1、2022-10-8北师大版数学必修二课北师大版数学必修二课件：简单多面体件：简单多面体1.多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体.【做一做1】下列关于多面体的说法正确的是.(填序号)多面体一定有体对角线;半球体是多面体;圆台为多面体;长方体为多面体.解析:四面体没有体对角线,错误;半球体的围成有曲面,不是多面体,错误;同样错误;正确.答案:2.棱柱(1)棱柱的定义:两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫作棱柱.(2)棱柱的有关概念棱柱中两个互相平行的面叫作棱柱的底面,其余各面叫作棱柱的侧面,
2、棱柱的侧面是平行四边形.两个面的公共边叫作棱柱的棱,其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱,底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点.(如图所示)(3)棱柱的分类 按侧棱是否垂直于底面 按底面多边形形状 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱.(4)棱柱的表示:通常用底面各顶点的字母表示棱柱.如上图中的棱柱可记作:五棱柱ABCDE-ABCDE.做一做2下列说法正确的是()A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫作棱柱C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D.棱柱的侧棱长有的都相等,有的不都相等解析:A,B都不能保证棱柱的侧棱互相平
3、行这个结构特征.对于D,由棱柱的结构特征可知侧棱都相等.最简单的棱柱是三棱柱,有五个面、六个顶点、九条棱.故选C.答案:C3.棱锥(1)棱锥的定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫作棱锥.(2)棱锥的有关概念:棱锥中的多边形叫作棱锥的底面,其余各面叫作棱锥的侧面,各侧面的公共点叫作棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱.如图所示.(3)棱锥的表示:用顶点和底面各顶点的字母表示棱锥.如上图中的棱锥可记作:四棱锥S-ABCD.(4)棱锥的分类按底面多边形的边数分为:三棱锥、四棱锥、五棱锥、,其中三棱锥也叫作四面体.棱锥【做一做3】下列说法正确的是()A.
4、有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥B.四面体是四棱锥C.侧棱垂直于底面的棱柱不一定是直棱柱D.正棱锥的底面是正多边形解析:有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥,故A错;四面体是三棱锥,故B错;由直棱柱和正棱锥的定义知C错D正确.故选D.答案:D4.棱台(1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫作棱台.原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面,其他各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱.如图所示.(2)表示:用表示底面各顶点的字母表示棱台.如上图中的棱台可记作:四棱台ABCD-ABCD.(3)分类:按底面多边形的边数
5、分为三棱台、四棱台、五棱台(4)特殊的棱台:用正棱锥截得的棱台叫作正棱台.正棱台的侧面是全等的等腰梯形.做一做4如图所示的几何体是棱台的有()A.1个B.2个C.3个D.4个 解析:是棱柱,是多面体,为圆柱,为棱锥,为棱台.所以答案为A.答案:A归纳总结棱柱、棱锥、棱台的性质比较 思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体就是棱柱.()(2)每个面都是三角形的几何体就是棱锥.()(3)底面是正多边形的棱锥是正棱锥.()(4)棱台的侧棱可以与底面垂直.()答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二探究三思想方法探
6、究探究一棱柱棱柱的结构特征的结构特征【例1】如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分,各部分形成的几何体还是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,说明理由(提示:根据后面将要学习的线面平行的性质定理,可以证明探究一探究二探究三思想方法分析:根据棱柱的定义、结构特征及性质进行判断.解:(1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱,且是四棱柱.因为平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,且其余各面都是四边形,且AA1,BB1,CC1,DD1互相平行.(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部
7、分,其中一部分有两个平行的平面BB1M与平面CC1N,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是三棱柱,可用符号表示为三棱柱BB1M-CC1N;另一部分有两个平行的平面ABMA1与平面DCND1,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,符合棱柱的定义,所以是四棱柱,可用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND1.探究一探究二探究三思想方法反思感悟1.判断一个几何体是不是棱柱要紧扣棱柱的定义,同时要抓住以下三个关键点.(1)底面:两个多边形全等,且所在平面互相平行.(2)侧面:都是平行四边形.(3)侧棱:互相平行,且相等.以上三点缺一不可.2.
