1、1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式问题问题引航引航1.1.数轴上的两点间的距离公式是什么？数轴上的两点间的距离公式是什么？2.2.如何求平面内两点间的距离？怎样如何求平面内两点间的距离？怎样用距离解决几何问题？用距离解决几何问题？两点间的距离公式1.数轴上：一般地，数轴上两点A，B对应的实数分别为xA，xB，则|AB|=_.2.平面直角坐标系中：一般地，若两点A，B对应的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=_.222121xxyy|xB-xA|1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)原点O到点P(x，y)的距离为|OP|=.()(2)平面内两点
2、间的距离公式与坐标顺序有关.()(3)平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式.()22xy【解析】(1)正确.由两点间的距离公式得(2)错误.在计算公式中x2与x1，y2与y1的位置可以互换，不影响计算结果.(3)正确.两点间的距离公式适用于平面内的任意两点求距离.答案：(1)(2)(3)2222OPx 0y 0 xy.2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知点A(2，5)，B(2，9)，则线段AB的长度为_.(2)已知点M(-3，2)，N(1，4)，则线段MN的长度为_.(3)已知点A(-1，3)，B(2，a)之间的距离是 ，则实数a的值为_.13【解析】(1)因为xA=xB
3、=2，所以|AB|=|5-9|=4.答案：4(2)|MN|=答案：2(3)因为|AB|=所以(3-a)2=4，解得a=1或a=5.答案：1或5223 1)2 420 2 5.（221 23 a)13（）（，5 【要点探究】知识点 两点间的距离公式对平面直角坐标系中两点间距离公式的说明(1)当P1，P2的连线与坐标轴垂直时，两点间的距离公式同样适用.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当P1P2x轴时，x1=x2，故|P1P2|=|y2-y1|.当P1P2y轴时，y1=y2，故|P1P2|=|x2-x1|.221yy221xx(2)两点间的距离公式的特征：两点间距离的平方等于两点横坐标之
4、差与纵坐标之差的平方和.公式可简记为：“纵差方，横差方，加起来，开平方”.【微思考】(1)平面内两点间的距离与坐标的代入顺序有关系吗？提示：无关.在计算平面内两点间的距离时，x1与x2，y1与y2的位置可以互换，不影响计算结果.(2)式子 的几何意义是什么？提示：式子 表示平面上的点(x，y)到原点的距离.22xy2222xyx 0y 0【即时练】1.已知点A(4，12)到x轴上的点P的距离等于13，则点P的坐标为_.2.已知两点分别为A(10，2)和B(7，-2)，则这两点之间的距离为_.【解析】1.设点P的坐标为(x，0)，则有解得x=-1或9.答案：(-1，0)或(9，0)2.由两点间的
5、距离公式得：答案：522x 4)0 1213（，227 102 25.【题型示范】类型一 利用两点间的距离公式求值【典例1】(1)若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，-3)到原点的距离相等，则点M的坐标为()A.(-2，0)B.(1，0)C.(，0)D.(，0)(2)直线2x+my+2=0(m0)与两坐标轴的交点之间的距离为_.(3)求直线l：y=x被两条平行直线x+y-2=0和x+y-4=0所截得的线段的长度.3234【解题探究】1.题(1)中x轴的正半轴上的点的坐标有何特征？2.题(2)中如何求直线与两坐标轴的交点？3.所截得的线段与直线的交点有关吗？【探究提示】1.x轴的正半轴上
6、的点的纵坐标为零，横坐标大于0.2.分别令x=0，y=0可得直线与两坐标轴的交点.3.有关.所截线段的长度即直线l与两平行直线的交点间的距离.【自主解答】(1)选D.设点M(x，0)(x0)，由题意可知，解得 (2)直线2x+my+2=0与x轴的交点为(-1，0)，与y轴的交点为 所以两交点之间的距离为答案：(m0)2222x053，x34.2(0)m，222241 0(0)1m 0.mm（）241m(3)由 解得交点为(1，1)，由 解得交点为(2，2).所以所求线段的长度为 y xx y 2 0 ，y xx y 4 0 ，222 12 12.【方法技巧】1.计算两点间距离的方法(1)对于任
7、意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|=(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可利用距离公式的特殊情况直接求解.222121xxyy.2.利用两点间的距离公式求参数的值的方法及技巧(1)方法：常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，然后利用方程的思想求解参数.(2)技巧：解决此类问题时，常常需要结合图形，来直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系，然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题.【变式训练】(2014济源高一检测)已知点A(a，-5)与B(0，10)间的距离是17，则a的值为_.【解析】由两点间的距离公式可得a2+152=17
8、2，解得a=8.答案：8【补偿训练】已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|=|PB|，并求|PA|的值.【解析】设所求的点为P(x，0)，于是有|PA|=|PB|=由|PA|=|PB|得x=1，所以所求点为P(1，0)，且|PA|=7222x 1)0 2x2x 5（，222x 20 7x4x 11，221 10 22 2.类型二 两点间距离公式的应用【典例2】(1)在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3，4)，则|MA|+|AB|+|BM|的最小值是()A.10 B.11 C.12 D.13(2)已知点A(5，5)，B(1，4)，C(
9、4，1)，试判断ABC的形状.【解题探究】1.题(1)中A与B能与坐标原点O重合吗？2.判断三角形的形状要看什么？【探究提示】1.可以，当重合时也满足题意.2.判断三角形的形状可以看三边关系或看角的关系.【自主解答】(1)选A.依题意，作图如下：设点M(3，4)关于y轴的对称点为P(-3，4)，关于x轴的对称点为Q(3，-4)，则|MB|=|PB|，|MA|=|AQ|，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|+|AB|+|BM|=|PO|+|OQ|=|PQ|=10；当A与B不重合时，|MA|+|AB|+|BM|=|PB|+|AB|+|AQ|PQ|=10.所以当A与B重合于坐标原点O时，|MA|+|
10、AB|+|BM|取得最小值10.223(3)4 4 （）（2）|AB|AC|BC|因为|AB|AC|BC|，所以ABC为等腰三角形.221 54 517（），224 51 517，224 11 418 3 2，【延伸探究】题(2)条件不变，求AB边上的中线CM的长.【解析】因为AB中点M所以|CM|9(3)2，229534 3(1).22【方法技巧】1.判断三角形的形状(1)利用两点间的距离公式求出三角形三边长度，再观察三边长度关系，从而确定三角形形状.(2)利用角的关系，对于特殊的图形，一些特殊的性质应加强记忆与应用.2.证明三点共线利用两点间的距离公式先求出已知三点每两点间的线段长度，若其
11、中一条线段的长度等于另外两条线段的长度之和，则已知三点共线.【变式训练】已知A(-7，0)，B(-3，-2)，C(1，6).(1)判断ABC的形状.(2)求ABC的外心的坐标.【解题指南】要判断ABC的形状，可从两点间的距离公式入手求出|AB|，|BC|，|AC|，再加以判断.【解析】(1)因为|AB|BC|AC|所以|AB|2|BC|2|AC|2.所以ABC是以角B为直角的直角三角形.(2)因为ABC为直角三角形，所以其外心为斜边AC的中点，其坐标为 即(-3，3).227 3220，221 36 280，221 76100，1 7 6 0()22，【补偿训练】证明M(1，3)，N(0，1)
12、，P(-3，-5)在同一条直线上.【证明】由两点间的距离公式，得|MN|=|MP|=|NP|=故有|MN|+|NP|=|MP|，所以M，N，P三点共线.221 03 15，221 33 54 5，220 31 53 5，【拓展类型】坐标法的应用【备选例题】(1)(2014临沂高一检测)甲船在某港口的东50km，北30km处，乙船在同一港口的东14km，南18km处，那么甲、乙两船的距离是_.(2)已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|=|BC|.12【解析】(1)以某港口为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向建立平面直角坐标系，则甲船的位置
13、为(50，30)，乙船的位置为(14，-18)，甲、乙两船的距离为答案：60 km2250 1430 183 600 60 km.（）（）(2)以RtABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c).因为斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为 即 由两点间距离公式得|BC|=|AM|=所以|AM|=|BC|.22220 bc 0bc，0 b 0 c()22，b c().2 2，2222bc1(0)(0)bc222，12【方法技巧】1.对解析法的正确理解(1)坐标法又称为解析法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点，用方程代替
14、曲线，用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.(2)利用坐标法可以解决平面几何中的一些证明问题，一般思路是先用坐标表示出几何问题中相关的量，然后利用中点坐标公式、距离公式等列出相应的等式，最后通过坐标的运算，解决相关问题.2.解析法证明几何问题的步骤3.建系原则(1)使尽可能多的点在坐标轴上.(2)充分利用图形的对称性.【易错误区】对代数式的几何意义理解不清而致误【典例】(2014吉安高一检测)函数y=的最小值为_.22x 1)1x 34（【解析】函数可变形为它的几何意义是：点P(x，0)到两个点A(-1，1)，B(3，2)的距离之和，即在x轴上求一点P，使得P到A，B的距离之和最小.A关于
15、x轴对称点A1(-1，-1).直线A1B与x轴的交点即为P点，如图.直线A1B方程为3x-4y-1=0.令y=0得P 而最小值即为A1B的长.所以最小值为5.答案：52222yx 10 1.x 30 21(0)3，221AB31215.【常见误区】错解错解错因剖析错因剖析3 3在处不能正确理解式子的几何意义在处不能正确理解式子的几何意义而致误而致误或或在处两点间的距离公式代入时运算在处两点间的距离公式代入时运算错误错误1713【防范措施】1.加强数形结合思想的运用意识正确理解代数式的几何意义是解题时需要注意的技巧，如本例，若用纯代数知识求解，难以求得结果，而上述解法通过转化，联想两点间的距离公式，利用“两点之间线段最短”，使问题迎刃而解.2.公式的准确应用解题时，公式的准确应用是正确解答的保证，如本例，如果两点间的距离公式不熟或代入数据时混淆，将会造成运算错误.【类题试解】(2014焦作高一检测)函数y=的最小值为_.【解析】通过配方，函数解析式可以化为y=易联想到两点间的距离公式，将y可看作点P(x，0)到点M(1，-1)和点N(2，2)距离之和.则 =|MP|+|PN|MN|答案：2x2x 2 2x4x 822x 10 122x 20 2，2222yx 10 1x 20 2221 21 210.10
