二次方程及不等式的关系四、二次函数与一元二次方程及不等式的关系1.二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程(1)一元二次方程ax2+bx+c=0的解是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标.(2)判别式=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.0方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根抛物线与x轴有个交点;=0方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根抛物线与x轴有个交点;0(a0)ax2+bx+c0)y=ax2+bx+c(a0)的图象观察方法函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围函数y=ax2+bx+c
5、的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围解集 xx2x1xy2y1B.y3y1=y2C.y1y2y3D.y1=y2y3答案D3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图12-1所示,则下列结论中正确的是()A.a0B.c0C.3是方程ax2+bx+c=0的一个根D.当x1时,y随x的增大而减小图12-1C4.若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为()A.x1=-3,x2=-1B.x1=1,x2=3C.x1=-1,x2=3D.x1=-3,x2=1答案C解析二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),方程ax2-2ax
6、+c=0一定有一个解为x=-1,抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为直线x=1,二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为(3,0),方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3.故选C.5.若二次函数y=x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点,则实数c=.答案9解析二次函数y=x2-6x+c的图象与x轴只有一个公共点,说明=b2-4ac=0,即(-6)2-41c=0,所以c=9.6.将抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个单位,那么得到的抛物线的表达式为.答案y=2(x+2)2-2解析抛物线y=2(x-1)2+2向左平移3个单位,再向下平移4个
7、单位得到y=2(x-1+3)2+2-4=2(x+2)2-2.故得到的抛物线的解析式为y=2(x+2)2-2.题组二易错题【失分点】考虑二次函数的增减性时,要关注自变量的取值与对称轴的位置.7.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为()A.3或6B.1或6C.1或3D.4或6答案B解析二次函数y=-(x-h)2,当x=h时,有最大值0,而当自变量x的值满足2x5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h5.当h5,2x5时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得:h1=6,h2=4
8、(舍去),此时h=6.综上可知,h=1或6,故选B.8.已知二次函数y=x2-mx+1中,当x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为.答案m4考向一二次函数的图象与性质例例1 已知抛物线y=-x2+2x+3,回答下列问题:(1)抛物线开口向,与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为;(2)抛物线对称轴为直线,顶点坐标为;(3)当-1x2时,y的最大值为,最小值为,当2x4时,y的最大值为,最小值为;(4)若函数值y随x的增大而增大,则x的取值范围为,若点A(-1,y1),B(2,y2)在抛物线上,则y1与y2的大小关系为;(5)将抛物线向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后的抛
9、物线表达式为.下下(-1,0),(3,0)(0,3)x=1(1,4)403-5x1y1y2y=-x2-6x-31.2020甘孜州如图12-2,二次函数y=a(x+1)2+k的图象与x轴交于A(-3,0),B两点,下列说法错误的是()A.a0B.图象的对称轴为直线x=-1C.点B的坐标为(1,0)D.当x0时x的取值范围;(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.解:(1)把B(1,0)的坐标代入y=ax2+4x-3,得0=a+4-3,解得a=-1,y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,A(2,1),对称轴是直线x=2,B,C关于直线x=2
10、对称,C(3,0),当y0时,1x3.图12-55.2020宁波如图12-5,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.解:(2)D(0,-3),点D平移到点A(2,1),抛物线向右平移2个单位,向上平移4个单位,可得抛物线的解析式为y=-(x-4)2+5.考向三二次函数图象特征与a,b,c之间的关系图12-6例例32020鄂州如图12-6,抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点A(-1,0)和B,与y轴交于点
11、C.下列结论:abc0;2a+b0;3a+c0.其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个答案B【方法点析方法点析】解此类问题的一般步骤解此类问题的一般步骤:根据抛物线的开口方向判定a的符号:开口向上,则a0;开口向下,则a0;交点在y轴负半轴,则c0;根据a,b,c的符号判定ab,bc,ac,abc的符号;根据抛物线与x轴的交点个数判定b2-4ac与0的大小关系;特殊等式的判断:见到a+b+c(或4a+2b+c),则令x=1(或x=2);见到a-b+c(或4a-2b+c),则令x=-1(或x=-2),看抛物线上对应点的位置,根据对应点的位置判定其符号.考向精练图12-76.20
12、20枣庄如图12-7,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1.给出下列结论:ac0;2a-b=0;a-b+c=0.其中,正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C7.2019凉山州二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图12-8所示,有以下结论:3a-b=0;b2-4ac0;5a-2b+c0;4b+3c0.其中错误结论的个数是()A.1B.2C.3D.4图12-8答案A考向四二次函数与一元二次方程解:(1)证明:y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1),由y=0得x1=m,x2=m+1,mm+1,不论m为何值,抛物线与x轴一定有两个公共点:(m,0),(m+1,0).考向精练8.2020宁夏若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.答案k-1解析二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,=4-4(-1)k0,解得k-1.图12-9答案C