8、对于棱柱来说,其底面不一定是几何体的上、下两个面,也可以是左、右两个面或前、后两个面.探究一探究二探究三思想方法变式训练变式训练1下列关于棱柱的性质正确的是()A.只有两个面相互平行B.所有棱都相等C.所有面都是四边形D.各侧面都是平行四边形解析:棱柱的两个底面一定是平行的,但在棱柱中并不一定只有两个面相互平行,故A错;棱柱所有的侧棱长都相等,但它们不一定等于底面多边形的边长,故B错;棱柱的侧面都是四边形,但底面可以不是四边形,故C错;棱柱的所有侧面都是平行四边形,故D正确,选D.答案:D探究一探究二探究三思想方法探究探究二棱锥棱锥、棱台的结构特征、棱台的结构特征【例2】判断下列说法是否正确.
9、(1)棱锥的侧面不可能是正三角形;(2)三棱锥中任何一个顶点都可作为棱锥的顶点,任何一个面都可作为棱锥的底面;(3)棱锥被一个平面所截,一定得到一个棱锥和一个棱台;(4)棱台的所有侧棱延长后可以不交于同一点.探究一探究二探究三思想方法解:(1)错误.棱锥的侧面一定是三角形,可以是等腰三角形,也可以是正三角形,例如棱长均相等的正三棱锥的各个面都是正三角形.(2)正确.在三棱锥中,共有4个面,每一个面均可作为底面,每一个顶点均可作为棱锥的顶点.(3)错误.只有当棱锥被与其底面平行的平面所截时,才能截得一个棱锥和一个棱台.(4)错误.任何一个棱台,将其所有侧棱延长后一定相交于同一点.探究一探究二探究
10、三思想方法反思感悟判断一个几何体是棱锥、棱台的方法主要有以下两种.(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法:探究一探究二探究三思想方法变式训练2下列三种叙述,其中正确的个数为.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的几何体是棱台.解析:中的平面不一定平行于底面,故错误.可用反例去检验,如图所示,故错误.答案:0 探究一探究二探究三思想方法探究探究三正正棱锥、正棱台中的计算问题棱锥、正棱台中的计算问题【例3】若正四棱台两底面的面积
11、分别为4和16,其高为 ,则正四棱台的侧棱的长为.解析:作出正四棱台ABCD-A1B1C1D1,如图所示,OO1为棱台的高,其长为 .连接O1A1,OA,则四边形O1A1AO为直角梯形.由正四棱台两底面的面积分别为4和16,知A1B1=2,AB=4,探究一探究二探究三思想方法反思感悟正棱锥、正棱台中的“直角图形”1.正棱锥中的计算问题主要利用正棱锥中的3个直角三角形,即侧棱、高和侧棱在底面上的射影组成的直角三角形;斜高、高和斜高在底面上的射影组成的直角三角形;侧棱、斜高和底面多边形边长的一半组成的直角三角形.2.正棱台中的计算问题主要利用正棱台中的3个直角梯形,即斜高、两底面的边心距以及两底面
12、中心的连线组成的直角梯形;侧棱、两底面中心的连线和两底面相应的外接圆半径组成的直角梯形;斜高、侧棱和两底面边长的一半组成的直角梯形.另外,由于棱台是由棱锥所截得的,因此棱台问题可以转化为棱锥问题,即利用“还台为锥”的思想来解决.探究一探究二探究三思想方法变式训练3在正三棱锥V-ABC中,若其底面边长为8,侧棱长为 ,则它的高等于.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法方法点睛1.高考中常将多面体与最值结合在一起进行考查,当遇到此类问题时,通常是把多面体展开成平面图形,结合平面几何的知识解决问题.2.本题正面求解确实很困难,题目的巧妙之处是构造了长方体,将
13、函数最值问题转化为有关几何中的距离的最值问题.通常是将其转化为平面图形,利用“两点之间,线段最短”来求解.探究一探究二探究三思想方法变式训练变式训练如图所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2 cm,高为5 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为cm.解析:根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,将其展成如图所示的实线部分,则所求最短路线的长为 =13(cm).答案:13 12341.下列几何体中,侧棱一定相等的是()A.棱锥 B.棱柱C.棱台D.圆柱答案:B12342.(2017宁夏石嘴山期末)如图所示,观察下面四个几何体,其中判断正确的是()A.是棱台B.是圆台C.是棱锥D.不是棱柱解析:图不是由棱锥截来的,所以不是棱台;图上、下两个面不平行,所以不是圆台;图是棱锥;图前、后两个面平行,其他各面都是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以是棱柱.故选C.答案:C12343.下面描述中,是棱柱的结构特征的有.(填序号)有一对面互相平行;侧面都是四边形;每相邻两个侧面的公共边都互相平行;所有侧棱都交于一点.解析:由棱柱的定义知是它的结构特征,不是棱柱的结构特征,因为棱柱的侧棱均平行.答案:
