1、6.4 实二次型的正定性与正定矩阵实二次型的正定性与正定矩阵定义定义1 有实二次型有实二次型 ,如果对如果对任意实向量任意实向量有有 ，则称二次型，则称二次型 为为正定二次型正定二次型 称称n阶阶实对称矩阵实对称矩阵A为为正定矩阵正定矩阵.TfX AX XO 0TfX AXTfX AX 一、一、正定二次型、正定矩阵的概念正定二次型、正定矩阵的概念例例 是否为正定二次型是否为正定二次型?222112(,.,).nnf xxxxx 【结论】【结论】单位阵为正定矩阵单位阵为正定矩阵.定义定义2 有实二次型有实二次型 ,如果对如果对任意实向量任意实向量有有 ，则称二次型，则称二次型 为为负定二次型负定
2、二次型 称称n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A为为负定矩阵负定矩阵.TfX AX XO 0TfX AXTfX AX 定义定义3 如果对如果对任意实向量任意实向量 ,有有 则称二次型则称二次型 为为半正定半正定(半负定半负定)二次型二次型 称称n阶实阶实对称矩阵对称矩阵A为为半正定半正定(半负定半负定)矩阵矩阵.XO 0(0)TfX AXTfX AX 例如例如(1)1()23Tf XXX 22212323xxx123xXxx 其中其中120TXX(2)123TXX (3)正定正定半正定半正定负定负定【注】【注】如果对某些向量如果对某些向量X,实二次型实二次型 为正为正,而而对另一些向量对另一些向量X,
3、实二次型实二次型 为负为负,则称该则称该二次二次型是不定的型是不定的.TfX AX TfX AX 二、正定矩阵的充分必要条件二、正定矩阵的充分必要条件 准则准则1 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A正定正定 A的特征值全为正数的特征值全为正数.例例1 判断矩阵判断矩阵 是否为正定矩阵？是否为正定矩阵？222254245A 准则准则1推论推论 A为正定矩阵为正定矩阵 0A(4)222254245TXX 判断是否正定？判断是否正定？【解析解析】可求得可求得A的全部特征值为的全部特征值为1(二重二重)和和10,则该实对称矩阵则该实对称矩阵A的特征值全大于的特征值全大于0,故故A为正定矩阵为正定矩阵.准则准
4、则2 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A正定正定 A与与n阶单位阵合同阶单位阵合同 准则准则2推论推论 （1）n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A正定正定 ，P为实数域上的可逆矩阵；为实数域上的可逆矩阵；与与A合同的对角阵，对角线上元素为正；合同的对角阵，对角线上元素为正；A的正惯性指数为的正惯性指数为n.TAP P（2）n个变量的实二次型正定个变量的实二次型正定 标准形为标准形为 实数域上的规范形为实数域上的规范形为2221122(0)nnifd yd yd yd22212nfzzz对于负定矩阵有类似的结论对于负定矩阵有类似的结论1.实对称矩阵实对称矩阵A负定负定 A的特征值全为负的特征值全为负.二次型为
5、负定的二次型为负定的 二次型的负惯性指数为二次型的负惯性指数为n2.实对称矩阵实对称矩阵A负定负定,则当则当n为偶数时为偶数时,0A 当当n为奇数时为奇数时,0A A正定正定 -A负定负定二次型二次型 f 为正定为正定 二次型二次型-f 为负定为负定 定义定义2 n阶矩阵阶矩阵A的的前前k行行k列列交叉处的元素，按原来顺交叉处的元素，按原来顺序构成的行列式序构成的行列式 ，称为称为A的的顺序主子式顺序主子式.111212122212kkkkkkaaaaaaaaa(1,2,)kn 例如例如 ，11a11122122aaaa,nA 准则准则3 n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A正定正定 A的全部顺序主子
6、式都大于零的全部顺序主子式都大于零.续例续例1 用准则用准则3判断矩阵判断矩阵 是否为正定矩阵是否为正定矩阵？222254245A 例例2 若二次型若二次型2221231231223(,)22f xxxxxxx xtx x是正定的是正定的,则则 t 的取值范围的取值范围?【解析】【解析】已知二次型正定已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用反求其中未知参数的取值范围一般用顺序主子式求解顺序主子式求解.二次型矩阵为二次型矩阵为210112021Att 2101120,22021ttt解解得得【注】【注】需实对称阵需实对称阵A的全部顺序主子式都大于的全部顺序主子式都大于0 0才可才可判定判
7、定A正定正定.若若n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A为正定矩阵，则有为正定矩阵，则有1 ，A可逆；可逆；0A 【注注】逆不真逆不真.例如例如10,0.01AA 3A主对角线上元素主对角线上元素0(1,2,)iiain三、三、正定矩阵的性质正定矩阵的性质【注注】逆不真逆不真.例如例如1221A,0.A 1,TkAAA 2 (k为正整数为正整数)，均正定；均正定；A,(0)kA k 5A正定正定,且且A与与B合同合同，则，则 B 也也正定正定.6对角阵对角阵 正定正定12nddDd 0(1,2,.,)idin 4设设A、B正定，则正定，则 A+B 也也正定正定.【总结】【总结】正惯性指数为正惯性指数为n
8、.2221122(0)nnifd yd yd yd22212nfzzzn个变量的实二次型个变量的实二次型 正定正定1(,.,)nf xx-f 为负定二次型为负定二次型.实对称矩阵实对称矩阵A为正定矩阵为正定矩阵,0TXOX AX 11(,.,),(,.,)0nnxxOf xx 实数域上的规范形为实数域上的规范形为标准形为标准形为A的特征值均大于的特征值均大于0A与单位阵与单位阵E合同合同存在可逆阵存在可逆阵P,使得使得TAP P A的各阶顺序主子式的各阶顺序主子式 0例例5 证明证明（1）若若 正定，有实数域上矩阵正定，有实数域上矩阵 ，则则 正定正定.nAn mP()r PmnTP AP【解
9、析解析】看齐次线性方程组看齐次线性方程组PX=O,其为其为m个未知量个未知量,n个方程的齐次线性方程组个方程的齐次线性方程组,由由 ,则该方程则该方程组只有零解组只有零解.()r Pm 则对任意则对任意m维非零列向量维非零列向量X,有有PXO 于是有于是有()()0TTTX P APXPXA PXTP AP故故 正定正定.例例4 A为为n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,且满足且满足 证明证明A为正定矩阵为正定矩阵.32243,AAAEO例例3 设设A为为n阶正定矩阵阶正定矩阵,E为为n阶单位阵阶单位阵,证明证明1AE（2）有实数域上的有实数域上的n阶方阵阶方阵A可逆，则可逆，则 正定正定.TA A【
10、法二】【法二】由由A可逆可逆,则对任意则对任意n维实列向量维实列向量XO,有有AXO,()0,TTTX A AXAXAX所以所以 正定正定.TA ATA A【法一法一】由由A可逆可逆,则有则有 ,则与单位阵合则与单位阵合同同,所以所以 正定正定.TTA AA EA TA A【解析解析】要注意首先要说明】要注意首先要说明 是实对称矩阵是实对称矩阵.TA A矩阵之间的关系矩阵之间的关系等价等价A,B 都为都为mn 矩阵矩阵,若存在若存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P和和n阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q,使得使得 则称则称A与与B等价等价.,PAQB 相似相似设设A,B均为均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵阶矩阵，如
11、果存在可逆矩阵C，使，使得得 ，则称，则称A与与B合同，记作合同，记作 .TC ACB A B 设设A,B为为n阶矩阵，如果存在阶矩阵，如果存在可逆矩阵可逆矩阵U，使得使得 ，则称，则称A与与B相似相似，记作，记作AB.BAUU 1合同合同例例2设设A和和B为为实对称矩阵实对称矩阵，则（，则（）成立）成立.（A）ABA与与B合同；合同；AB（B）A与与B合同合同CA(B)反例反例1010,0102AB 则则A与与B合同合同,但不相似但不相似.例例1设设A和和B为为n阶矩阵阶矩阵，则（，则（）成立）成立.（A）ABA与与B合同；合同；A和和B等价；等价；（C）AB（B）A和和B等价等价A与与B合同；合同；（D）A和和B等价等价AB（E）A与与B合同合同 AB基本概念基本概念 正定二次型、正定矩阵、顺序主子式正定二次型、正定矩阵、顺序主子式基本理论基本理论正定矩阵的充分必要条件：三条准则及推论正定矩阵的充分必要条件：三条准则及推论基本方法基本方法正定矩阵的性质正定矩阵的性质判断二次型、实对称矩阵是否正定判断二次型、实对称矩阵是否正定确定参数使实对称矩阵正定确定参数使实对称矩阵正定
